特训08 一次函数 解答压轴题（十九大题型，江苏精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训08 一次函数 解答压轴题（十九大题型，江苏精选） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：取值范围问题 题型4：定值问题 题型5：平移问题 题型6：翻折问题 题型7：旋转问题 题型8：对称问题 题型9：几何问题在坐标系中求函数解析式 题型10：求运动路径 题型11：求围成面积 题型12：情景探究题—逐步深化探究题 题型13：情景探究题—拓展应用题 题型14：情景探究题—数学活动、实际生活综合 题型15：分段函数 题型16：绝对值函数 题型17：一次函数与一元一次不等式（交点问题） 题型18：新定义题 题型19：实际应用题 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 题型2：最值问题 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 题型3：取值范围问题 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数． (1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式） (2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ； (3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 ． 题型4：定值问题 4．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 题型5：平移问题 5．（20-21八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形． （1）正方形OCMD的边长为　 　． （2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）． ①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为　 　； ②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？ 题型6：翻折问题 6．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7：旋转问题 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 题型8：对称问题 8．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 题型9：几何问题在坐标系中求函数解析式 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 题型10：求运动路径 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． (1)求t、b的值； (2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________； (3)若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． (4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 题型11：求围成面积 11．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． (1)已知与，则________． (2)已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． (3)已知点在上，，直接写出的最小值． (4)已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 题型12：情景探究题—逐步深化探究题 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 题型13：情景探究题—拓展应用题 13．（21-22八年级上·江苏镇江·期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图． 【知识理解】 (1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q． ①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　； ②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)； ③△PAQ是　　 三角形； 【知识运用】 (2)如图2，已知直线与x轴交于点A． ①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　； ②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　； 【知识迁移】 (3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　； (4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　． 题型14：情景探究题—数学活动、实际生活综合 14．（2024·江苏南京·模拟预测）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图1，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图2中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是 ． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线（为常数，）上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出k的取值范围． 题型15：分段函数 15．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 题型16：绝对值函数 16．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 … … 4 a 1 4 … 请按要求完成下列各小题： (1)a的值为______； (2)在图中画出该函数的图象； (3)结合函数的图象，解决下列问题： ①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项） A．函数图像关于x轴对称 B．当时，函数有最小值，最小值为 C．当时，y随x的增大而增大 ②直接写出不等式的解集为______． (4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______． 题型17：一次函数与一元一次不等式（交点问题） 17．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． (1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； (2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 (3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 题型18：新定义题 18．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）定义：对于一次函数（、为常数，）如果当时，，且满足（为常数）那么称此函数为“级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“级函数”，那么的值是______； (2)如果一次函数为“5级函数”， ①求的值； ②求此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积． 题型19：实际应用题 19．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ ( 第 14 页 共 14 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 一次函数 解答压轴题（十九大题型，江苏精选） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：取值范围问题 题型4：定值问题 题型5：平移问题 题型6：翻折问题 题型7：旋转问题 题型8：对称问题 题型9：几何问题在坐标系中求函数解析式 题型10：求运动路径 题型11：求围成面积 题型12：情景探究题—逐步深化探究题 题型13：情景探究题—拓展应用题 题型14：情景探究题—数学活动、实际生活综合 题型15：分段函数 题型16：绝对值函数 题型17：一次函数与一元一次不等式（交点问题） 题型18：新定义题 题型19：实际应用题 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、一次函数与特殊三角形问题，掌握待定系数法以及分类讨论的数学思想是解题关键． （1）设直线的解析式为，由A、D即可求解；由可得，设直线的解析式为：，将点A代入即可求解； （2）由（1）可求点，由题意设点P；根据题意可求得，即可求解； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【解析】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴ ∴设直线的解析式为：， 将点A代入可得：， 解得： ∴直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：中可得： ∴点 由题意设点P ∵轴， ∴ ∵点E在上， ∴ 解得： ∴ （3）解：时， 则， 解得： ∴ 时， 则 解得： ∴ ∴ 时， 则 ∵轴， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 题型2：最值问题 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 题型3：取值范围问题 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数． (1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式） (2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ； (3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）直接根据定义即可得出答案； （2）由定义可得：点在直线上，点在直线上，且，根据平行线间的距离即可求得答案； （3）由题意得：，，可得，根据题意列方程求解即可； （4）根据点在的内部（不包括边界），列不等式组求解即可． 【解析】（1）解：根据定义可得坐标是函数的函数坐标； （2）解：，， 点在直线上，点在直线上， 如图， 直线经过点，直线经过点， 则， ， ， ，， 直线与直线的距离为线段的长度，即线段的最短距离为线段的长度， 在中，； （3）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：或1， 当时，， 当时，， 综上所述，点的坐标为或； （4）解：如图，由（2）知：点是直线上的动点， 由题意得， 解得：， ，， 在中，令，得， 解得：， ， 点在的内部（不包括边界）， ， 解得：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式之间的联系，平行线间距离等，运用数形结合与方程思想是解答本题的关键． 题型4：定值问题 4．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)的长度为定值，理由见详解 【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为； （2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6； （3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5． 【解析】（1），当时，则， 解得， ， ，且点在轴正半轴上， ， 将代入，得， 解得， ，直线的解析式为． （2）如图2，于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的长是 （3）的长度为定值， 如图3，作轴于点， 和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 的长度为定值，它的值为5． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 题型5：平移问题 5．（20-21八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形． （1）正方形OCMD的边长为　 　． （2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）． ①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为　 　； ②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？ 【答案】（1）2；（2）①；②当平移的距离为a＝或a＝4−时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分． 【分析】（1）设OC＝x，则CM＝4−x．然后依据四边形OCMD为正方形，得OC=CM，即可求解； （2）①利用面积之差即可得出结论； ②当四边形为OCMD为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离． 【解析】（1）设OC＝x，则CM＝4−x． ∵四边形OCMD为正方形， ∴OC=CM，即x=4-x，解得x=2． 故正方形OCMD边长为2. 故答案为：2； （2）①如图， ∵直线AB的解析式为y＝4-x， ∴移动过程中正方形被分割出的等腰直角三角形， 故OE=NG， 当a＝1，即OE=1时，NG＝1， ∴S△MNG＝NG2＝， 由（1）知：正方形EFGH的面积为：22＝4， ∴正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积＝4−＝； 故答案为：； ②∵S正方形EFGH＝4，且正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分， ∴两部分的面积分别为1和3， 当0＜a≤2时，如图1所示： ∵直线AB的解析式为y＝4−x， ∴∠BAO＝45°， ∴△MNG为等腰直角三角形， ∴NG＝GM， ∴NG2＝1， NG＝，即a＝， 当2＜a＜4时，如图2所示： ∵∠BAO＝45°， ∴△ENA为等腰直角三角形， ∴EN＝EA， ∴EA2＝1，解得：O′A＝， ∵将y＝0代入y＝4−x得；4−x＝0，解得；x＝4， ∴OA＝4， ∴OE＝4−，即a＝4−． 综上所述，当平移的距离为a＝或a＝4−时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了−−−函数图象的点的坐标与函数解析式的关系、矩形的性质和判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得△MNG、△ENA是等腰直角三角形是解题的关键． 题型6：翻折问题 6．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)满足条件的点P的坐标为或或或． (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出点D的坐标，将点，点D，代入一次函数中求解，即可得到直线的函数表达式； （2）利用勾股定理算出，根据在x轴上求一点P使为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时， ②当时，过点作轴于点，③当时，在的垂直平分线上，利用等腰三角形性质、勾股定理，对上述情况进行分析，即可解题． （3）记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为，由翻折的性质可得，，利用勾股定理算出，推出，再根据建立等式求解，即可解题． 【解析】（1）解：一次函数的图象过点D，且点D的横坐标为4， ， ， 一次函数的图象经过点，且与相交于点D， ，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：． （2）解：当时，有，解得， ， ， 点P在x轴上， 为等腰三角形， 下面分情况讨论： ①当时，如图所示： ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ②当时，过点作轴于点，如图所示： 由（1）知，， ， ， 点的坐标为， ③当时，在的垂直平分线上， ，， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． （3）解：存在， 记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为， 由翻折的性质可知，，， 即， 点的坐标为， ， ， 解得， 点Q的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、坐标与图形、用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质、垂直平分线性质、勾股定理、翻折的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想对不同的情况进行分析． 题型7：旋转问题 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析； （3）． 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【解析】解：（1）①若， 则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）如图4，过点作，交于，过点作轴于， 当时，设直线l函数关系式为， 对于直线，由得 ， 由得， ，， 由（1）得， ， ， 设直线为，则， 解得 直线为 由得， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型8：对称问题 8．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）作轴，证，得， ，由点B、C即可求解． （2）①过点P作轴，由点B、C、D可得，由得，即可求，从而得点P坐标．②作，证得，由，，得点P坐标． （3）分两种情况讨论，当点在x轴正半轴，当点在x轴负半轴，当延长至点H，由折叠的性质可知，，由得，进而得点P坐标．或根据两点间距离公式求解即可． 【解析】（1） 作轴， ∴， 在和中， ∵，     ∴， ∴， ∵， ∴， 将B、C分别代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式． （2）①过点P作轴， 由点B、C、D可知， ∵， ∴， 由点B、D可得， ∵， ∴， ∴． ②作， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）①当点在x轴正半轴， 延长至点H， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标值为， ∴， ∴ ∴． ②当点在x轴负半轴， 同①可得， 设， 由题意得，即， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、三角形的全等证明、勾股定理、角平分线的性质，掌握相关知识，根据题意正确画出辅助线是解题的关键． 题型9：几何问题在坐标系中求函数解析式 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2)①的长为2；② 【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标； （2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解； ②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：，轴，直线与交于点， 点的纵坐标为6， 直线，令得， 解得， 点的坐标为； （2）解：①过作轴于， ，， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ，， ， ， 代入得，解得， 的长为2； ②在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 由（1）中D的坐标可知， ∴， 即． ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键． 题型10：求运动路径 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． (1)求t、b的值； (2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________； (3)若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． (4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)①面积为7；②或 (4)5 【分析】（1）把点代入函数，即可求出t的值，把点代入函数，即可求出b的值； （2）内部的点应满足，根据点P是内部的点，由此可得关于q的不等式组，求解即可； （3）①根据题意得出，过点C作轴于点E，进而可得，，，根据，即可求解； ②分别表示出，分，两种情况，求得m的值； （4）分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，则点M在线段上运动，点H的运动路径长为线段的长，根据对称性可得，点的运动路径长也为线段的长，从而解决问题． 【解析】（1）∵直线经过点， ∴， ∴点C的坐标为， ∵直线经过点， ∴， ∴； （2）∵点在内部， ∴， 解得：． 故答案为： （3）①∵ ∴直线， 当时，则，代入函数，得 ∴ ∴，则， 如图所示，过点C作轴于点E，    ∵ ∴， ∴， ∴ ； ②∵在上， ∴， ∵点N在上， ∴， 则，， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴， 解得：， 综上所述，点M是线段的三等分点，则或． （4）∵点在直线上， ∴，即， ∴ 把代入函数，得 ，解得， ∴ 分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，    则点M在线段上运动，点H的运动路径为线段，根据对称性可得，点的运动路径长为线段的长． ∵，， ∴， ∴点的运动路径长为5． 故答案为：5 题型11：求围成面积 11．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． (1)已知与，则________． (2)已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． (3)已知点在上，，直接写出的最小值． (4)已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 【答案】(1)4 (2)8 (3) (4) 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）根据定义，分情况列出关系式，画出示意图，求出交点坐标，即可解答； （3）设，则，根据x的取值范围分情况讨论即可； （4）先求出点W所在直线的解析式，结合（2）（3）方法求出点w的取值范围，利用两点间距离公式即可求解． 【解析】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：与，且， ， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 如图，即为所有点围成的图形， 所有点围成的图形面积为； （3）解：设， ， 则， 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而增大， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：，无解； 即不存在该种情况； 综上，的最小值为； （4）解：， 令，则， 令，则， 点W所在直线的解析式过点， 则，解得：， 点W所在直线的解析式为， ，且， ， 当，时， 解得：， 则，即， ，即， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ， ； 综上，当时，满足， 满足条件的所有点围成的图形为点的长为点与点的距离， 即． 【点睛】本题考查新定义问题，一次函数与几何图形的应用，两点间的距离公式，一元一次不等式组的应用，直角坐标系中点的坐标．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 题型12：情景探究题—逐步深化探究题 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 【答案】【模型建立】见详解；【初步应用】；【迁移拓展】 【分析】（1）利用角角边来证明两个三角形全等； （2）根据，求得，最后用待定系数法求直线的函数表达式； （3）利用构造等腰直角三角形，然后利用（1）中的结论求出关键点的坐标，最后利用待定系数来求函数的表达式． 【解析】解：【模型建立】证明∶ ， ， ， 在和中， ； 【初步应用】直线：分别交轴于点， ， ， 过点B作交于点C，过点C作轴，如图： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设的表达式为：， 将点，代入可得： ， 解得：， 的表达式为：； 【迁移拓展】过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，如图： ， ， 故为等腰直角三角形， ∴． 由点、的坐标知：， ． 又， ， ， 点的坐标为． 由点、的坐标得，直线的函数表达式为， ， ， 直线表达式为：， 令可得：， 解得：， 的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是利用条件作辅助线构造全等三角形． 题型13：情景探究题—拓展应用题 13．（21-22八年级上·江苏镇江·期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图． 【知识理解】 (1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q． ①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　； ②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)； ③△PAQ是　　 三角形； 【知识运用】 (2)如图2，已知直线与x轴交于点A． ①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　； ②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　； 【知识迁移】 (3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　； (4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　． 【答案】(1)①；②；③等腰直角； (2)①或；②； (3)； (4)． 【分析】（1）①由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，则，，可求点坐标； ③由，，可判断三角形形状； （2）①设点关于点的“顺转点”为，当点在轴坐标轴时，轴，可求；当点在轴正半轴时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，可得点纵坐标为，则可求； ②设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，先证明，可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为； （3）设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N．先证明，推出， ，进而得到，利用待定系数法即可求解； （4）设点，，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，由，，求出，则，当最短时． 【解析】（1）解：①，，点关于点的“顺转点”为点， ，， ， 故答案为：； ②如图1，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：； ③∵点P关于点A的“顺转点”为点Q， ∴，， ∴△PAQ是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 （2）解：①设点关于点的“顺转点”为， 当点在轴坐标轴时，轴， ，点在直线上， 将代入得，， ； 如图2，当点在轴正半轴时， 过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ， 点纵坐标为， 点在直线上， 将代入得，， ； 综上所述：点坐标为或； 故答案为：或； ②如图3，设， ∵直线与x轴交于点A， ∴． 过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ，， ∴点F的纵坐标为：， 点F的横坐标为：， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 故答案为：； （3）解：∵直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A， 令，则， ， ， 如图4，设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N． 将代入y=-2x+2得，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又∵，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 故答案为：； （4）解：设点，， 如图5，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 当时，最短， ， 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质、三角形全等的判定及性质等，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 题型14：情景探究题—数学活动、实际生活综合 14．（2024·江苏南京·模拟预测）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图1，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图2中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是 ． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线（为常数，）上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①互相垂直；②，；（4）；（5）男同学人数是人；（6） 【分析】本题考查了新定义，坐标，正比例函数，一次函数的性质，两直线交点求方程组的解； （1）根据新定义，类比画出的号加法线； （2）根据新定义，类比画出的号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【解析】（1）在图②中画出的号加法线，如图所示， 作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．    （2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号减法线．    （3）①如图所示，   的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， ∴的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直 ②∵则，，则， 故答案为：，． （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即， 号乘法线的函数表达式为； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人， 依题意，， 即画出号乘法线与的号减法线，如图所示， 交点对应的横坐标为， ∴男同学人数是人；    （6）如图所示，    2号减法线的解析式为，3号加法线的解析式为 ∵k号乘法线（k为常数，）上任一点的函数值与的2号减法线和的3号加法线． 设k号乘法线的解析式为， ∴，则过定点， 如图所示，    ∵当时，． 当时，， 将代入，得， ∴ 结合函数图象可得． 题型15：分段函数 15．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或 (2) (3) 【分析】（1）①把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先根据三角形面积公式求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围． （3）先求出点E、A的坐标，然后根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：①当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，，故． 故答案为：；2；2． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 故点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得x=2， ∴x=2必须在的范围之内， ∴， ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴． ∴， ∵直线与关于m的对称函数有两个交点， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得， ∴直线与直线必有一交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点． ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是． （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点， ∴， ∵点F的坐标为， ∴， 解得：． ∵， ∴符合题意， 即当时，点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点． 题型16：绝对值函数 16．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 … … 4 a 1 4 … 请按要求完成下列各小题： (1)a的值为______； (2)在图中画出该函数的图象； (3)结合函数的图象，解决下列问题： ①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项） A．函数图像关于x轴对称 B．当时，函数有最小值，最小值为 C．当时，y随x的增大而增大 ②直接写出不等式的解集为______． (4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①BC；②或 (4)或或 【分析】（1）把代入即可求出a的值； （2）先描点再连线画出函数图像即可； （3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y轴对称，关于x轴不对称，即可判断A错误；根据函数图象可判断当时，函数有最小值，最小值为，得出B正确；根据函数图象可判断当时，y随x的增大而增大，得出C正确； ②根据函数图象写出不等式的解集即可； （4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k的范围即可． 【解析】（1）解：把代入得： ， 即， 故答案为：1． （2）解：该函数的图象，如图所示： （3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误； B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确； C．当时，y随x的增大而增大，故C正确； 故答案为：BC； ②根据函数图象可知，当或时，； 故答案为：或； （4）解：如图所示： 设点，，，，， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点， 把，代入得：， 解得：； ∵， ∴， 根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点， ∴当或时，直线与图像W只有一个交点； 综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 题型17：一次函数与一元一次不等式（交点问题） 17．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． (1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； (2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 (3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 【答案】(1)5； (2)②作图见解析；③； (3)或者． 【分析】（1）根据关联函数的定义把代入，即可求解； （2）②根据列表即可作出图形，③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【解析】（1）解∶由题意得的关联函数为， ∵点在一次函数的关联函数的图像上，且， ∴把代入，得， ， 解得， 故答案为∶5； （2）解：②作图如下， ③∵当时，，当x=0时， ∴时，， ∵当x=0时，当时，， ∴时，， ∴时，； （3）解：如图， 设直线为， ∵点M、N的坐标分别为、， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线为与y轴的交点为， 由题意得，一次函数的关联函数为． 当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得， 当，， ∴或者， ∴关联函数与有1个交点时， b的取值范围为∶或者， 故答案为∶ 或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 题型18：新定义题 18．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）定义：对于一次函数（、为常数，）如果当时，，且满足（为常数）那么称此函数为“级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”． (1)如果一次函数为“级函数”，那么的值是______； (2)如果一次函数为“5级函数”， ①求的值； ②求此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)2 (2)①或；② 【分析】（1）根据“级函数”的定义求解即可； （2）①分和两种情况，根据“级函数”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案；②分和两种情况，分别求得该一次函数图像与坐标轴交点，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：一次函数， 当时，， 当时，， 则有，解得， ∴一次函数为“2级函数”，即的值是2． 故答案为：2； （2）①对于一次函数， 当时，， 当时，， 若，则随的增大而增大， 即当时，可有， 则有， 解得； 若，则随的增大而减小， 即当时，可有， 则有， 解得． 综上所述，或； ②当时，如下图，该一次函数为， 令时，可有，即。 当时，可有，解得，即 ∴，， ∴； 当时，如下图，该一次函数为， 令时，可有，即 当时，可有，解得，即， ∴，， ∴． 综上所述，此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查了新定义“级函数”、一次函数的图像与性质、一次函数图像与坐标轴交点问题、坐标与图形、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“级函数”是解题关键． 题型19：实际应用题 19．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$