专题03 三角函数的应用5大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 三角函数的应用5大题型 题型一 仰俯角问题 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）     2．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，测得小区楼房顶端点处的俯角为．已知操控者和小区楼房之间的距离为，小区楼房的高度为，求此时无人机的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 3．（21-22九年级上·河南南阳·期末）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 4．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品味的大型综合性广场．其中，钟塔是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的处测得塔顶的仰角为，在某建筑物顶部处，又测得塔顶的仰角为，已知建筑物的总高度为米，水平距离的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 5．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，学校从教学楼顶悬挂了一幅长为的励志条幅，已知楼顶到地面的距离为，在楼前点A处，测得条幅底端N的仰角为，在距A点处的B点（点A，B，C在一条直线上），测得条幅顶端M的仰角为，若忽略测量仪器的高度，请你计算条幅的长度．（结果保留根号） 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图，在A处D用测角仪测得电视塔最高点D的仰角为，沿方向前进13到达B处，又测得电视塔最高点D的仰角为，已知测角仪的高度为，测量点A、B与电视塔的底部C在同一水平线上．求电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）河南省科技馆（新馆）位于郑州市郑东新区象湖湖畔，是河南省有史以来规模最大、投资最多的公益性投资项目．新馆设计方案由主体场馆、圭表塔、室外科学广场等组成，设计灵感源自河洛交汇文化意向，建筑形态宛如黄河与洛河自然交汇形成的天然造型，又如展翅雄鹰、飞机螺旋桨，寓意河南腾飞、中原崛起郑东新区某数学兴趣小组在去科技馆游玩时，尝试用所学的知识测量圭表塔的高度，以下是他们的测量方案：先站在地面的A点处用测倾器测得圭表塔的顶端N点的仰角为，接着沿圭表塔的方向前进33米到达C处测得顶端N的仰角为（点A、C、M在同一直线上）． (1)已知测倾器的高度为1.3米，请你根据以上数据求出圭表塔的高度；（结果精确到0.1．参考数据：，，，） (2)通过查看科技馆的介绍，发现圭表塔的高度是100米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因． 题型二 方位角问题 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，某海警船向正西方向航行，在处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向，海警船航行到处时望见渔船在南偏东方向，又航行了一小时到达处，望见渔船在南偏东方向，若海警船的速度为25海里时，则，之间的距离为多少海里．（，结果精确到0.1海里） 10．（23-24九年级上·河南新乡·期末）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，海中有一个小岛A，该岛四周内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行后到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续向东航行．（，）    (1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛A最近时的位置点P（不写过程，需保留作图痕迹）； (2)当货轮航行到P点位置时，距离小岛A有多远，货轮有触礁危险吗？ 12．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）某地修建了一个半径为的圆形公园，如图，公园的中心点A位于C地南偏西，B地南偏东方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明（参考数据： ，，)．    13．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？ 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）习近平总书记指出“没有全民健康，就没有全面小康”，全民健身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成为一种时尚．九年级学生小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸EF上有两棵大树A，B，当小明跑到C处时，测得大树A在北偏东方向，小明继续跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分钟，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 15．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“一方有难，八方支援”，新冠疫情期间，各地医疗队星夜驰援郑州抗疫．一名医务工作者从宾馆C出发，沿北偏东的方向行走1000米到达A处，后又从A处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东方向的B处，如图所示，若这名工作者以100米/分的速度从B处返回宾馆，那么他在10分钟内能否到达宾馆？（参考数据：，，，） 题型三 坡度问题 16．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为24米，则铅垂高度为（    ） A．米 B． 米 C． 米 D． 米 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）国庆期间，小明陪妈妈去爬山，两人走到山脚下A处时，看见A处一标语牌上写着“温馨提示：此山坡的坡度”，两人沿坡前行，到达C处时，又发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升50米”，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（    ）米了”． A．50 B．120 C．130 D．170 18．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，段为助滑道，段为着陆坡，着陆坡的坡角为，点与点的高度差为米，点与点的高度差为米，则着陆坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 21．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）    22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ． 23．（22-23九年级上·河南开封·期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，，测得米，米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．（参考数据：） (1)求这个车库的斜坡的长； (2)求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到米）． 题型四 不规则图形问题 24．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，河岸、互相平行，桥垂直于两岸，桥长，在C处看桥两端A、B，夹角（，，），则B、C间的距离为（      ）m A． B． C． D． 25．（22-23九年级上·河南南阳·期末）疫情网课期间，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，东西走向的水平海岸线上有A，B两个码头，小岛C在码头A正北方向20海里处，轮船行驶到D时观测到小岛C在船的西南方向50海里处，码头B在船的南偏东方向上．求出码头A和码头B的距离（结果保留整数，参考数据：，，，）． 27．（23-24九年级上·河南周口·期末）小艺在某大学艺术学院就读，她想借助学院前的台阶，测量学院对面雕塑的高度，如图为雕塑和学院门口台阶的侧面示意图，为雕塑，为雕塑下端的平台，为学院门口的台阶，已知B，D在同一水平线上（即），此时测得等于，点D距离地面高度为米，已知台阶的坡角为，米，求该雕塑的高度．（结果精确到米，参考数据：） 28．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 29．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用更加广泛．如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好与扇叶在同一平面上，在地上设置高的标杆影长．此时太阳光垂直照射叶片（如左图），整个风力发电设备的影子最长达到．已知风力发电杆高为，求扇叶的长和此时点到地面的距离．    30．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：                  (1)米，，取，他们设米，则用含的代数式表示______米，______米．由此列方程求解得______． (2)应用（1）的数据，求高树比低树高多少米（取1.4）． 31．（2023·河南·中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 32．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； (2)过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？ 题型五 三角函数测高 33．（20-21九年级上·河南信阳·期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是拦水坝的横断面．斜坡AB的坡度为1：2，BC⊥AE，垂足为点C，AC长为12米，则斜坡AB的长为 米． 35．（22-23九年级上·河南安阳·期末）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：，．结果保留整数） 36．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)． 37．（22-23九年级上·河南周口·期末）县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房前有一斜坡，它的坡度．他们先在坡面处测量楼房顶部的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房的方向继续行走至处，再次测量楼房顶部的仰角，并测量了、之间的距离，最后测量了坡面、之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表： 项目 内容 课题 测量学校附近楼房的高度 测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 30.2° 29.8° 30° 仰角的度数 60.1° 59.9° 60° 、之间的距离 5.1米 4.9米 5米 、之间的距离 9.8米 10.2米 … … 任务一：两次测量，之间的距离的平均值是________米； 任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 38．（20-21九年级上·河南商丘·期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度． 39．（23-24九年级上·河南新郑·期末）如图是一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得的数据如下： ①小明的身高DC=1．5m ②小明的影长CE=1．7m ③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9m ④旗杆的影长BF=7．6m ⑤从D点看A点的仰角为30° 你可以根据需要选出其中某几个数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0．1，参考数据≈1．414，≈1．732） 解：要想求旗杆的高度，你准备选择上面所给数据__________________（填序号）；并写出求解过程． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）为测量一座古塔的高度，三个数学探究小组分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量古塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等工具 测量小组 第一组 第一组 第三组 测量方案 示意图 说明 古塔与地面垂直，第三组方案中与地面垂直，点在一条直线上 测量数据 米 米 米 (1)哪个小组的数据无法计算出古塔的高度？ (2)请从能计算出古塔高度的方案中任选一个，计算一下古塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数的应用5大题型 题型一 仰俯角问题 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）    【答案】 【分析】过点A作于点H，延长交于点G，作于点N，设，则，利用勾股定理可得，从而求得，根据题意可得，利用勾股定理求得，从而求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长交于点G，作于点N， 则中，设，则， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 则， 故答案为：．    2．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，测得小区楼房顶端点处的俯角为．已知操控者和小区楼房之间的距离为，小区楼房的高度为，求此时无人机的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】此时无人机的高度为 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形运用，一元一次方程的应用，解题的关键是构造辅助线，设未知数构建等式求解．过点做的平行线，在平行线上取两点，，使，，根据矩形的性质和解直角三角，可得，设，代入数据求解，得到的值，即可求得无人机的高度． 【详解】解：如图，过点做的平行线，在平行线上取两点，，使，， 由题易得四边形为矩形， ，， 可得：， 设， 可得：， 解得：， 此时无人机的高度为：． 3．（21-22九年级上·河南南阳·期末）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 4．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品味的大型综合性广场．其中，钟塔是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的处测得塔顶的仰角为，在某建筑物顶部处，又测得塔顶的仰角为，已知建筑物的总高度为米，水平距离的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】钟塔的高度约为 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，证明四边形是矩形，求出，，然后在中，根据列式计算即可． 【详解】 解：过点作于点，则， 设， ， 四边形是矩形． ， 在中，， ， ，， 在中，， ， ， 解得， 答：钟塔的高度约为． 5．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，学校从教学楼顶悬挂了一幅长为的励志条幅，已知楼顶到地面的距离为，在楼前点A处，测得条幅底端N的仰角为，在距A点处的B点（点A，B，C在一条直线上），测得条幅顶端M的仰角为，若忽略测量仪器的高度，请你计算条幅的长度．（结果保留根号） 【答案】的长度为 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．在中，利用，求出的长，利用求出的长，在中，利用，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：的长度为． 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图，在A处D用测角仪测得电视塔最高点D的仰角为，沿方向前进13到达B处，又测得电视塔最高点D的仰角为，已知测角仪的高度为，测量点A、B与电视塔的底部C在同一水平线上．求电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】电视塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于点H，设，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】解：延长交于点H，由题意知， 设， 在中，， ∴， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：电视塔的高度均为． 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）河南省科技馆（新馆）位于郑州市郑东新区象湖湖畔，是河南省有史以来规模最大、投资最多的公益性投资项目．新馆设计方案由主体场馆、圭表塔、室外科学广场等组成，设计灵感源自河洛交汇文化意向，建筑形态宛如黄河与洛河自然交汇形成的天然造型，又如展翅雄鹰、飞机螺旋桨，寓意河南腾飞、中原崛起郑东新区某数学兴趣小组在去科技馆游玩时，尝试用所学的知识测量圭表塔的高度，以下是他们的测量方案：先站在地面的A点处用测倾器测得圭表塔的顶端N点的仰角为，接着沿圭表塔的方向前进33米到达C处测得顶端N的仰角为（点A、C、M在同一直线上）． (1)已知测倾器的高度为1.3米，请你根据以上数据求出圭表塔的高度；（结果精确到0.1．参考数据：，，，） (2)通过查看科技馆的介绍，发现圭表塔的高度是100米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因． 【答案】(1)圭表塔的高度约为100.3米 (2)见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，然后说出可能导致计算结果产生误差的原因，即可解答． 【详解】（1）延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， 米， （米， 圭表塔的高度约为100.3米； （2）由题意得：（米， 计算结果的误差为0.3米， 可能导致计算结果产生误差的原因为：卷尺没有拉直（答案不唯一）． 题型二 方位角问题 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；过点B作于点D，根据，，利用三角形内角和定理求出，在得出长度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的长． 【详解】如图所示：过点B作于点D，    由题意得：，， ， ， ， ，， （千米），， （千米）， （千米）， 故选：A 9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，某海警船向正西方向航行，在处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向，海警船航行到处时望见渔船在南偏东方向，又航行了一小时到达处，望见渔船在南偏东方向，若海警船的速度为25海里时，则，之间的距离为多少海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】海里 【分析】本题主要考查解直角三角形、方向角、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：作于M，设,在中，根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， 设, 在中，（海里）， ∴， ∴，解得：， ∴（海里）． 10．（23-24九年级上·河南新乡·期末）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：） 【答案】(1)景点与景点之间的距离为米 (2)小红先到达景点，理由见解析 【分析】（）过点作于点，解直角三角形求出，即可求出点与景点之间的距离； （）过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 答：景点到景点的距离为米； （2）解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形为矩形， 在中，， ∴， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴小明所走的路程为米， 小红所走的路程为米， ∵且两人速度相同， ∴小红先到达景点． 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，海中有一个小岛A，该岛四周内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行后到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续向东航行．（，）    (1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛A最近时的位置点P（不写过程，需保留作图痕迹）； (2)当货轮航行到P点位置时，距离小岛A有多远，货轮有触礁危险吗？ 【答案】(1)见解析 (2)货轮航行到P点位置时，距离小岛A，货轮没有触礁危险 【分析】本题考查作图一作垂线，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据要求画出图形； （2）设，则，根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求，    （2）在中， 设，则， ， 解得：， 经检验，是方程的解， ， ， 货轮航行到P点位置时，距离小岛A，货轮没有触礁危险． 12．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）某地修建了一个半径为的圆形公园，如图，公园的中心点A位于C地南偏西，B地南偏东方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明（参考数据： ，，)．    【答案】该公路不穿过公园，见解析 【分析】过点A作于点D，设，在中，，在中，，在根据可求解的长，进而可求解． 【详解】解：不穿过． 如图，过点A作于点D，    设． 由题意得，，． 在中，， （）． 在中，， ∴（）． ∵， ∴． 解得． ， ∴该公路不穿过公园． 13．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？ 【答案】A港与B港相距海里． 【分析】先作于点C，根据题意求出，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点C， 由题意得， ∴海里， ∵乙货船从B港沿西北方向出发， ∴，， ∴海里， ∴海里， 答：A港与B港相距海里． 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）习近平总书记指出“没有全民健康，就没有全面小康”，全民健身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成为一种时尚．九年级学生小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸EF上有两棵大树A，B，当小明跑到C处时，测得大树A在北偏东方向，小明继续跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分钟，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】该段河的宽度约是． 【分析】过点A作于点M，过点B作于点N，得，四边形是矩形，则，设，在中，则，在中，，根据的长度列方程求解即可． 【详解】解：过点A作于点M，过点B作于点N， 则， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即该段河的宽度约是． 15．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“一方有难，八方支援”，新冠疫情期间，各地医疗队星夜驰援郑州抗疫．一名医务工作者从宾馆C出发，沿北偏东的方向行走1000米到达A处，后又从A处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东方向的B处，如图所示，若这名工作者以100米/分的速度从B处返回宾馆，那么他在10分钟内能否到达宾馆？（参考数据：，，，） 【答案】能到达宾馆 【分析】过作于，由含角的直角三角形的性质求得的长，再在中，求出的长，然后由时间路程速度求出他到达宾馆需要的时间，与10分钟比较即可． 【详解】解：过作于， 由题意可得：，，米， （米）， 在中，， （米）， 这名工作者以100米分的速度从处返回宾馆， 他到达宾馆需要的时间为（分）分， 这名工作者在10分钟内能到达宾馆． 题型三 坡度问题 16．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为24米，则铅垂高度为（    ） A．米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡度，水平宽度为24米， ∴铅垂高度为：（米）， 故选A． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）国庆期间，小明陪妈妈去爬山，两人走到山脚下A处时，看见A处一标语牌上写着“温馨提示：此山坡的坡度”，两人沿坡前行，到达C处时，又发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升50米”，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（    ）米了”． A．50 B．120 C．130 D．170 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的概念解直角三角形即可． 【详解】由题意可得，坡度，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 即至少走坡路130米， 故选：C． 18．（23-24九年级上·河南南阳·期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：． 19．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, （米）． 故选：． 20．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，段为助滑道，段为着陆坡，着陆坡的坡角为，点与点的高度差为米，点与点的高度差为米，则着陆坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得四边形矩形，从而得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形矩形， ， 米，米， 米， 在中，米， 故选：D． 21．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图是某建筑物的侧面图形．已知建筑物坡度为，总长为米，斜坡和平台形成为，从E点看D点的仰角为，斜坡长15米．求长度为 米．（结果保留根号）    【答案】 【分析】过点A作于点H，延长交于点G，作于点N，设，则，利用勾股定理可得，从而求得，根据题意可得，利用勾股定理求得，从而求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长交于点G，作于点N， 则中，设，则， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 则， 故答案为：．    22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，是解答本题的关键． 根据题意设滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为，利用坡度的定义，由勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：根据题意设： 滑块沿斜坡向上移动了时，上升的高度为， 斜坡的坡度为， 滑块水平距离为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 滑块上升的高度为， 故答案为：． 23．（22-23九年级上·河南开封·期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，，测得米，米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．（参考数据：） (1)求这个车库的斜坡的长； (2)求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到米）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，勾股定理即可求解； （2）在中，根据，求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴（米） 答：这个车库的斜坡的长米； （2）解：在中，， ∴（米） ∴（米） 斜坡改进后的起点与原起点的距离约为米． 题型四 不规则图形问题 24．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，河岸、互相平行，桥垂直于两岸，桥长，在C处看桥两端A、B，夹角（，，），则B、C间的距离为（      ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：由题意可知：，， 在中， ， 故选：A． 25．（22-23九年级上·河南南阳·期末）疫情网课期间，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据，得到，再根据，得到，在中根据三角函数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， 在中， ∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，东西走向的水平海岸线上有A，B两个码头，小岛C在码头A正北方向20海里处，轮船行驶到D时观测到小岛C在船的西南方向50海里处，码头B在船的南偏东方向上．求出码头A和码头B的距离（结果保留整数，参考数据：，，，）． 【答案】74海里． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角概念、锐角三角函数的定义等知识点，正确作出辅助线构建背靠背的直角三角形是解题的关键． 如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为F．然后解直角三角形求得，进而得到，证明四边形AEFC为矩形求得海里，即海里，最后在中解直角三角形以及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为F． 在中，，，， ∴海里． ∵为等腰直角三角形， ∴海里． 根据题意得：四边形AEFC为矩形， ∴海里． ∴海里，即海里． 在中，，， ∴，， ∴海里． 答：码头A和码头B的距离AB约为74海里． 27．（23-24九年级上·河南周口·期末）小艺在某大学艺术学院就读，她想借助学院前的台阶，测量学院对面雕塑的高度，如图为雕塑和学院门口台阶的侧面示意图，为雕塑，为雕塑下端的平台，为学院门口的台阶，已知B，D在同一水平线上（即），此时测得等于，点D距离地面高度为米，已知台阶的坡角为，米，求该雕塑的高度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】雕塑的高度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，先根据题意得出为等腰直角三角形，求出米，得出（米），根据，求出结果即可． 【详解】解：在中，米，台阶的坡角为， ∴为等腰直角三角形， 米， （米）， 由题意得，四边形为矩形， 米， 在中，，， ， 解得米． 答：雕塑的高度约为米 28．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．根据题先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用平角定义求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形． 由题意得，． 在Rt中，， ∴． ∵， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴． 答：按压柄下端到导管的距离约为． 29．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用更加广泛．如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好与扇叶在同一平面上，在地上设置高的标杆影长．此时太阳光垂直照射叶片（如左图），整个风力发电设备的影子最长达到．已知风力发电杆高为，求扇叶的长和此时点到地面的距离．    【答案】扇叶的长为，点到地面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键；过B作于N，过O作于G；则可得四边形是矩形，有；由同一时刻物高与影长的比相等，得，设，则可表示出，由，得，其正切值相等，得到关于x的方程，求得x，即可求得结果． 【详解】解：如图，过B作于N，过O作于G； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵同一时刻物高与影长的比相等， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴，，， 由勾股定理得：； ∴扇叶的长为，点到地面的距离为．    30．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：                  (1)米，，取，他们设米，则用含的代数式表示______米，______米．由此列方程求解得______． (2)应用（1）的数据，求高树比低树高多少米（取1.4）． 【答案】(1) (2)高树比低树高米 【分析】 本题考查解直角三角形的应用； （1）由正切关系求得，由列出方程即可求解； （2）由勾股定理求得，可求得，即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴（米），米， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：由（1）知，米，米， 在中，由勾股定理得：米，（米） ∴米， ∴（米） 即高树比低树高米． 31．（2023·河南·中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 【答案】树的高度为 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树的高度为． 32．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； (2)过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80 【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，进而求出反比例函数表达式，将B点坐标代入一次函数表达式求出b的值，进而求出一次函数表达式； （2）作轴于M，先根据三角函数求出的值，进而求出高的值，将代入一次函数表达式即可求出长和宽． 【详解】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式： ∴反比例函数表达式为 代入一次函数表达式得：，解得， ∴一次函数表达式为 （2）如图，作轴于M， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ ∵ ∴把代入一次函数表达式得 ∴，即长为60 ∴ 根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80． 题型五 三角函数测高 33．（20-21九年级上·河南信阳·期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可． 【详解】解：∵， ∴BC＝CD＝x， ∵AB＝30， ∴AC＝x+30， ∴tan28°＝， ∴x＝（x+30）tan28°， 故选：B． 34．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是拦水坝的横断面．斜坡AB的坡度为1：2，BC⊥AE，垂足为点C，AC长为12米，则斜坡AB的长为 米． 【答案】6． 【详解】试题分析：根据坡度的概念和已知求出BC，根据勾股定理求出斜坡AB的长． 解：∵斜坡AB的坡度为1：2， ∴=，又AC=12， ∴BC=6， ∴AB==6， 故答案为6． 35．（22-23九年级上·河南安阳·期末）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：，．结果保留整数） 【答案】42． 【详解】试题分析：延长AE交CD于点G，设CG=xm，在Rt△CGE中利用x表示出EG，在Rt△ACG中，利用x表示出AG，根据AE=AG﹣EG即可列方程求得x的值，进而球儿CD的长． 试题解析：延长AE交CD于点G．设CG=xm，在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．在直角△ACG中，AG==m．∵AG﹣EG=AE，∴，解得：x=≈15×2.732≈40.98（m）．则CD=40.98+1.5=42.48（m）． 答：这栋建筑物CD的高度约为42m． 36．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)． 【答案】旗杆AB的高度是（8+8）米． 【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，从而可以求得AB的高度． 【详解】，解：由题意可得， CD=16米， ∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°， ∴CB•tan30°=BD•tan45°， ∴（CD+DB）×=BD×1， 解得BD=8+8， ∴AB=BD•tan45°=（8+8）米， 即旗杆AB的高度是（8+8）米． 37．（22-23九年级上·河南周口·期末）县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房前有一斜坡，它的坡度．他们先在坡面处测量楼房顶部的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房的方向继续行走至处，再次测量楼房顶部的仰角，并测量了、之间的距离，最后测量了坡面、之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表： 项目 内容 课题 测量学校附近楼房的高度 测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 30.2° 29.8° 30° 仰角的度数 60.1° 59.9° 60° 、之间的距离 5.1米 4.9米 5米 、之间的距离 9.8米 10.2米 … … 任务一：两次测量，之间的距离的平均值是________米； 任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】任务一： 10；任务二：楼房的高为19.3米． 【分析】任务一：直接用平均数公式计算即可； 任务二：过点作于点；作于点，交于点．过点作于点，根据坡比求，解△DCG、△EHP、△AFH即可． 【详解】解：任务一：（米）， 故答案为：10 任务二： 如图，过点作于点；作于点，交于点．过点作于点．则易得，． ∵，，∴； 在中，， 在中，，， ∴ 又∵，∴， 在中， 米． 答：楼房的高为19.3米． 38．（20-21九年级上·河南商丘·期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题根据题意作，利用和 分别求出PB，AP即可求出AB的长． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，，， 在中，，， 米． 39．（23-24九年级上·河南新郑·期末）如图是一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得的数据如下： ①小明的身高DC=1．5m ②小明的影长CE=1．7m ③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9m ④旗杆的影长BF=7．6m ⑤从D点看A点的仰角为30° 你可以根据需要选出其中某几个数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0．1，参考数据≈1．414，≈1．732） 解：要想求旗杆的高度，你准备选择上面所给数据__________________（填序号）；并写出求解过程． 【答案】选用①②④，旗杆高度是6．7m． 【详解】试题分析：本题的解法不唯一，如果选用①②④，由AB⊥FC，CD⊥FC，得∠ABF=∠DCE=90°，由AF∥DE，得∠AFB=∠DEC，进而得△ABF∽△DCE，所以，代入数值即可求出AB． 试题解析：选用①②④，∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF=∠DCE=90°， 又∵AF∥DE，∴∠AFB=∠DEC，∴△ABF∽△DCE，∴，又∵DC=1．5m，FB=7．6m，EC=1．7m，∴AB=6．7m．即旗杆高度是6．7m． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）为测量一座古塔的高度，三个数学探究小组分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量古塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等工具 测量小组 第一组 第一组 第三组 测量方案 示意图 说明 古塔与地面垂直，第三组方案中与地面垂直，点在一条直线上 测量数据 米 米 米 (1)哪个小组的数据无法计算出古塔的高度？ (2)请从能计算出古塔高度的方案中任选一个，计算一下古塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)第三小组的数据无法计算出古塔的高度 (2)这个古塔高约24米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题目的已知条件并结合图形进行分析，即可解答； （2）①若选择第一组，设为米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；②若选择第二组，设为米，则米，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：第三小组的数据无法计算出古塔的高度； （2）①若选择第一组，过程如下： 设为米， 米， 米， 在中， 米， 在中， 米， 解得：， 米， ∴这个古塔高约为24米； ②若选择第二组，过程如下： 设为米， 米， 米， 在中， 米， 在中， 米， 解得：， 米， ∴这个古塔高约为24米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$