24.6 第1课时 正多边形与圆-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年九年级下册数学（沪科版）

24.6　正多边形与圆 第1课时　正多边形与圆 ◇教学目标◇ 　　1.理解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法. 2.使学生会等分圆,利用等分圆的方法构造正多边形,并会设计图案,发展学生的实践能力和创新能力. 3.通过等分圆周、构造正多边形等实践活动,使学生在数学学习活动中获得成功的体验,建立自信心. ◇教学重难点◇ 教学重点 掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法. 教学难点 探索正多边形和圆的关系. ◇教学过程◇ 一、问题导入 (1)这些图案,都是在日常生活中我们经常看到的图案,你能从这些图案中找出正多边形吗? (2)目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么正多边形和圆有什么关系呢?怎样作出一个正多边形呢? 二、合作探究 探究点1　判定正多边形 典例1　 如图所示,△AOB是正三角形,以点O为圆心,OA长为半径作☉O,直径FC∥AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证:六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形. [解析]　∵△AOB是等边三角形, ∴∠DOE=∠AOB=60°. ∵FC∥AB, ∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°, ∴∠EOF=∠BOC=60°,∠COD=∠AOF=60°, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF=60°, ∴AB=BC=CD=DE=EF=AF. 由题意可知OA,OB,OC,OD,OE,OF是☉O的半径, ∴△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF是等边三角形. 易知∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°. ∴六边形ABCDEF是正六边形,且是☉O的内接正六边形. 技巧点拨判定一个多边形是正多边形的方法: (1)根据定义,证明各边相等,各角相等; (2)根据正多边形与圆的关系,顺次连接各等分点得到的多边形是正多边形. 变式训练　如图,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为r的☉O. (1)求四边形A1A2A3O的面积; (2)求此正八边形的面积S. [解析]　(1)∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为r的☉O, ∴∠A3OA2=∠A2OA1=×360°=45°, ∴∠A3OA1=90°, ∴△A1OA3是等腰直角三角形, ∴A1A3=r, ∴OA2×(BA1+BA3)=OA2×A1A3=×r×r=r2. (2)r2, ∴S=×8=2r2. 探究点2　利用等分圆周作正多边形 典例2　如图,AB,CD是☉O中互相垂直的两条直径,以A为圆心,OA长为半径画弧,与☉O交于E,F两点. (1)求证:AE是正六边形的一边; (2)请在图上继续画出这个正六边形. [解析]　(1)如图,连接OE,OF,AF. ∵AE=OA=OE, ∴△AOE是等边三角形,∠OAE=60°. 同理可证△OAF是等边三角形. ∴∠OAF=60°, ∴AE=AF,且∠EAF=∠OAE+∠OAF=120°, ∴AE是正六边形的一边. (2)用圆规截去AE弧的弧长,然后以点E、点B为圆心,分别在圆上截得相等的弧长,取得点G,H,然后顺次将点A,E,G,B,H和F连接起来就得到正六边形.作图略. 变式训练　如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(不写作法,保留作图痕迹) [解析]　如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形. 提示:(1)过圆心O作直径AC; (2)分别以A,C为圆心、以大于☉O半径长度作弧交于点M,N; (3)连接MN交☉O于点B,D; (4)顺次连接A,B,C,D. 等分圆周作正多边形的方法: 1.用量角器等分圆:用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,它有两种方式: (1)依次作相等的圆心角来等分圆;(2)先利用量角器画一个°的圆心角,然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧来画正n边形; 2.用尺规等分圆: 对于一些特殊的正n边形,还可以用直尺和圆规来等分圆,如正四边形,正六边形等. 三、板书设计 正多边形与圆 正多边形与圆 ◇教学反思◇ 在探究新知的过程中,使学生认识到事物之间是普遍联系的,是可以相互转化的,并培养和训练学生综合运用知识解决实际问题的能力,渗透数形结合的思想. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$