专题7.1 数列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题7.1 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 7 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 7 考点二：数列通项公式的简单应用 7 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 8 考点四：由递推关系求数列中的项 9 考点五：等差数列的基本运算 9 考点六：等差数列性质的运用 10 考点七：等比数列的基本运算 10 考点八：等比数列性质的应用 11 考点九：等差、等比数列的设项问题 12 考点十：数列的求和问题 12 【考纲要求】 1. 了解数列及数列通项公式的概念； 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题； 3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 【考向预测】 1. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 6. 等比数列的基本运算； 2. 等比数列性质的应用； 3. 等比数列的设项问题； 4. 数列的求和问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 【变式探究】1. 数列，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．数列的一个通项公式为 . 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列． (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 例2．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知，那么下列各数中，属于这个数列中一项的是（    ） A．33 B．44 C．66 D．99 2．已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第 项. 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．数列的前项和记为，若，则 . 例2．若数列的前项和,则它的通项公式 ． 【方法归纳】已知Sn求an的一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an. (4)写出an的完整表达式． 【变式探究】1．已知数列的前项和，则 2. 已知数列的前项和为，，则（    ） A．48 B．32 C．16 D．8 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式． (1)，（，）； (2)，（，）； (3)，，（，）． 【变式探究】1．已知数列满足，，则 . 2. 已知数列中，，则的值为 . 考点五：等差数列的基本运算 例1．若三个数8，，2成等差数列，则（    ） A．±5 B．±4 C．5 D．4 例2．已知是等差数列的前项和，，.求数列的通项公式； 例3．(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d． 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1．若是，的等差中项，则 . 2. 设数列是公差为的等差数列，若，，则 . 3. 设等差数列的前项和为 ，若公差则 考点六：等差数列性质的运用 例1．在等差数列中，，则 . 例2．在等差数列中，，，求 例3．在等差数列中，，设数列的前项和为，则 . 【变式探究】1．已知等差数列，，= 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 3．设等差数列的前n项和为，若，则 ． 考点七：等比数列的基本运算 例1．在等比数列中，，，则（    ）． A．3 B．9 C．27 D．81 例2．若，，成等比数列，则 ． 例3．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．等比数列中，若，，，则 . 【变式探究】1．在等比数列 中， ， 则首项 . 2．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．设等比数列的公比，前项和为，则 . 考点八：等比数列性质的应用 例1．在等比数列中，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为__ __． 【变式探究】1．若数列是等比数列，且，则 ． 2．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．记为等比数列的前项和，若则 ． 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数. 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 . 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为__ __． 考点十：数列的求和问题 例1．已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【方法归纳】　裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，例如： (1)若{an}为等差数列，公差为d，则＝(－)；(2)＝－等． 例2．等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【方法归纳】错位相减法 若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法． 【变式探究】1．已知等差数列是以2为首项，以1为公差的等差数列.求数列的前项和. 2．已知数列的通项公式，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 7 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 7 考点二：数列通项公式的简单应用 8 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 10 考点四：由递推关系求数列中的项 11 考点五：等差数列的基本运算 13 考点六：等差数列性质的运用 14 考点七：等比数列的基本运算 16 考点八：等比数列性质的应用 18 考点九：等差、等比数列的设项问题 19 考点十：数列的求和问题 20 【考纲要求】 1. 了解数列及数列通项公式的概念； 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题； 3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 【考向预测】 1. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 6. 等比数列的基本运算； 2. 等比数列性质的应用； 3. 等比数列的设项问题； 4. 数列的求和问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 【答案】(1)； (2)； (3) ； (4). 【详解】（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为. （4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致， 依次可写为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. 【变式探究】1. 数列，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的四项可知分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，从而可求得通项 【详解】由0，，，，…可知各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1， 所以它的一个通项公式可以为， 故选：C 2．数列的一个通项公式为 . 【答案】 【分析】观察数列规律可得. 【详解】观察数列可知，数列的一个通项公式为. 故答案为：. 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列． (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)，； (2)是，数列第项. 【分析】（1）根据题意，分别令和，即可求得数列的第项和第项； （2）令，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意数列， 令，可得数列的第为； 令，可得数列的第为. 所以数列的第为，第为. （2）解：令，即，解得， 所以是数列的第项. 例2．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】将化为二次函数的顶点式形式，利用二次函数的性质及n∈N*，求最大项的值. 【详解】，又n∈N*， ∴当n＝5或6时，an取最大值30， 故选：B. 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知，那么下列各数中，属于这个数列中一项的是（    ） A．33 B．44 C．66 D．99 【答案】C 【分析】解一元二次方程，判断方程的根是不是正整数即可得答案. 【详解】令，得，得不是正整数，故A不正确； 令，得，得不是正整数，故B不正确； 令，得，得或（舍），即是数列中的第项，故C正确； 令，得，得不是正整数，故D不正确. 故选：C 2．已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第 项. 【答案】5 【分析】结合二次函数的最值即可判断为整数时，的最大值. 【详解】因为,所以,由于,所以当时,最大,此时 故答案为：5 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】解：当时，有， 但当时，不适合上式， 故. 故答案为:. 例2．若数列的前项和,则它的通项公式 ． 【答案】 【分析】先求出首项,再根据,求出通项公式,检验首项是否符合,写出通项公式即可. 【详解】解:由题知,, 当时,, 当时,, 将代入,满足, 所以. 故答案为: 【方法归纳】已知Sn求an的一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an. (4)写出an的完整表达式． 【变式探究】1．已知数列的前项和，则 【答案】 【分析】由可直接求得结果. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知数列的前项和为，，则（    ） A．48 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】直接根据数列的项和前项和与项之间的关系求解即可． 【详解】数列的前项和为，， 则， 故选：C． 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式． (1)，（，）； (2)，（，）； (3)，，（，）． 【答案】(1)，，，，猜想; (2)，，，，猜想； (3)，，，，猜想. 【分析】分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式． 【详解】（1）解： 归纳猜想. （2）解： 归纳猜想. （3）解：，，， 归纳猜想. 【变式探究】1．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，，， 累加可得，解得. 故答案为：. 2. 已知数列中，，则的值为 . 【答案】/1.6 【分析】根据依次代入数值即可求. 【详解】因为， 所以， ， ， . 故答案为： 考点五：等差数列的基本运算 例1．若三个数8，，2成等差数列，则（    ） A．±5 B．±4 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据等差中项公式求解即可． 【详解】三个数8，，2成等差数列，则，所以． 故选：C 例2．已知是等差数列的前项和，，.求数列的通项公式； 【详解】设数列的公差为，因为， 所以. 解得. 所以. 例3．(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d． [解析]　(1)∵Sn＝n·＋(－)＝－15，整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)，∴a12＝＋(12－1)×(－)＝－4． (2)由Sn＝＝＝－1022，解得n＝4． 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171． 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1．若是，的等差中项，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项的性质得到方程，解得即可. 【详解】解：因为是，的等差中项， 所以，所以. 故答案为： 2. 设数列是公差为的等差数列，若，，则 . 【答案】 【分析】根据即可得解. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，且，，则. 故答案为：. 3. 设等差数列的前项和为 ，若公差则 【答案】55 【分析】根据等差数列前项和公式列方程求解即可. 【详解】， ，即 则 故答案为：55 考点六：等差数列性质的运用 例1．在等差数列中，，则 . 【答案】6 【分析】根据等差数列的性质可得，又，代入即可得解. 【详解】根据等差数列的性质可得：， 所以 又， 所以， 故答案为： 例2．在等差数列中，，，求 【答案】 【分析】利用等差数列等距离片段和的性质求即可. 【详解】由等差数列片段和的性质有， ∴. 故答案为： 例3．在等差数列中，，设数列的前项和为，则 . 【答案】143 【分析】运用等差数列的性质：若，则处理计算． 【详解】∵，则 ∴ 故答案为：143． 【变式探究】1．已知等差数列，，= 【答案】e 【分析】由等差中项的性质计算即可. 【详解】由等差数列性质可知：， 又，故. 故答案为：e 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】12 【分析】由等差数列的性质求解 【详解】由题意得成等差数列， 则，得 故答案为：12 3．设等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列下标和的性质计算. 【详解】由题意得，故. 故答案为：20. 考点七：等比数列的基本运算 例1．在等比数列中，，，则（    ）． A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式求解. 【详解】由题意，在等比数列中，，， 解得，所以. 故选：B 例2．若，，成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】利用等比中项的定义列方程，求出． 【详解】，，成等比数列，或． 而当时，，不合题意． 故答案为： 例3．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式将展开计算即可. 【详解】，解得. 故选：B. 例4．等比数列中，若，，，则 . 【答案】2 【分析】根据等比数列的求和公式即可代入求解. 【详解】等比数列中，若，，故公比不为1，则， 故答案为：2 【变式探究】1．在等比数列 中， ， 则首项 . 【答案】/0.25 【分析】设等比数列 的公比为，由求出，即可得答案. 【详解】设等比数列 的公比为， 则， 则， 则， 所以. 故答案为：. 2．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质进行求解即可. 【详解】由等比数列的性质，，∴， ∴. 故选：B. 3．设等比数列的公比，前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值. 【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得. 故答案为：. 考点八：等比数列性质的应用 例1．在等比数列中，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由下标和性质求出，再由下标和性质计算可得. 【详解】由，得， 则. 故选：B 例2．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为__ __． 【解析】由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)， 解方程得S20＝40或S20＝－30，∵S20>0，∴S20＝40． 【变式探究】1．若数列是等比数列，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】根据等比数列的性质，有， 则，解得， 所以． 故答案为：4． 2．在等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质进行求解即可. 【详解】由等比数列的性质，，∴， ∴. 故选：B. 3．记为等比数列的前项和，若则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列通项的性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，设其公比为， 由得：，因此， 于是， 所以. 故答案为：52 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数. [分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解． 【解析】　设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则： 由①，得a＝.代入②，得d＝±. ∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 . 【答案】2,4,8 【分析】设出这三个数根据题意联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】设这三个数为 则或 所以三个数按从小到大为2,4,8 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【解析】　设等差数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意，得， 即，解得. ∵等差数列{an}是递增数列，∴d＝4. ∴等差数列的首项为3，公差为4. ∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1. 2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为__ __． [解析]设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， ∴，整理得，解得q＝2，a＝3．因此所求四个数为3,6,12,24． 考点十：数列的求和问题 例1．已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出即可求解；（2）利用裂项相消求和. 【详解】（1）设公差为，则， 所以解得， 所以， （2），所以， 所以. . 【方法归纳】　裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，例如： (1)若{an}为等差数列，公差为d，则＝(－)；(2)＝－等． 例2．等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】解：（1）设数列的公比为， 则，由 得：，所以. 由，得到 所以数列的通项公式为. （2）由条件知， 又 将以上两式相减得 所以. 【方法归纳】错位相减法 若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法． 【变式探究】1．已知等差数列是以2为首项，以1为公差的等差数列.求数列的前项和. 详解】由已知得，， 所以， . 2．已知数列的通项公式，求数列的前n项和． 【详解】 由， 则，① 得，② ①－②得 ， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$