黑龙江省大庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

大庆市靓湖学校 2024-2025 学年第一学期期中考试试题 靓湖学校理念！ 桥 幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精1 大庆市靓湖学校九年级期中考试 数学试题 考试时间：2024.11.15 答题时间：120 分钟 总分：120 分 一、选择题（本题 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分） 1．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》， 这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价 值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某 孢子体的苍蒴直径约为 0.0000086m，将数据 0.0000086用科学记数法表示为 8.6×10n， 则 n的值是（ ） A．6 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录， 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦． 4．如图，四边形 ABCD内接于⊙O， ，AB∥CD，∠B＝70°，连接 AC，则∠CAD 的度数为（ ） A．25° B．28° C．30° D．35° 5．已知点 在反比例函数 的图象上，若 y＞3，则 x的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．x＞0 6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接 AO交⊙O于点 C，延长 AO交⊙O于点 D， 连接 BD，若∠A＝2∠D，且 AB＝4，则 AC的长是（ ） A．1 B． C． D． 7．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则 tan∠BAC的值为（ ） A． B． C． D． 第 4题图 第 6题图 第 7题图 8．如图，在⊙O中，AB是直径，点 C是圆上一点．在 AB的延长线上取一点 D，CD是 ⊙O的切线，若∠ACD＝120°， ，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 9．已知二次函数 y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中 x是自变量）的图象与 x轴没有 公共点，且当 x＜﹣1时，y随 x的增大而减小，则实数 a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1≤a＜2 D．﹣1＜a≤2 第 8题图 第 10题图 10．如图，BC是⊙O的直径，弦 AB＝6，∠ABC＝60°，D是下半圆 上一个动点，E为 AD的中点，连接 BE，则 BE的最小值为（ ） A． B． C． D． 班 级 姓 名 学 号 4． 如 图 ， 四 边 形 AB C D 内 接 于 ⊙ O ， ， AB ∥ C D ， ∠ B＝ 70 ° ， 连 接 AC ， 则 ∠ C AD 的 度 装 订 线 班 级 姓 名 考场考号 装 订 线 大庆市靓湖学校 2024-2025 学年第一学期期中考试试题 靓湖学校理念！ 桥 幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精2 二、填空题（本题 8 小题，每小题 3 分，共计 24 分） 11．因式分解：3a2b﹣9ab＝ ． 12．要使二次根式 有意义，则 x的取值范围是 ． 13．已知⊙O的半径为 1，则长为 的弦 AB所对的圆周角的度数为 ． 14．如果一个扇形的圆心角为 30°，面积是 ，那么这个扇形的弧长是 m． 15．如图，点 A在双曲线 上，点 B在双曲线 上，AB∥x轴，过点 A作 AD⊥x轴 于 D，连接 OB，与 AD相交于点 C，若 AB＝3OD，则 k的值为 ． 第 15题图 第 16题图 16．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 P处）的高度 OP是 m，出手后实心球沿一 段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5m，高度是 4m．若实心球落地点为 M，则 OM＝ m． 17．如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形 ABCD，其中 AB＝2，AD＝1，将矩形 ABCD 沿 x轴的正方向无滑动的在 x轴上滚动，当点 A离开原点后第一次落在 x轴上时，点 A 运动的路径线与 x轴围成的面积为 ．（结果用含π的式子表示） 第 17题图 第 18题图 18．已知⊙O的半径为 4，B，C是⊙O上两定点，点 A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°， ∠BAC的平分线交⊙O于点 D，过点 D作 BC的平行线交 AB的延长线于点 F．下列说 法中正确的是 ． ①AD的最大值是 8；②点 D为 上一定点；③S△ABC的最大值是 316 ； ④DF与⊙O相交；⑤若△ABC为锐角三角形，则 ． 三、解答题（本题 10 小题，共计 66 分） 19．（4分）计算： ． 20．（4分）先化简，再求值 ，其中 x＝﹣1． 21．（4分）解分式方程 ； 大庆市靓湖学校 2024-2025 学年第一学期期中考试试题 靓湖学校理念！ 桥 幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精3 22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，连接 AC，BC． （1）求证：∠CAB＝∠BCD； （2）若 AB＝4，BC＝2，求 CD的长． 23．（6分）如图，海中有一个小岛 C，某渔船在海中的 A点测得小岛 C位于东北方向上， 该渔船由西向东航行一段时间后到达 B点，测得小岛 C位于北偏西 30°方向上，再沿 北偏东 60°方向继续航行一段时间后到达 D点，这时测得小岛 C位于北偏西 60°方向 上．已知 A，C相距 30n mile．求 C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 24．（7 分）某公司以每件 40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的 销售量 y（件）与每件的销售单价 x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当 x＝50时，总利润为 元； （2）若设总利润为 w元，则 w与 x的函数关系式是 ； （3）若每天的销售量不少于 38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利 润是多少？ 25．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解 学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总 时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 t（小时），阅读总时 间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类 结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中 a的值为 ； （3）若该校有 2000名学生，估计寒假阅读总时间少于 24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2 名同 学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 大庆市靓湖学校 2024-2025 学年第一学期期中考试试题 靓湖学校理念！ 桥 幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精4 26．（9分）如图，一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 y＝ （k≠0）的图象 交于点 A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与 x轴，y轴分别交于点 C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式 mx+n＞ 的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点 P，使得 S△OCP＝4S△OBD，求点 P的坐标． 27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上的一点，点 P是 BA延长线上的一点， 连接 AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若 sin∠B＝ ，求证：AC＝AP； （3）若 CD⊥AB于 D，PA＝4，BD＝6，求 AD的长． 28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交于 A（﹣1，0）， B（2，0）两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点 D在直线 BC下方的抛物线上时，过点 D作 y轴的平行线交 BC于点 E，设点 D的横坐标为 t，DE的长为 l，请写出 l关于 t的函数表达式，并写出自变量 t的取值范 围； （3）连接 AD，交 BC于点 F，求 的最大值． 大庆市靓湖学校2024-2025学年第一学期期中考试试题 大庆市靓湖学校九年级期中考试 班 级 姓 名 考场考号 装　　　　　　　　　　　　　订　　　　　　　　　　　　　线 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．28° C．30° D．35° 装　　　　　　　　　　　　　订　　　　　　　　　　　　　线 班 级 姓 名 学 号 数学试题 考试时间：2024.11.15 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共计30分） 1．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（　　） A．6 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．28° C．30° D．35° 5．已知点在反比例函数的图象上，若y＞3，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．x＞0 6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（　　） A．1 B． C． D． 7．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 第4题图 第6题图 第7题图 8．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1≤a＜2 D．﹣1＜a≤2 第8题图 第10题图 10．如图，BC是⊙O的直径，弦AB＝6，∠ABC＝60°，D是下半圆上一个动点，E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共计24分） 11．因式分解：3a2b﹣9ab＝　 　． 12．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　． 13．已知⊙O的半径为1，则长为的弦AB所对的圆周角的度数为 　 　． 14．如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是 　 m． 15．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴 于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB＝3OD，则k的值为 　 　． 第15题图 第16题图 16．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　m． 17．如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD，其中AB＝2，AD＝1，将矩形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为　 　．（结果用含π的式子表示） 第17题图 第18题图 18．已知⊙O的半径为4，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．下列说法中正确的是 　 　． ①AD的最大值是8；②点D为上一定点；③S△ABC的最大值是； ④DF与⊙O相交；⑤若△ABC为锐角三角形，则． 三、解答题（本题10小题，共计66分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）先化简，再求值，其中x＝﹣1． 21．（4分）解分式方程； 22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC． （1）求证：∠CAB＝∠BCD； （2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长． 23．（6分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 24．（7分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当x＝50时，总利润为 　 　元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 25．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为　 　； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 26．（9分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 27．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP； （3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）， B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）连接AD，交BC于点F，求的最大值． 5 靓湖学校理念！ 桥 幸福从这里开始！ 靓湖学校办学特色： 雅于行而琢于精 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆靓湖学校九年级期中考试数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C C D A D C A 二．填空题（共10小题） 11．【分析】提取公因式，即可得出答案． 【解答】解：3a2b﹣9ab ＝3ab（a﹣3）， 故答案为：3ab（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键． 12．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣2　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零． 13．【分析】根据题意画出图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，求出AC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC＝AC，确定出三角形AOC为等腰直角三角形，同理三角形BOC为等腰直角三角形，确定出∠AOB度数，利用圆周角定理即可求出∠ADB与∠AEB的度数． 【解答】解：如图所示， ∵OC⊥AB， ∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝， 在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝， 根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠AOC＝45°， 同理∠BOC＝45°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°， ∵∠AOB与∠ADB都对， ∴∠ADB＝∠AOB＝45°， ∵大角∠AOB＝270°， ∴∠AEB＝135°， ∴弦AB所对的圆周角为45°或135°． 故答案为：45°或135°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 14．【分析】设扇形所在圆的半径为R，根据题意，得，解得R＝2，R＝﹣2（舍去），根据弧长公式，得． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为R， ∵扇形的圆心角为30°，面积是m2， ∴， ∴R＝2（负值已舍去）， ∴这个扇形的弧长． 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键． 15．【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝6，S矩形OEBF＝k，由AB＝3OD，得到OE＝4OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【解答】解：过点B作BE垂直于x轴，垂足为E，延长线段BA，交y轴于F， ∵AB∥x轴， ∴AF⊥y轴， ∴四边形AFOD是矩形， ∴AF＝OD， ∵BE⊥x轴， ∴BE∥y轴， ∴四边形OEBF是矩形， ∴BF＝OE， ∴AB＝DE， ∵点A在双曲线上， ∴S矩形AFOD＝6， 同理S矩形OEBF＝k， ∵AB＝3OD， ∴DE＝3OD， ∴OE＝4OD ∴S矩形OEBF＝4S矩形AFOD＝24， ∴k＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键． 16．【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案． 【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入上式， 解得：a＝﹣， 即抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4， M为抛物线与x轴的交点， 即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0， 解得：x1＝，x2＝﹣（舍）， ∴OM＝m． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键． 17．【分析】根据图象可知这个面积是3个扇形面积+两个三角形的面积，再根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【解答】解：点A运动的路径如图所示，见图中红线． 由图象可知，点A运动的路径线与x轴围成的面积＝π×22+π•（）2+1×2+•12＝π+2． 故答案为π+2． 【点评】本题考查矩形的性质、旋转的性质、扇形的面积公式等知识，正确作出图形是解题的关键． 18．【分析】①由圆周角定理可知，当A在优弧BC的中点时，AD为最大值，即可得出结论； ②由∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC＝60°，可得，再由B，C是⊙O上两定点即可得出结论； ③当AD⊥BC时，S△ABC最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论； ④连接OD，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与⊙O相切，即可得出结论； ⑤分别求出∠ABC＝90°时，，∠ACB＝90°时，，即可得出△ABC为锐角三角形的范围． 【解答】解：①当A在优弧BC的中点时， AD为直径，最大值为8，故①正确． ②∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAD＝＝＝30°， ∴， ∵B，C是⊙O上两定点， ∴点D为BC上一定点，故②正确． ③∵B，C是⊙O上两定点， ∴BC的长度不变， 则当AD⊥BC时，△ABC的高最大， 设AD与BC交于点H，连接OB，OC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°， ∴∠OCH＝∠OBH＝30°， ∵OC＝OB＝4， ∴OH＝2，BH＝＝＝2， ∴， ∴AH＝AO+OH＝4+2＝6， ∴，故③不正确． ④连接OD， ∵， ∴OD⊥BC， ∵BC∥FD， ∴OD⊥FD， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF为圆的切线，故④不正确． ⑤如图，OD与BC交于点Q，当∠ABC＝90°时，AC为直径， ∴AC＝8， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝4，BC＝＝＝4， ∵OD⊥BC， ∴， ∵∠BQD＝∠ABQ＝∠QDF＝∠BFD＝90°， ∴四边形BQDF为矩形， ∴， 如图，连接BD，∠ACB＝90°，AB为直径， ∵OD⊥BC， ∴OD∥AC， ∴∠DOB＝∠BAC＝60°， ∵OB＝OD， ∴△BOD为等边三角形， ∴OQ＝QD， 同理可得，， ∵BC∥DF， ∴△OBQ～△OFD， ∴， ∴DF＝2BQ， ∵BQ＝2， ∴DF＝4， ∴若△ABC为锐角三角形，则，故⑤正确． ∴正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三．解答题（共9小题） 19．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； 【解答】解：原式＝2﹣+1﹣3＝﹣2； 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣）÷ ＝﹣• ＝﹣， 当x＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣2． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 21.x＝2 22．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接OC，根据垂径定理得到CE＝DE，再利用勾股定理计算出CE，然后计算2CE即可． 【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD， ∴弧BC＝弧BD． ∴∠A＝∠BCD； （2）连接OC， ∵直径AB⊥弦CD， ∴CE＝ED． ∵直径AB＝4， ∴CO＝OB＝2， ∵BC＝2， ∴△OCB是等边三角形， ∴∠COE＝60°， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝OC＝1， 在Rt△COE中， ∴CE＝＝， ∴CD＝2CE＝2． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 23．【分析】过C作CH⊥AB于H，根据三角函数的定义得到BC＝＝＝10（n mile），过D作DG⊥AB于G，求得∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，得到∠CDB＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过C作CH⊥AB于H， ∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile， ∴AH＝CH＝15n mile， ∵∠CBH＝60°， ∴BC＝＝＝10（n mile）， 过D作DG⊥AB于G， ∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°， ∴∠BDG＝60°， ∴∠CDB＝60°， ∴CD＝＝＝20（n mile）， 答：C，D间的距离为20n mile． 24．【分析】（1）根据题意先求出当x＝50时的销售量，再求出利润即可； （2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式； （3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【解答】解：（1）当x＝50时，销售量为y＝﹣2×50+140＝40（件）， 利润为：（50﹣40）×40＝400（元）， 故答案为：400； （2）由题意得： w＝y•（x﹣40） ＝（﹣2x+140）（x﹣40） ＝﹣2x2+220x﹣5600， ∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）， 故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600； （3）∵y≥38， ∴﹣2x+140≥38， 解得：x≤51． ∵w＝﹣2x2+220x﹣5600 ＝﹣2（x﹣55）2+450， ∴对称轴为x＝55，抛物线开口向下， ∴当x≤55时，w随x的增大而增大， ∵x≤51， ∴当x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418． ∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．【分析】（1）由统计图可得D组人数和所占百分比，则可求抽样总人数，进而问题可求解； （2）由（1）及统计图可知A组人数及抽样总人数，然后问题可求解； （3）由题意可得时间不少于24小时的学生所占百分比，进而问题可求解； （4）根据树状图可进行求解概率． 【解答】解：（1）∵D组的人数为6人， 所占百分比为10%， ∴6÷10%＝60（人）， 故本次抽样的学生人数为：60人； ∴C组的人数所占百分比为40%， ∴40%×60＝24（人）， 补全条形统计图如下： （2）A组所占的百分比为：a%＝12÷60×100%＝20%， ∴a＝20， 故答案为：20； （3）2000×（20%+30%）＝1000（名）， 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． ∴恰好选中甲和乙的概率为． 【点评】本题主要考查列表法与树状图法，用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图，概率公式，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键． 26．【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P大坐标为（m，）利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3×a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y＝， 一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ，解得， 一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，不等式mx+n＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2） ∴S△OBD＝＝1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P大坐标为（m，）， ∴＝4， 解得m＝﹣， ∴点P（﹣，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP； （3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 【分析】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线； （2）根据sin∠B＝，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP； （3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO+∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠PCA＝∠B， ∴∠PCA＝∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）证明：∵sin∠B＝， ∴∠B＝30°， ∴∠PCA＝∠B＝30°， 由（1）知∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°， ∴∠PCA＝∠P， ∴AC＝AP； （3）设AD＝x， 在Rt△ACB中，CD⊥AB， ∴CD2＝AD×BD＝6x， ∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B， ∴△PAC∽△PCB， ∴， ∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x）， 在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2， 即（4+x）2+6x＝4（10+x）， 整理得x2+10x﹣24＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去）， 故AD＝2． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．【分析】（1）将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果； （2）先求出直线BC的解析式，进而表示出DE的长，进一步得出结果； （3）分四种情形：当0＜t＜2时，作AG∥DE，交BC于G，可得出△DEF∽△AGF，从而，进而得出＝﹣（t﹣1）2+，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y＝x﹣2， ∴E（t，t﹣2）， ∵D（t，t2﹣t﹣2）， ∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）； （3）如图1， 当0＜t＜2时， 作AG∥DE，交BC于G， ∴△DEF∽△AGF， ∴， 把x＝﹣1代入y＝x﹣2得， y＝﹣3， ∴AG＝3， ∴＝﹣（t﹣1）2+， ∵当x＝1时，最大＝， ∵， ∴最大＝． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练有关基础知识． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/7 20:31:09；用户：姜玲；邮箱：lhzh035@xyh.com；学号：26283655 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 16页） 大庆靓湖学校九年级期中考试数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C C D A D C A 二．填空题（共 10小题） 11．【分析】提取公因式，即可得出答案． 【解答】解：3a2b﹣9ab ＝3ab（a﹣3）， 故答案为：3ab（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键． 12．要使二次根式 有意义，则 x的取值范围是 x≥﹣2 ． 【分析】根据被开方数大于等于 0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+2≥0， 解得 x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数， 分式分母不为零． 13．【分析】根据题意画出图形，由 OC垂直于 AB，利用垂径定理得到 C为 AB的中点，求出 AC的长， 在直角三角形 AOC中，利用勾股定理求出 OC＝AC，确定出三角形 AOC为等腰直角三角形，同理三角 形 BOC为等腰直角三角形，确定出∠AOB度数，利用圆周角定理即可求出∠ADB与∠AEB的度数． 【解答】解：如图所示， ∵OC⊥AB， ∴C为 AB的中点，即 AC＝BC＝ AB＝ ， 在 Rt△AOC中，OA＝1，AC＝ ， 根据勾股定理得：OC＝ ＝ ＝ ，即 OC＝AC， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠AOC＝45°， 第 2页（共 16页） 同理∠BOC＝45°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°， ∵∠AOB与∠ADB都对 ， ∴∠ADB＝ ∠AOB＝45°， ∵大角∠AOB＝270°， ∴∠AEB＝135°， ∴弦 AB所对的圆周角为 45°或 135°． 故答案为：45°或 135°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 14．【分析】设扇形所在圆的半径为 R，根据题意，得 ，解得 R＝2，R＝﹣2（舍去），根据弧 长公式，得 ． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为 R， ∵扇形的圆心角为 30°，面积是 m2， ∴ ， ∴R＝2（负值已舍去）， ∴这个扇形的弧长 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键． 15．【分析】过点 B作 BE⊥x轴于 E，延长线段 BA，交 y轴于 F，得出四边形 AFOD是矩形，四边形 OEBF 是矩形，得出 S 矩形 AFOD＝6，S 矩形OEBF＝k，由 AB＝3OD，得到 OE＝4OD，即可求得矩形 OEBF的面 积，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得 k的值． 【解答】解：过点 B作 BE垂直于 x轴，垂足为 E，延长线段 BA，交 y轴于 F， 第 3页（共 16页） ∵AB∥x轴， ∴AF⊥y轴， ∴四边形 AFOD是矩形， ∴AF＝OD， ∵BE⊥x轴， ∴BE∥y轴， ∴四边形 OEBF是矩形， ∴BF＝OE， ∴AB＝DE， ∵点 A在双曲线 上， ∴S 矩形 AFOD＝6， 同理 S 矩形OEBF＝k， ∵AB＝3OD， ∴DE＝3OD， ∴OE＝4OD ∴S 矩形OEBF＝4S 矩形 AFOD＝24， ∴k＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数 k的几何意义，矩形的判定和性 质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键． 16．【分析】以 O为坐标原点，OM为 x轴正半轴，OP为 y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P （0， ），B（5，4），其中 B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将 P（0， ）代入上式，求出 a的值，进而求出抛物线表达式， 第 4页（共 16页） 最后将 y＝0代入表达式中即可得出答案． 【解答】解：如图，以 O为坐标原点，OM为 x轴正半轴，OP为 y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0， ），B（5，4），其中 B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将 P（0， ）代入上式， 解得：a＝﹣ ， 即抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣5）2+4， M为抛物线与 x轴的交点， 即 y＝﹣ （x﹣5）2+4＝0， 解得：x1＝ ，x2＝﹣ （舍）， ∴OM＝ m． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键． 17．【分析】根据图象可知这个面积是 3个扇形面积+两个三角形的面积，再根据扇形面积公式、三角形 面积公式计算即可． 【解答】解：点 A运动的路径如图所示，见图中红线． 第 5页（共 16页） 由图象可知，点 A运动的路径线与 x轴围成的面积＝ π×22+ π•（ ）2+1×2+ •12＝ π+2． 故答案为 π+2． 【点评】本题考查矩形的性质、旋转的性质、扇形的面积公式等知识，正确作出图形是解题的关键． 18．【分析】①由圆周角定理可知，当 A在优弧 BC的中点时，AD为最大值，即可得出结论； ②由∠BAC的平分线交⊙O于点 D，∠BAC＝60°，可得 ，再由 B，C是⊙O上两定点即可得 出结论； ③当 AD⊥BC时，S△ABC最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论； ④连接 OD，根据平行线的性质和切线的定义，得出 DF与⊙O相切，即可得出结论； ⑤分别求出∠ABC＝90°时， ，∠ACB＝90°时， ，即可得出△ABC为锐角三角形 的范围． 【解答】解：①当 A在优弧 BC的中点时， AD为直径，最大值为 8，故①正确． ②∵∠BAC的平分线交⊙O于点 D，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAD＝ ＝ ＝30°， ∴ ， ∵B，C是⊙O上两定点， ∴点 D为 BC上一定点，故②正确． ③∵B，C是⊙O上两定点， ∴BC的长度不变， 则当 AD⊥BC时，△ABC的高最大， 第 6页（共 16页） 设 AD与 BC交于点 H，连接 OB，OC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°， ∴∠OCH＝∠OBH＝30°， ∵OC＝OB＝4， ∴OH＝2，BH＝ ＝ ＝2 ， ∴ ， ∴AH＝AO+OH＝4+2＝6， ∴ ，故③不正确． ④连接 OD， ∵ ， ∴OD⊥BC， ∵BC∥FD， ∴OD⊥FD， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF为圆的切线，故④不正确． ⑤如图，OD与 BC交于点 Q，当∠ABC＝90°时，AC为直径， ∴AC＝8， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， 第 7页（共 16页） ∴AB＝4，BC＝ ＝ ＝4 ， ∵OD⊥BC， ∴ ， ∵∠BQD＝∠ABQ＝∠QDF＝∠BFD＝90°， ∴四边形 BQDF为矩形， ∴ ， 如图，连接 BD，∠ACB＝90°，AB为直径， ∵OD⊥BC， ∴OD∥AC， ∴∠DOB＝∠BAC＝60°， ∵OB＝OD， ∴△BOD为等边三角形， ∴OQ＝QD， 同理可得， ， ∵BC∥DF， ∴△OBQ～△OFD， ∴ ， ∴DF＝2BQ， ∵BQ＝2 ， ∴DF＝4 ， ∴若△ABC为锐角三角形，则 ，故⑤正确． 第 8页（共 16页） ∴正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与 性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三．解答题（共 9小题） 19．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂 法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； 【解答】解：原式＝2 ﹣ +1﹣3＝ ﹣2； 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把 x的值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷ ＝﹣ • ＝﹣ ， 当 x＝﹣1时，原式＝﹣ ＝﹣2． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 21.x＝2 22．【分析】（1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接 OC，根据垂径定理得到 CE＝DE，再利用勾股定理计算出 CE，然后计算 2CE即可． 【解答】（1）证明：∵直径 AB⊥弦 CD， ∴弧 BC＝弧 BD． ∴∠A＝∠BCD； （2）连接 OC， ∵直径 AB⊥弦 CD， ∴CE＝ED． ∵直径 AB＝4， ∴CO＝OB＝2， ∵BC＝2， ∴△OCB是等边三角形， 第 9页（共 16页） ∴∠COE＝60°， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝ OC＝1， 在 Rt△COE中， ∴CE＝ ＝ ， ∴CD＝2CE＝2 ． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 23．【分析】过 C作 CH⊥AB于 H，根据三角函数的定义得到 BC＝ ＝ ＝10 （n mile）， 过 D作 DG⊥AB于 G，求得∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，得到∠CDB＝60°，根据三角 函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过 C作 CH⊥AB于 H， ∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile， ∴AH＝CH＝15 n mile， ∵∠CBH＝60°， ∴BC＝ ＝ ＝10 （n mile）， 过 D作 DG⊥AB于 G， ∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°， ∴∠BDG＝60°， ∴∠CDB＝60°， ∴CD＝ ＝ ＝20 （n mile）， 答：C，D间的距离为 20 n mile． 第 10页（共 16页） 24．【分析】（1）根据题意先求出当 x＝50时的销售量，再求出利润即可； （2）每件进价是 40元，销售单价为 x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润 乘以销售量可得 w关于 x的函数关系式； （3）每天的销售量不少于 38件，可得不等式，解得 x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶 点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【解答】解：（1）当 x＝50时，销售量为 y＝﹣2×50+140＝40（件）， 利润为：（50﹣40）×40＝400（元）， 故答案为：400； （2）由题意得： w＝y•（x﹣40） ＝（﹣2x+140）（x﹣40） ＝﹣2x2+220x﹣5600， ∴w与 x的函数关系式为 w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）， 故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600； （3）∵y≥38， ∴﹣2x+140≥38， 解得：x≤51． ∵w＝﹣2x2+220x﹣5600 ＝﹣2（x﹣55）2+450， ∴对称轴为 x＝55，抛物线开口向下， ∴当 x≤55时，w随 x的增大而增大， ∵x≤51， ∴当 x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418． ∴销售单价定为 51元时，利润最大，最大利润是 418元． 【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是 解题的关键． 第 11页（共 16页） 25．【分析】（1）由统计图可得 D组人数和所占百分比，则可求抽样总人数，进而问题可求解； （2）由（1）及统计图可知 A组人数及抽样总人数，然后问题可求解； （3）由题意可得时间不少于 24小时的学生所占百分比，进而问题可求解； （4）根据树状图可进行求解概率． 【解答】解：（1）∵D组的人数为 6人， 所占百分比为 10%， ∴6÷10%＝60（人）， 故本次抽样的学生人数为：60人； ∴C组的人数所占百分比为 40%， ∴40%×60＝24（人）， 补全条形统计图如下： （2）A组所占的百分比为：a%＝12÷60×100%＝20%， ∴a＝20， 故答案为：20； （3）2000×（20%+30%）＝1000（名）， 答：估计寒假阅读的总时间少于 24小时的学生有 1000名． （4）画树状图如下： 共有 12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有 2种． ∴恰好选中甲和乙的概率为 ． 【点评】本题主要考查列表法与树状图法，用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图，概 率公式，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键． 第 12页（共 16页） 26．【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点 C、D坐标，再设点 P大坐标为（m， ）利用三角形面积公式计 算出 m值即可得到点 P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A（﹣3，a）， B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3×a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为 y＝ ， 一次函数 y＝mx+n图象过 A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ，解得 ， 一次函数解析式为 y＝x+2； （2）由图象可知，不等式 mx+n＞ 的解集为：﹣3＜x＜0或 x＞1． （3）在一次函数 y＝x+2中，当 x＝0时，y＝2；当 y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2） ∴S△OBD＝ ＝1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点 P大坐标为（m， ）， ∴ ＝4， 解得 m＝﹣ ， ∴点 P（﹣ ，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 27．如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上的一点，点 P是 BA延长线上的一点，连接 AC，∠PCA＝∠ B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若 sin∠B＝ ，求证：AC＝AP； 第 13页（共 16页） （3）若 CD⊥AB于 D，PA＝4，BD＝6，求 AD的长． 【分析】（1）如图，连接 OC，根据 AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据 OB＝OC，可得∠B＝ ∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知 OC⊥PC，故 PC是⊙O的切线； （2）根据 sin∠B＝ ，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得 ∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证 AC＝AP； （3）设 AD＝x，在 Rt△ACB中，CD⊥AB，可得 CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故 PC2＝ PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在 Rt△PCD中，由勾股定理得 PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4 （10+x），求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接 OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO+∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠PCA＝∠B， ∴∠PCA＝∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）证明：∵sin∠B＝ ， ∴∠B＝30°， ∴∠PCA＝∠B＝30°， 由（1）知∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， 第 14页（共 16页） ∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°， ∴∠PCA＝∠P， ∴AC＝AP； （3）设 AD＝x， 在 Rt△ACB中，CD⊥AB， ∴CD2＝AD×BD＝6x， ∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B， ∴△PAC∽△PCB， ∴ ， ∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x）， 在 Rt△PCD中，由勾股定理得 PD2+CD2＝PC2， 即（4+x）2+6x＝4（10+x）， 整理得 x2+10x﹣24＝0， 解得 x1＝2，x2＝﹣12（舍去）， 故 AD＝2． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数 的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．【分析】（1）将点 A和点 B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果； （2）先求出直线 BC的解析式，进而表示出 DE的长，进一步得出结果； （3）分四种情形：当 0＜t＜2时，作 AG∥DE，交 BC于 G，可得出△DEF∽△AGF，从而 ， 进而得出 ＝﹣ （t﹣1）2+ ，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 第 15页（共 16页） ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）设直线 BC的函数表达式为：y＝mx+n， ∴ ， ∴ ， ∴y＝x﹣2， ∴E（t，t﹣2）， ∵D（t，t2﹣t﹣2）， ∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）； （3）如图 1， 当 0＜t＜2时， 作 AG∥DE，交 BC于 G， ∴△DEF∽△AGF， ∴ ， 把 x＝﹣1代入 y＝x﹣2得， y＝﹣3， ∴AG＝3， ∴ ＝﹣ （t﹣1）2+ ， ∵当 x＝1时， 最大＝ ， ∵ ， ∴ 最大＝ ． 第 16页（共 16页） 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识， 解决问题的关键是熟练有关基础知识． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/11/7 20:31:09；用户：姜玲；邮箱： lhzh035@xyh.com；学号：26283655 射户名和机前矣州向水和证号) 大庆市靓湖学校2024-2025学年第一一学期 期中考试九年级数学答题卡 2业《4分)先化属，面求植1县) x-3 其◆x”= 21.(6价) 2-6m+9 考场/座位号： 姓名 [a] a 可公回 [aj 可 41 (al a 6 14] (n) 6 171 7 21.《4分) 解分式方塑2红 1 x-3 13 一，赶开题（共10题，每题3分，共30分】 11411a11c】t1 6【A[CD 2A)Ia】c】 T【A(CB 31A】Jc】 多【AtBC】1UU 4 JA]I)[c]I] 【A[C0) G1A1a1tc】n1 I CAI THE Ie2 I0] 二、填空题（共题，题3分，共24分） 12 22(6分1 24.(T分) 13 4 12 16 (2) 12 1 三、解将题（共10题。共66分】 4wVE2ais2元)0.空》 ■ 囚ㄖ■ 囚▣■ ■ ■ 25.《保分四种类制的人数条形连图 四种类联的形统计图 27.(9分1 人数/人 24 12 0% O D A B C D (2) 请勿在此区域作答或 者做任何标记 2五9分1 2k(9分1 ■ 囚■囚 囚■包 ■