第3章圆锥曲线的方程章末检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程章末检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 4．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 6．已知圆和椭圆，过上一点作轴的垂线，与交于点，垂足为；过上另一点作轴的垂线，与交于点，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D．大小不确定 7．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 8．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．方程表示的曲线中，可以是（   ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 10．已知椭圆左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，，则下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径的最大值为 B． C． D．的内心在一定圆上 11．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（   ） A．始终垂直于轴 B． C． D． 三、填空题 12．点是曲线与的交点，点与的两焦点距离之和为，点与的两焦点距离之差为，则 . 13．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 14．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 16．已知四个点中恰有三个点在椭圆：上. (1)判断哪个点不在椭圆上，并求出椭圆的方程； (2)设椭圆的左右顶点分别是、，点是直线上一点，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点. 17．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 18．已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 19．如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点. (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A C B B D AB ABC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】将抛物线化成标准方程，确定开口方向及焦准距，即可得抛物线的准线方程. 【详解】由，可得，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 2．A 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 3．A 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】由，则焦点在轴上， 且，，则， 即， 所以长轴长为，焦距为，离心率为. 故选：A. 4．A 【分析】利用已知求得椭圆的短半轴与长半轴，进而求得半焦距，从而可求离心率. 【详解】因为圆柱的底面半径为4，所以椭圆的短轴，得， 又因为椭圆所在平面与圆柱底面所成角为， 所以，解得，得， 所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 5．C 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 6．B 【分析】设，（不妨设在轴的上方，则，分别计算的值，可得结论. 【详解】设，（不妨设在轴的上方，作出图形如图所示： 则， 则由题意可得，， 解得，，所以，， 则可得， 同理可得，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用坐标法研究平面几何问题是平面几何的核心，本题关键是利用坐标法表示线段长，进而计算长度之比解决问题. 7．B 【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 8．D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 9．AB 【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 10．ABC 【分析】根据椭圆的定义、焦点三角形的性质、三角函数的和差公式等知识，运用椭圆的性质求出焦点三角形的一些关系，再利用三角函数知识对每个选项进行分析判断. 【详解】椭圆，，，则，，. 分析选项A，设，，.根据椭圆的定义. 设的内切圆半径为，根据三角形面积（为点纵坐标）. ，因为在椭圆上，，所以，故选项A正确. 分析选项B，在中，根据正弦定理. ，故选项B正确. 分析选项C，设离心率为，则， 由正弦定理可得， 即， 又，而，即， 因为， ， 所以，即， 化简得，即， 所以，故选项C正确. 分析选项D，令，则． 的面积：， 其中为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去得到点的轨迹方程为：. 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 所以的轨迹是以为长轴的椭圆去掉点，选项D错误.   故选：ABC. 11．ABC 【分析】由与的内切圆性质可得和点的横坐标判断AB；设出直线的倾斜角，求出的表达式并求出其范围判断CD. 【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确； 对于B，由分别平分，得， 因此，B正确； 对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点）， 在中，， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，从而，C正确，D错误. 故选：ABC    12．2或10 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的定义计算即得. 【详解】曲线是椭圆，其长半轴长，曲线是双曲线，其实半轴长， 由与联立消去，得，因此曲线相交， 点与的两焦点距离之和，点与的两焦点距离之差或， 所以或. 故答案为：2或10 13． 【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    14．2 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 15．(1) (2)存在定点 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 16．(1)不在椭圆上， (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得必在椭圆C上，不在椭圆上，代入即得解； （2）方法一，设直线MN： ， M()，N()，P()，利用P、M、A和P、B、N三点共线 得，联立消元结合韦达定理的得， 代入上式求解即可； 方法二，讨论直线PA，PB斜率与零的关系，然后分别设直线PA，PB方程，分别与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，进而求出直线MN的方程式，求出定点即可， 【详解】（1）因为关于y轴对称，必定均在椭圆上，代入得：. 若点在椭圆上，则，与上式矛盾. 所以不在椭圆上.                     由，解得， 故椭圆的方程为. （2）方法一： 设直线MN： ， M()，N()，P(). 由题意得：  ① ，       ②，    由①②得：，      又，代入上式得：   ③                         把联立消元得：， 即=0， 所以， ，                                                      由③得：， 即， 将， ，   代入上式得：， 即， 则，故直线MN恒过定点，                     方法二： 当直线PA，PB斜率不为0时， 设直线PA：，直线PB： 令得：，即.                                                      将PA：代入得：， 即， 则，所以， 即，                   又，则有                                                        将PB：代入得：， 即， 则，所以， 即.                    于是，， 而直线MN：，    令得: .                     又当直线PA，PB斜率为0时，MN也过点. 故直线MN过定点.    17．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 18．(1)证明见解析 (2) (3)在 【分析】（1）直曲联立，求出交点，证明即可； （2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程. （3）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，得到,联立，方程，得到满足的条件即可. 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    19．(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由题意列式,求出,即可得答案; （2）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论.当直线斜率不存在时，不妨设直线经过点，求出的坐标，易验;当直线斜率存在时，假设直线方程，与双曲线方程联立,可得根与系数的关系式,计算的值,即可证明结论; （3）求出弦长以及的表达式,可得,再结合m的范围求解即可. 【详解】（1）由题意知，，所以，， 又因为，得，故双曲线E的方程为. （2）①当直线的斜率不存在时，不妨取， 此时A，B两点的坐标分别为，， , 则，所以，即， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设 因为直线与圆O相切，所以，即 将代入，得， ，， 故 ， 又因为，所以，所以，即， 综合上述，可知. （3）设,因为的渐近线方程可写为， 将代入，得， 所以,, 所以， 由（2）可得 又因为，即，所以 所以， 因为直线l与坐标轴不垂直，所以， 因此，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$