天津市北辰区第三学区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年天津市北辰区第三学区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意） 1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，2，6 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，3，3 3．（3分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 5．（3分）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（　　） A．7条 B．8条 C．9条 D．10条 6．（3分）如图AB＝CD，AD＝BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，图中全等三角形有（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 7．（3分）已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，则∠BHF的度数为（　　） A．115° B．65° C．50° D．130° 8．（3分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA1共线），下列结论中错误的是（　　） A．AP＝A1P B．△ABC与△A1B1C1面积相等 C．MN垂直平分AA1 D．直线AB，A1B1的交点不一定在MN上 10．（3分）如图，△ABC的周长是24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝4，则△ADB的周长为（　　） A．12 B．16 C．24 D．48 11．（3分）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，3），关于y轴的对称点为P2（9，b+2），则点P的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 12．（3分）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和为 　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 　 　度． 15．（3分）如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是　 　． 16．（3分）若A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y），则x＝　 　，y＝　 　，点A关于x轴的对称点的坐标是　 　． 17．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 　 　cm2． 18．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　 　． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（8分）如图在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，若∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，∠BFD＝60°．求∠BEC的度数． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）写出△ABC三个顶点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F； （3）写出（2）中△DEF三个顶点的坐标． 21．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且满足BE＝CD，∠1＝∠2，求证：AB＝AC． 22．（10分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD． （1）求证：AC＝DF． （2）若BC＝9，FC＝5，求BE的长． 23．（10分）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AB∥CD． 24．（10分）如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B． （1）求证：OA＝OB； （2）求证：OP垂直平分AB． 25．（10分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 2024-2025学年天津市北辰区第三学区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意） 1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．（3分）下列三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，2，6 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，3，3 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【解答】解：A、3+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项错误； C、3+2＝5，不能组成三角形，故此选项错误； D、3+3＞3，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3．（3分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可得到答案． 【解答】解：A选项线段DB是△BDA的高，选项不符合题意； B选项线段BD是△BDA的高，选项不符合题意； C选项线段BD是△BDA的高，选项不符合题意； D选项线段BD是△ABC的高，选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 4．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为12cm2， ∴△ADC的面积为：×12＝6（cm2）， ∵CE是△ADC的边AD上的中线， ∴△CDE的面积为：×6＝3（cm2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 5．（3分）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（　　） A．7条 B．8条 C．9条 D．10条 【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形内角和定理列出方程求出n的值，再根据多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条进行求解即可． 【解答】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，（n﹣2）×180＝150n， 解得n＝12， ∴这个多边形为十二边形， ∴此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3＝9（条）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，正确列出方程求出多边形的边数是解题的关键． 6．（3分）如图AB＝CD，AD＝BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，图中全等三角形有（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【分析】由条件可判定四边形ABCD为平行四边形，则可知O为AC、BD、EF的中点，可知△ABO≌△CDO，△ABC≌△CDA，△AEO≌△CFO，△EOD≌△FOB，△AOD≌△BOC，△ABD≌△CDB，共6组． 【解答】解：在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， 同理可得△ABC≌△CDA， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△BOD（SAS）， 同理可得△BOC≌△DOA， 由平行四边形的性质可得AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， 同理可得△DOE≌△BOF， 所以共有六组． 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，由条件得到四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． 7．（3分）已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，则∠BHF的度数为（　　） A．115° B．65° C．50° D．130° 【分析】由AB∥CD得到∠AGE＝∠CFG，又FH平分∠EFD，∠AGE＝50°，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，∠BHF． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CFG＝∠AGE＝50°， ∴∠GFD＝130°； 又FH平分∠EFD， ∴∠HFD＝∠EFD＝65°； ∴∠BHF＝180°﹣∠HFD＝115°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，当两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 8．（3分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，从而得解． 【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H， ∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P， ∴PF＝PG＝3，PG＝PH， ∴PF＝PG＝PH＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 9．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA1共线），下列结论中错误的是（　　） A．AP＝A1P B．△ABC与△A1B1C1面积相等 C．MN垂直平分AA1 D．直线AB，A1B1的交点不一定在MN上 【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴AP＝A1P， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误； 故选：D． 【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 10．（3分）如图，△ABC的周长是24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝4，则△ADB的周长为（　　） A．12 B．16 C．24 D．48 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵△ABC的周长是24， ∴AB+AC+BC＝24， ∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝8， ∴AB+BC＝16， ∴△ADB的周长＝DA+DB+AB＝DC+DB+AB＝BC+AB＝16， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11．（3分）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，3），关于y轴的对称点为P2（9，b+2），则点P的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 【分析】根据题意可得P1和P2关于原点对称，根据原点对称点的坐标特点可得，解方程组可得a、b的值，进而可得P1点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点可得答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：a＝﹣2，b＝﹣5， ∵P1（2a+b，3）， ∴P1（﹣9，3）， ∴P（﹣9，﹣3）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．（3分）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵AD平分∠FAC，DF⊥AF，DE⊥AC， ∴∠DFB＝∠DEC＝90°，DF＝DE， 又∵∠FDE＝∠BDC， ∴∠FDB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE， ∴∠FDB＝∠EDC， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA），故①正确； ∴CE＝BF，BD＝CD， 在Rt△DFA和Rt△DEA中， ， ∴Rt△DFA≌Rt△DEA（HL）， ∴AE＝AF， ∵BE＝BA+AF， ∴BE＝BA+AE， ∴CE＝AB+AE，故②正确； ∵∠BAC＝80°， ∴∠FAE＝100°， ∵∠DFA＝∠DEA＝90°， ∴∠FDE＝80°， 又∵∠FDE＝∠BDC， ∴∠BDC＝80°， ∴∠BDC＝∠BAC，故④正确； ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB＝50°，故③错误； 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和为 　1080°　． 【分析】根据任意多边形的外角和等于360°，得多边形的边数为360°÷45°＝8，从而求得多边形的内角和． 【解答】解：∵多边形的每一个外角都是45°， ∴这个多边形的边数为360°÷45°＝8． ∴这个多边形的内角和等于180°×（8﹣2）＝1080°． 故答案为：1080°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 　75　度． 【分析】根据三角形内角和得出∠C＝70°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝70°， ∴∠C＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣70°﹣35°＝75°． 故答案为：75． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C＝70°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°． 15．（3分）如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是　AD＝AE　． 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等或AD＝AE即可． 【解答】解：添加条件：AD＝AE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， 故答案为：AD＝AE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 16．（3分）若A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y），则x＝　2　，y＝　3　，点A关于x轴的对称点的坐标是　（2，﹣3）　． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得x、y的值，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A关于x轴的对称点的坐标． 【解答】解：∵A（x，3）关于y轴的对称点是B（﹣2，y）， ∴x＝2，y＝3； ∴A（2，3）， ∴点A关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）， 故答案为：2，3，（2，﹣3）． 【点评】此题主要考查了关于x、y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 17．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 　24　cm2． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD＝DC，求出AB+AC＝14cm，求出AB，代入×AB×AC求出即可． 【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为14cm， ∴BD+AD+AB＝14cm， ∴AB+AD+CD＝14cm， ∴AB+AC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴AB＝6cm， ∴△ABC的面积是AB×AC＝×6×8＝24（cm2）， 故答案为：24． 【点评】本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 18．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135°　． 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°． 【解答】解：∵在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3＝∠ACB， ∵∠ACB+∠1＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°， 故答案为：135°． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（8分）如图在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，若∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，∠BFD＝60°．求∠BEC的度数． 【分析】先根据AD⊥BC得出∠FDB＝90°，根据直角三角形的性质得出∠FBD的度数，再由三角形内角和定理得出∠C的度数，在△BEC中，根据∠BEC＝180°﹣∠FBD﹣∠C即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠FDB＝90°． ∵∠BFD＝60°， ∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°． 在△ABC中， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°． 在△BEC中，∵∠FBD＝30°，∠C＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣∠FBD﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）写出△ABC三个顶点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F； （3）写出（2）中△DEF三个顶点的坐标． 【分析】（1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）由图可得出答案． 【解答】解：（1）由图可得，A（﹣1，2），B（﹣2，﹣2），C（1，﹣1）． （2）如图，△DEF即为所求． （3）由图可得，D（1，2），E（2，﹣2），F（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且满足BE＝CD，∠1＝∠2，求证：AB＝AC． 【分析】易证∠ACD＝∠ABE，即可证明△ABE≌△ACD，可得AB＝AC． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠ABE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BCE≌△CBD是解题的关键． 22．（10分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD． （1）求证：AC＝DF． （2）若BC＝9，FC＝5，求BE的长． 【分析】（1）通过证明△ABC≌△DEF（ASA），即可求证AC＝DF； （2）先求出FB＝CE＝BC﹣FC＝4，即可解答． 【解答】（1）证明：∵FB＝CE， ∴FB+FC＝CE+FC，即BC＝EF， ∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AC＝DF； （2）解：∵BC＝9，FC＝5， ∴FB＝CE＝BC﹣FC＝4， ∴BE＝BC+CE＝13． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，全等三角形对应边相等，对应角相等． 23．（10分）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AB∥CD． 【分析】（1）由AF＝CE可得AE＝CF，利用HL可证明△ABE≌△CDF； （2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵AF＝CE， ∴AE＝CF， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠A＝∠C， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由HL证明三角形全等是解决问题的关键． 24．（10分）如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B． （1）求证：OA＝OB； （2）求证：OP垂直平分AB． 【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵OP平分∠MON， ∴∠MOP＝∠NOP， ∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（AAS）， ∴OA＝OB； （2）在等腰△AOB中，OA＝OB，且OP平分∠MON， ∴OP垂直平分AB．（三线合一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答． 25．（10分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　∠BAE+∠FAD＝∠EAF　． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论． 【解答】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF． 理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB． 理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°﹣∠DAB． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/20 16:00:23；用户：资源；邮箱：13851372384；学号：59917209 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$