专题05代数式（10大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题05 代数式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、单项式系数或次数的求值 2 类型二、多项式的次数或系数的求值 4 类型三、已知同类项求指数或代数式的值 6 类型四、图形类规律探究题 7 类型五、数字类规律探究题 10 类型六、整式加减中的化简求值 14 类型七、整式加减中无关型问题 16 类型八、整式加减中看错或遮挡型问题 18 类型九、整式加减的应用 20 类型十、整式加减的新定义运算 25 压轴能力测评 28 1.单项式的定义及单项式的系数和次数 数与字母的积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2.多项式的定义及多项式的项、常数项及次数的概念 几个单项式的和叫做多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 3.整式的定义 单项式与多项式统称为整式． 4.同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．所有常数项都是同类项。 5.合并同类项 1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 2) 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 6.去括号法则 1）去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2）① 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（不变号）； 即a+（b+c）=a+b+c；② 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的 符号相反（要变号），即a-（b-c）=a-b+c 3）对于多重括号，去括号时一般先去小括号，后去中括号，再去大括号；但是一定要注意括 号前的符号变化． 7.整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 类型一、单项式系数或次数的求值 例1．若已知与的次数相等，则= ． 【答案】1 【分析】先根据多项式与单项式的次数的定义求出n的值，再代入计算有理数的乘方即可得． 【详解】单项式的次数为， 与的次数相等， ， 解得， 则， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式与单项式的次数、有理数的乘方运算，熟练掌握多项式与单项式的次数的概念是解题关键． 变式1-1．已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 【详解】（1）∵单项式与的次数相同， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键． 变式1-2．已知是关于x，y的七次单项式，求的值． 【答案】5或29 【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的系数和次数得出关于m的方程，得出m的值代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于，的七次单项式， ∴且， 解得：， 当时，； 当时，； ∴的值是5或29． 变式1-3．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，求的最大值． 【答案】 【分析】根据（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，可知，再分情况求出，的值，即可得出最后结果． 【详解】解：是含有字母和的五次单项式， ，，， ，时，； ，时，； ，时，； ，时，， 的最大值为9． 【点睛】解答本题考查了单项式的概念，有理数的乘方，利用分类讨论的思想解题是关键． 类型二、多项式的次数或系数的求值 例2．若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 变式2-1．已知有理数和有理数满足多项式，是关于的二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，熟练掌握若干个单项式的和组成的式叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数项是解题的关键．根据多项式的定义解决此题． 【详解】解： 是关于的二次三项式， 的系数为0，即， ， 当时，， 若，则，不符合题意， ，即， 或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 综上，． ∴． 故答案为：． 变式2-2．已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握整式加减中的无关型问题，代数式求值是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出； （2）把、的值代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∴的值为． 变式2-3．已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式和单项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． 根据单项式的次数和多项式的次数求出、的值即可； 将多项式按降幂排列即可． 【详解】（1）解：多项式是六次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， 解得：． （2）解：将多项式按降幂排列为． 类型三、已知同类项求指数或代数式的值 例3．如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，涉及同类项定义、解方程、代数式求值和的值等知识，熟记同类项的定义，列方程求出的值，代入求值即可，掌握同类项定义列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式3-1．若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则计算即可，解决问题的关键在于掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 变式3-2．已知与是同类项，的系数为，的次数是4，计算的值． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义、单项式的系数和次数的定义，结合题意求出x、y、m的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 所以， 则． 变式3-3．如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式． （1）先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）根据合并同类项法则可得，又xy≠0，得2m﹣5n＝0，再根据有理数的乘方的定义计算即可． 【详解】（1）解：单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项， ，， 解得，， ； （2）解：，，， ， 又， ， ． 类型四、图形类规律探究题 例4．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 故选：B． 变式4-1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为个；三角形有个，再求出第10个图案点的个数为个；三角形有个，问题得解． 【详解】解：由所给图案可得 第1个图案点的个数为个；三角形有1个； 第2个图案点的个数为个；三角形有个； 第3个图案点的个数为个；三角形有个； …… 所以第n个图案点的个数为个；三角形有个； 所以第10个图案点的个数为个；三角形有个， 所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为个． 故答案为：85 变式4-2．如图所示，图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间的小三角形三边的中点得到图3，按上面方法继续下去，第674个图中共有 个三角形.    【答案】2693 【分析】本题考查探索图形的变换规律，根据数学思想从特殊到一般，观察第1个图形三角形个数为1，第2个图形三角形个数为5，第3个图形三角形个数为9，从第2个图形开始，每个图形比前一个图形多4个三角形，所以第个图形中三角形个数为，根据规律即可解题． 【详解】解：由图知， 第1个图形三角形个数为：， 第2个图形三角形个数为：， 第3个图形三角形个数为：， 由此可知，第个图形三角形个数为：， 则第674个图形三角形个数为：， 故答案为：2693． 变式4-3．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为 ． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 类型五、数字类规律探究题 例5．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 变式5-1．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 变式5-2．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 变式5-3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律． 【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 类型六、整式加减中的化简求值 例6．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 变式6-1．已知A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－，求3A＋2B－36C的值，其中x＝－6． 【答案】30 【分析】将A，B，C的值代入3A＋2B－36C中，去掉括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可． 【详解】解：∵A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－， ∴ 当x＝－6时，原式． 【点睛】本题考查的知识点是整式的化简求值，解此题的关键是能够将所求代数式正确的化简． 变式6-2．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16 【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果； （Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值； （Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可． 【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， ∴x2+x+2016＝1+2016＝2017， 故答案为：2017； （Ⅱ）∵a+b＝5， ∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11； （Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8， ∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24， ∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16． 【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键. 变式6-3．已知，求的值． 【答案】-2008. 【分析】将拆分成含有的形式，即可完成解答. 【详解】解：， . 【点睛】本题考查了多项式的拆分求值，解答的关键是拆分成含有的形式. 类型七、整式加减中无关型问题 例7．已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 【答案】（1），（2）-5 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可； （2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得，， ∴，， ， =， =． （2）， =， ∵结果中不含有项以及项， ∴，， 解得，， 把代入， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算． 变式7-1．已知关于的多项式与多项式的差中不含有关于的一次项，求的值. 【答案】-7 【分析】先作与多项式的差，然后让x，y的的一次项系数为0，求出m和n，最后代入即可. 【详解】解：-() =2x+my-12-nx+3y-6 = (2-n)x+(m+3)y-18 由题意得：2-n=0，m+3=0 解得：n=2，m=-3 所以=-3+2+（-3）×2=-3+2-6=-7 【点睛】本题考查了整式加减的应用，解答的关键在于理解不含的项的系数为0以及整式加减的灵活运用. 变式7-2．已知多项式和的差与字母x的值无关，求整式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的无关型问题，熟练掌握整式的的混合运算法则是解题的关键．先化简多项式和的差，根据差与字母x的值无关，建立等式求出，的值，再化简并代入，的值求解，即可解题． 【详解】解： ． ∵该结果与字母x的值无关， ，， 解得，． 故 ． 变式7-3．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． (1)求A﹣2B； (2)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】（1）=；（2） 【分析】（1）按要求直接整体代入，然后去括号，合并同类项化简即可； （2）先整体代入，然后合并同类项化简，再根据与x无关，可知其系数为0，求解方程即可． 【详解】（1）= =    （2） = ∵的值与的取值无关， ∴ 类型八、整式加减中看错或遮挡型问题 例8．有这样一道题：先化简，再求值： ，其中，.小明同学在抄题时，把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．这是怎么回事呢？请同学们先正确解答该题，然后说明理由． 【答案】见解析 【分析】先化简后消掉未知数x，再求值时就与x无关即可. 【详解】解： = = = 因为无论”还是“，都x无关，所以不影响结果. 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，去括号和合并同类项是解答本题的关键. 变式8-1．有这样一道题“计算：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3）的值，其中，n=-1.”小强不小心把错抄成了，但他的计算结果却也是正确的，你能说出这是为什么吗？ 【答案】才会出现小强计算结果也是正确的 【详解】试题分析：先根据整式的化简，先去括号，再合并同类项，然后可发现化简结果中不含有字母m，因此两个数值对最后的结果没有影响. 试题解析：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3） =2m4-4m3n-2m2n2-m4+2m2n2-m4+4m3n-n3 =-n3. 由于原式化简后不存在含m的项，错抄成了不影响计算结果，所以才会出现小强计算结果也是正确的. 变式8-2．已知 小明错将“”看成“”，算得结果． (1)求整式； (2)求的正确结果； (3)小芳说（2）中结果的大小与的取值无关，对吗？若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)小芳的说法是对的，理由见详解， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，由算得结果可算出的值，解题时注意找准同类项，正确合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据的结果，由，结合整式的混合运算法则可得整式的值； （2）由（1）得到整式的值，再根据整式的混合运算法则即可求解的值； （3）由（2）的计算结果可判定小芳的说法，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：已知，计算的结果， ∴ ， ∴整式； （2）解： ， ∴的正确结果为； （3）解：由（2）的计算结果可得，小芳的说法是对的， 当，时，， ∴的值为． 变式8-3．小乐和小程分别化简两个代数式，小乐化简后的代数式A为其中的系数被墨迹●覆盖了，小程待化简的代数式B为“”，小乐原来打算重新化简一次代数式A．此时有以下对话： 小程说：我记得如果知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了． 小乐说：你这样说的话，我就知道被墨迹覆盖的系数是多少了． 根据以上的对话，请回答下列问题： (1)求被墨迹●覆盖的系数． (2)当代数式A的值为2时，求代数式B的值． 【答案】(1)1 (2)14 【分析】本题主要考查了整式的化简求值： （1）先把代数式B去括号，然后合并同类项化简得到，再根据小程的说法可得代数式即为，据此可得答案； （2）根据（1）所求可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了， ∴代数式即为， ∴被墨迹●覆盖的系数为1； （2）解：∵代数式A的值为2， ∴， ∴， ∴代数式B的值为14． 类型九、整式加减的应用 例9．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每颗桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5颗，则每颗苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每颗树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买颗桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 【答案】（1）该护栏第三边的边长为；（1）当时，；当时，；（3）“十小八”卖桃子的总利润为元 【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式； （1）将周长减去两条边长，即可求解；   （2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解；   （3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解．   【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为 ；   答：该护栏第三边的边长为；   （2）解：当时，他买桃树苗花的钱为； 当时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱， 他买桃树苗花的钱为； 答：当时，他买桃树苗花的钱为元；当时，为元； （3）依题意， ．   答：“十小八”卖桃子的总利润为元． 变式9-1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 变式9-2．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1．5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解： 元， ∴该户这个月应缴纳的水费为元； （2）解： 元， ∴当时，该户应缴纳的水费为元； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴ 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴ 元， 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴ 元； 综上所述，当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式9-3．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【答案】(1)①6；②27；③60 (2) (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 类型十、整式加减的新定义运算 例10．一个三位数（，，，x，y，z均是整数），若满足（m为整数），则称A是“m型陪伴数”．例如：三位数315，∵，∴，则315是“2型陪伴数”；三位数267，∵，∴，m不是整数，则267不是“m型陪伴数”． (1)判断125，374是否为“m型陪伴数”，若是，求出m；若不是，说明理由． (2)三位数（，，，a，b，c均是整数且互不相等）是“4型陪伴数”，将B的百位数字和十位数字组成的两位数（百位数字在前十位数字在后）记为，将B的十位数字和个位数字组成的两位数（十位数字在前个位数字在后）记为，若为整数，求满足条件的所有三位数B 【答案】(1)125是“型陪伴数”， ；374不是“m型陪伴数” (2)437，444，888，895 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）先根据新定义得出，然后根据题意求出，，代入可得，最后根据为整数，，，，a，b，c均是整数，判断出a，b，c即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故125是“型陪伴数”， ∵， ∴，m不是整数， ∴374不是“m型陪伴数”； （2）解：（，，，a，b，c均是整数且互不相等）是“4型陪伴数”， ∴， ∴， 由题意知，， ∴ ， ∵，，，a，b，c均是整数且互不相等， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴符合条件的所有三位数B为437，444，888，895． 【点睛】本题考查了整式混合运算，读懂题意，理解新定义是解题的关键． 变式10-1．阅读材料 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是______，最大的“欢喜数”是______； (2)若某“欢喜数”的百位数字为，十位数字为，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”为奇数，且十位数字比个位数字大6，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”． 【答案】(1)110，990 (2)见解析 (3)为671或693 【分析】此题考查学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，整式加减混合运算的应用．解题的关键是理解“欢喜数”的定义． （1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”即可； （2）由题意可得出，即证明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）根据十位数字比个位数字大6，和“欢喜数”的定义可得出该“欢喜数”的百位数字为6，且个位数字小于等于3．再根据该“欢喜数”为奇数，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990． 故答案为：110，990； （2）解：由题意可知该“欢喜数”是， ∴， ∴这个欢喜数是11的倍数； （3）解：∵十位数字比个位数字大6， ∴该“欢喜数”的百位数字为6，且个位数字小于等于3． ∵该“欢喜数”为奇数， ∴该“欢喜数”的个位数字为奇数， 分类讨论：①当“欢喜数”的个位数字为1时，则此时十位数字为，即该“欢喜数”为671； ②当“欢喜数”的个位数字为3时，则此时十位数字为，即该“欢喜数”为693． 综上可知为671或693． 变式10-2．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…… (1)写出一个最小的五位“轴对称数”． (2)设任意一个位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为，去掉首尾数字后的位数表示为，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除． (3)若一个三位“轴对称数”个位数字小于或等于4与整数的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”． 【答案】(1)最小的五位“轴对称数”是10001； (2)证明见解析； (3)满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494 【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为，其它为的数； （2）先表示这个任意的位“轴对称数”： ，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论； （3）设这个三位“轴对称数”为，根据与的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设，化为，所以能同时被45整除，分情况计算可得结论． 【详解】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001； （2）证明：由题意得： ， 该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除； （3）解：设这个三位“轴对称数”为， 与整数的和能同时被5和9整除， 设， 则， ， ∵能同时被5和9整除， ∴能同时被5和9整除， 即的值为0或45或90或135，又， 当时，这个三位“轴对称数”是131， 当时，这个三位“轴对称数”是222， 当时，这个三位“轴对称数”是313， 当时，这个三位“轴对称数”是404， 当时，这个三位“轴对称数”是494， 所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型． 1．对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1），；（2），，则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到……以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，……，称为“优选作差”序列． 现对和进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①；②； ③当时，“优选做差”序列中满足的整数k有1349个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，根据“优选作差”的定义求出，，，……，，找到规律后再逐个判断即可． 【详解】解：∵和，则“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， ∴和中“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， ∴和中“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， 同理可得：，，，， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵ ∴， 故①正确； ， 故②正确； 当时，排除和两个以后，刚好有组，每一组有两个满足，共，即“优选做差”序列中满足的整数k有个， 故③错误， 综上所述，正确的是①②，共两个， 故选：C． 2．已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【详解】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 3．如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，熟练掌握图形变化规律，是解题的关键， 观察图形，后一个图形比前一个图形多4个白色正六边形，第几个图形有几个黑色正六边形，即可得出结果． 【详解】解：观察图形， 第1个图形中有6块白色正六边形，， 第2个图形中有10块白色正六边形，， 第3个图形中有14块白色正六边形，， ……， ∴第n个图形中白色正六边形的块数为；． 第1个图形中有1块黑色正六边形， 第2个图形中有2块黑色正六边形， 第3个图形中有3块黑色正六边形， ……， ∴第n个图形中有n块黑色正六边形． ∴． ∴第n（n为正整数）个图案形中白色正六边形比黑色正六边形多个． 故答案为：． 4．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 5．已知单项式与是同类项，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项定义得出，然后再代入求助即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴． 6．若，，求的值. 【答案】9或-11 【分析】根据确定m、n的符号，由此化简，再代入代数式中计算即可. 【详解】∵， ∴m、n异号， ①当m>0,n<0时， ， ∴ =mn+m-n+2（m-n）， =mn+3（m-n）， =-6+15 =9； ②当m<0，n>0时，， ∴， =mn-m+n-2(n-m)， =mn-（n-m）， =-6-5 =-11， ∴的值是9或-11. 【点睛】此题考查有理数的绝对值的性质，有理数的乘法法则，整式的代入计算. 7．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简 ； (2)已知 ，求的值； (3)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴原式 ； （3）解： . 8．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元 【分析】（）根据收费标准计算即可求解； （）根据收费标准列出算式即可； （）先判断甲户的用水量大致范围，再分、和三种情况列式表示即可； 本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴， ①当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ②当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ③当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； 答：当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元． 9．下列等式： ；；；；… (1)仿写：______；第n个式子是______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了数字类规律探索，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）仿照题干即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：① ； ② ． 10．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ． 如：． （1）计算：　　． （2）计算：　　． （3）在，，，…，，，，，…，，这个数中： ①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值． 【答案】（1）4；（2）3；（3）①当，，时，可取最小值为；②． 【分析】（1）根据新运算法则列式计算即可； （2）根据新运算法则列式计算即可； （3）①分类讨论，，化简求得原式的最小值； ②将，，，分别赋予和，同时赋予四个负数，最后一组，同时，为两个负数，分别进行计算，从而求解． 【详解】解：（1）根据题意： ； 故答案为：4； （2）根据题意得： ； 故答案为：3； （3）①当时， ， 当时， ， 当，，时， 可取最小值为，即的最小值为； ②当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 当，，时，此时， ； 即五个结果的最大值为． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算法则及绝对值的意义，发现当时，，当时，是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 代数式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、单项式系数或次数的求值 2 类型二、多项式的次数或系数的求值 4 类型三、已知同类项求指数或代数式的值 6 类型四、图形类规律探究题 7 类型五、数字类规律探究题 10 类型六、整式加减中的化简求值 14 类型七、整式加减中无关型问题 16 类型八、整式加减中看错或遮挡型问题 18 类型九、整式加减的应用 20 类型十、整式加减的新定义运算 25 压轴能力测评 28 1.单项式的定义及单项式的系数和次数 数与字母的积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2.多项式的定义及多项式的项、常数项及次数的概念 几个单项式的和叫做多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 3.整式的定义 单项式与多项式统称为整式． 4.同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．所有常数项都是同类项。 5.合并同类项 1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 2) 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 6.去括号法则 1）去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2）① 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（不变号）； 即a+（b+c）=a+b+c；② 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的 符号相反（要变号），即a-（b-c）=a-b+c 3）对于多重括号，去括号时一般先去小括号，后去中括号，再去大括号；但是一定要注意括 号前的符号变化． 7.整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 类型一、单项式系数或次数的求值 例1．若已知与的次数相等，则= ． 变式1-1．已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 变式1-2．已知是关于x，y的七次单项式，求的值． 变式1-3．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，求的最大值． 类型二、多项式的次数或系数的求值 例2．若多项式是四次三项式，则 ． 变式2-1．已知有理数和有理数满足多项式，是关于的二次三项式，则 ． 变式2-2．已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 变式2-3．已知多项式是六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 类型三、已知同类项求指数或代数式的值 例3．如果单项式与是同类项，那么的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 变式3-1．若，那么 ． 变式3-2．已知与是同类项，的系数为，的次数是4，计算的值． 变式3-3．如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 类型四、图形类规律探究题 例4．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 变式4-1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 变式4-2．如图所示，图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间的小三角形三边的中点得到图3，按上面方法继续下去，第674个图中共有 个三角形.    变式4-3．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 类型五、数字类规律探究题 例5．为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 变式5-1．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 变式5-2．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 变式5-3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 类型六、整式加减中的化简求值 例6．已知，，则的值为 ． 变式6-1．已知A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝x2－，求3A＋2B－36C的值，其中x＝－6． 变式6-2．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 变式6-3．已知，求的值． 类型七、整式加减中无关型问题 例7．已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 变式7-1．已知关于的多项式与多项式的差中不含有关于的一次项，求的值. 变式7-2．已知多项式和的差与字母x的值无关，求整式的值． 变式7-3．已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． (1)求A﹣2B； (2)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 类型八、整式加减中看错或遮挡型问题 例8．有这样一道题：先化简，再求值： ，其中，.小明同学在抄题时，把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．这是怎么回事呢？请同学们先正确解答该题，然后说明理由． 变式8-1．有这样一道题“计算：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3）的值，其中，n=-1.”小强不小心把错抄成了，但他的计算结果却也是正确的，你能说出这是为什么吗？ 变式8-2．已知 小明错将“”看成“”，算得结果． (1)求整式； (2)求的正确结果； (3)小芳说（2）中结果的大小与的取值无关，对吗？若，，，求的值． 变式8-3．小乐和小程分别化简两个代数式，小乐化简后的代数式A为其中的系数被墨迹●覆盖了，小程待化简的代数式B为“”，小乐原来打算重新化简一次代数式A．此时有以下对话： 小程说：我记得如果知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了． 小乐说：你这样说的话，我就知道被墨迹覆盖的系数是多少了． 根据以上的对话，请回答下列问题： (1)求被墨迹●覆盖的系数． (2)当代数式A的值为2时，求代数式B的值． 类型九、整式加减的应用 例9．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每颗桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5颗，则每颗苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每颗树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买颗桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 变式9-1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 变式9-2．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1．5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 变式9-3．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 类型十、整式加减的新定义运算 例10．一个三位数（，，，x，y，z均是整数），若满足（m为整数），则称A是“m型陪伴数”．例如：三位数315，∵，∴，则315是“2型陪伴数”；三位数267，∵，∴，m不是整数，则267不是“m型陪伴数”． (1)判断125，374是否为“m型陪伴数”，若是，求出m；若不是，说明理由． (2)三位数（，，，a，b，c均是整数且互不相等）是“4型陪伴数”，将B的百位数字和十位数字组成的两位数（百位数字在前十位数字在后）记为，将B的十位数字和个位数字组成的两位数（十位数字在前个位数字在后）记为，若为整数，求满足条件的所有三位数B 变式10-1．阅读材料 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是______，最大的“欢喜数”是______； (2)若某“欢喜数”的百位数字为，十位数字为，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”为奇数，且十位数字比个位数字大6，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”． 变式10-2．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…… (1)写出一个最小的五位“轴对称数”． (2)设任意一个位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为，去掉首尾数字后的位数表示为，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除． (3)若一个三位“轴对称数”个位数字小于或等于4与整数的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”． 1．对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1），；（2），，则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到……以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，……，称为“优选作差”序列． 现对和进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①；②； ③当时，“优选做差”序列中满足的整数k有1349个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 3．如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      4．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 5．已知单项式与是同类项，求的值． 6．若，，求的值. 7．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简 ； (2)已知 ，求的值； (3)若，求代数式的值． 8．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 9．下列等式： ；；；；… (1)仿写：______；第n个式子是______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 10．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ． 如：． （1）计算：　　． （2）计算：　　． （3）在，，，…，，，，，…，，这个数中： ①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$