精品解析：江苏省无锡市锡东片2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年秋学期锡东片初二数学期中测试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．把一个图形沿某直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项图形不是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项图形是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项图形是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题关键． 根据无理数的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴实数，，，，，中，无理数有，，共有2个， 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根的概念解答即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根等知识，熟知相关定义以及性质是解本题的关键． 4. 将数据98516精确到千位，并用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数，科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 先根据“四舍五入”法求出精确到千位的数，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：98516精确到千位为， 故选：C． 5. 如图，，过点作，垂足为，若，则的度（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质．首先根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求出． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：A． 6. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到三角形内角和定理与勾股定理逆定理，分别对各选项验证即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，∵ ，移项得 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B，∵ 三角形内角和为 ，，∴ ，得 ，∴ 是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C，∵ ，，，且 ，即 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D，∵ ，三角形内角和为 ，∴ ，，，没有直角，∴ 不能判定为直角三角形，故D符合题意. 7. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质．首先根据证明，根据全等三角形对应边相等可证，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到． 【详解】解：如下图所示， 点是的中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， 是的垂直平分线， ． 故选：C． 9. 如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．根据与互余，与互余，利用同角的余角相等即可判断①；假设，得出与题意不符，从而判断②；过E作于点H，过F作于点G，利用K字型全等，易证，同理可证，可得，再证，即可判断④；最后根据，结合全等三角形即可判断③． 【详解】解：∵为边上的高，， ∴，， ∴故①正确； 假设， ∵与为等腰直角三角形 ∴，， ∴， 又∵， ， 根据已知条件无法证明，故②错误； 如图所示，过E作于点H，过F作，交的延长线于点G， ∵为等腰直角三角形， ∴在与中， ， ∴， 同理可证， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴，故④正确； ∵，， ∴ ，故③正确； 正确的有①③④共3个． 故选：C． 10. 如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，学会利用轴对称的性质构造辅助线并证明全等三角形是解题的关键．作交于，连接、、，由可得是等边三角形，再通过全等的判定方法得到，进而把周长转化为的周长，再利用两点之间线段最短算得周长的最小值，即可得出结论． 【详解】解：如图， 作交于，连接、、， 等边， ， 又， ， 是等边三角形， ． 等边，是上中线， 垂直平分，， 又点在上， ． 等边， ， ， ， ， ，周长周长， 周长周长， 当最小时，周长有最小值， 连接，， 是上中线， 又等边， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为， 周长最小值为． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 13. 如图，，要使，还需添加一个条件，则这个条件可以是 _________． （写出一个即可） 【答案】或或（答案不唯一）  【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据题意，，，结合判定方法边角边，角角边，角边角进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，，， 添加，运用边角边可证 添加，运用角角边可证； 添加，运用角边角可证； 故答案为：或或（答案不唯一） ． 14. 若三角形三边长为，，，则它的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式．首先根据可知这个三角形是直角三角形且为斜边的长度，然后再根据三角形的面积公求解． 【详解】解：三角形三边长为，，， 又， 这个三角形是直角三角形，且为斜边的长度， 这个三角形的面积为 故答案为：． 15. 大于且小于的所有整数的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数加法运算，由，，则大于且小于的所有整数为，然后利用有理数加法即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴大于且小于的所有整数为， ∴所有整数的和是， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝3，DC＝4，则DE的长为__________. 【答案】2.5 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵CD⊥AB，AD=3，CD=4， ∴AC= ， ∵E是AC的中点， ∴DE=AC=×5=2.5． 故答案为2.5. 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 17. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解题的关键． 作于F，易证，可得，进而可以证明，可得，即可解题． 【详解】过点D作于点F， ∵平分， 于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 18. 在长方形中，，，，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，的长为_______． 【答案】4或16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．分“当点M在线段上时”和“当点M在的延长线上时”两种情况讨论，画出图形，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点M在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点M在的延长线上时， 同法可证， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：4或16． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，算术平方根的求解，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． （1）先根据立方根的定义和算术平方根定义开方，然后进行有理数的混合运算； （2）先去绝对值，然后计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线MN对称的； （2）的面积为______． （3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）3 （3）如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用割补法求解即可； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 故答案为：3； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CD是中线．求证：BE＝CD． 【答案】 证明：∵、是中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【解析】 【分析】由中线性质得，，再证，由，得≌，可证. 【详解】略 【点睛】本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：灵活运用全等三角形判定和性质证线段相等. 22. 如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 23. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分 （2）若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】（1） 证明：过点E作交于点G，交于点H，        ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 24. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 【答案】（1）至少需要布设个监控器； （2）至少需要布设个监控器； （3）． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【小问1详解】 解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ， 至少要布设个监控； 【小问2详解】 解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 此时，符合题意， ， 至少需要布设个监控器； 【小问3详解】 解：因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 【点睛】本题考查了勾股定理、方案设计，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，然后再设未知数列方程． 25. 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，的速度为．当点第一次到达B点时，、同时停止运动． （1）点、运动 秒后，可得到是等边三角形？ （2）点、在边上运动时，当 是以为底边的等腰三角形时，请求出此时、运动的时间； （3）点、运动过程中，当是直角三角形时．请求出此时、运动的时间． 【答案】（1）2 （2）运动8秒时， 是以为底边的等腰三角形 （3）当或或或9时，为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）当时是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题； （2）证明得，然后构建方程即可解决问题； （3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形，分四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∴， ∴为等边三角形， ∴， 当时，是等边三角形，设运动时间为t秒， 则有：， 解得， 故点M、N运动2秒后，是等边三角形； 【小问2详解】 设x秒时， 是以为底边的等腰三角形（），如图1， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，即， 解得， 故运动8秒时， 是以为底边的等腰三角形； 【小问3详解】 设时间为t，当点N在上运动时（），， 若，如图2， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 若，如图3 则，即， 解得； 当点N在上运动时（），A、M、N不构成三角形； 当点N在上运动时（）， 若N为中点，如图4，由为等边三角形，得，为直角三角形， ∴， 解得：； 若M为中点，如图5，由为等边三角形，得，为直角三角形， ∴， 解得：； 综上所述，当或或或9时，为直角三角形． 26. 【概念阅读】：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为“友好点”；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为“超级友好点”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，，若点与关于互为超级友好点，则_____ 【实践操作】（2）如图2，长方形，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为超级友好点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】（3）如图3，在长方形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为超级友好点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 【答案】（1）或； （2）如图，点，点即为所作； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据“超级友好点”的定义即可即可得到结论； （2）以为圆心，为半径画弧交于，连接，作的角平分线交于，点，点即为所作； （3）分四种情形：①当，点在线段上时；②当（点在线段的延长线上）时，此时点与重合；③当，点在线段的延长线上时；④当（点在线段的延长线上）时，此时点与重合，分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵点与关于互为超级友好点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 当点，在的同侧时， ； 当点，在的异侧时， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）略 （3）① 如图，点在线段上时，连接，设， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∵点与点关于互为超级友好点， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； ② 如图，（点在线段的延长线上），此时点与重合； ③ 如图，点在线段的延长线上时，连接，设， ∵点与点关于互为超级友好点， ∴，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 即； ④ 如图，（点在线段的延长线上），此时点与重合； 综上所述，满足条件的值为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了基本作图—作角平分线、作一条线段等于已知线段，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期锡东片初二数学期中测试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算中，正确的是（　　）． A. B. C. D. 4. 将数据98516精确到千位，并用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，过点作，垂足为，若，则的度（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 7. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，边长为的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 （ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于________． 13. 如图，，要使，还需添加一个条件，则这个条件可以是 _________． （写出一个即可） 14. 若三角形三边长为，，，则它的面积是_________． 15. 大于且小于的所有整数的和是______． 16. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝3，DC＝4，则DE的长为__________. 17. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为________． 18. 在长方形中，，，，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，的长为_______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线MN对称的； （2）的面积为______． （3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 21. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CD是中线．求证：BE＝CD． 22. 如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 23. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分 （2）若，三角形的面积是16，求的面积． 24. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 25. 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，的速度为．当点第一次到达B点时，、同时停止运动． （1）点、运动 秒后，可得到是等边三角形？ （2）点、在边上运动时，当 是以为底边的等腰三角形时，请求出此时、运动的时间； （3）点、运动过程中，当是直角三角形时．请求出此时、运动的时间． 26. 【概念阅读】：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为“友好点”；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为“超级友好点”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，，若点与关于互为超级友好点，则_____ 【实践操作】（2）如图2，长方形，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为超级友好点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】（3）如图3，在长方形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为超级友好点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $