24.4弧长和扇形面积 课时训练 -2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.4弧长和扇形面积课时训练-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（  ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则弧三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，若的半径是，、两点在上，且，则的长度是（    ） A． B． C． D． 5．一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图1，点从扇形（其中）的顶点出发，沿直线运动到扇形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 8．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个扇形的弧长是2π，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 10．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，与交于点C，若，，则的长为 ． 11．如图，在中，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，以为直径作半圆交线段于点D，则图中阴影的面积为 ． 12．如图，是边长为 的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ． (结果保留根号和)． 13．如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 14．如图，在矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 三、解答题 15．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上( 每个小方格的顶点叫格点)．    (1)画出绕点O 顺时针旋转90°后的 (2)求点A 旋转到点所经过的路线长． 16．如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 17．如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 18．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 19．如图四边形内接于为直径，，过点作于点，是的切线，，连接、． (1)求证：； (2)求、与围成阴影部分的面积． 20．如图①，垂直平分线段，，以点为圆心，2为半径作，点是上的一点，当A，D，O三点共线时，连接交于点，此时，如图②将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形． (1)求证：； (2)①当点到的距离最大时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，若，直接写出的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D A C A 1．B 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)． 直接利用弧长计算． 【详解】解：圆心角是，半径为20的扇形的弧长． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式求出一段弧长，乘以3即可得出结果． 【详解】解：由题意，一段弧所对的圆心角为60度，半径为1， ∴弧三角形的周长等于； 故选B． 4．B 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键； 根据弧长公式计算即可； 【详解】解：； 故选：B 5．D 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键． 设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，根据圆锥侧面积与底面积的关系建立方程求解即可； 【详解】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为， 根据圆锥侧面积与底面积的关系有，其中， ， ， ， 故选：D 6．A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式，根据题意得点P在0至时，点P在的角平分线上，设此时，过点D作交于点E，连接，则，点P从点D沿直线运动到顶点时，，则，有，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意知，点P在0至时，，则，那么，点P在的角平分线上，设此时，过点D作交于点E，连接，如图， ∵， ∴， ∴， 根据题意，点P从点D沿直线运动到顶点时，， 则， ∴， 那么，的长， 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 9．12π 【解析】略 10．/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，弧长公式．根据旋转的性质得，，，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，， ， 的长为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查扇形与三角形的综合，掌握扇形的面积计算方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．如图所示，连接，过点作于，可得，，是等腰直角三角形，点分别是的中点，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴都是等腰直角三角形，， ∴点分别是的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查扇形的面积和等边三角形的性质，掌握扇形的面积公式及等边三角形的性质是解题的关键. 取的中点，连接，根据等边三角形的性质，证明由三角函数求出，根据三角形的面积公式求出的面积；分别以点为圆心，以为半径画弧，得到个相同的扇形，根据扇形的面积公式求出一个扇形的面积，从而求出个扇形的总面积，根据“阴影部分的面积的面积个扇形的面积”计算即可. 【详解】解：如图, 取的中点, 连接. 是等边三角形，点是的中点，， ， ， 分别以点为圆心，以为半径画弧，得到个完全相同的扇形，每个扇形的面积为 ∴个相同的扇形的总面积为 )， 故答案为： 13． 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 是半圆的切线， ， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图形的旋转，求旋转点经过的路径长即弧长，勾股定理等知识点 （1）分别作出三点绕点O顺时针旋转90°后的对应点，依次连接即可得顺时针旋转90°后的； （2）由旋转的性质得，由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：旋转后的图形如下：    （2）解：由勾股定理得； 由旋转知：， 所以点A 旋转到点所经过的路线长为． 16．(1)； (2)． 【分析】（1）根据是的直径可知，根据可求出，进而得出是等腰直角三角形，于是得到，最后根据同弧所对圆周角相等即可求解； （2）连接，，根据是等腰直角三角形得到是等腰直角三角形，进而得到， 根据，得到的度数，进而根据圆周角定理得到的度数，最后根据弧长计算公式即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：如图，连接，． 由（1）知，， 是等腰直角三角形（底边上三线合一）， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，同弧所对圆周角相等，掌握相关定义以及定理是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据垂径定理的推论可得垂直平分，然后根据平行线的判定即可得证； （2）设的半径为，从而可得，再根据垂径定理的推论可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵点D为的中点， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ， ， ∵点D为的中点， ∴， ， 在中，，即， 解得， ， 又， ， ， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，，再由三角形内角和定理得到，，则由平角的定义可得，据此可证明是的切线； （2）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，则，证明四边形为矩形，得到，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接, ， ， ， ， ， ∴， ， ， 又是的半径， 是的切线： （2）解：如图，连接． 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， 四边形为矩形， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，扇形面积的计算； （1）根据圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得：，再根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后根据等角的补角相等可得，即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的面积，然后根据圆周角定理可得，从而根据阴影部分的面积=的面积+扇形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴； （2）解：为直径， ， 过点作于点， ， ， 阴影部分的面积为． 20．(1)见解析 (2)①相切，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，弧长公式： （1）由旋转的性质得，，根据证明可得答案； （2）①由得，即可得到答案；②分两种情况，由弧长公式计算可得结果 【详解】（1）解：垂直平分线段， ， 由旋转的性质得，， ， ； （2）解：①相切．理由如下： 当点到的距离最大时，与相切． 由得， 是的半径， 与相切： ②垂直平分线段， ， ，； 如解图①，， ， ， 的长为； 如解图②，， ， ， 的长为． 综上所述，的长为或． 【点睛】 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$