专题11 数列大题-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题11 数列大题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的综合题 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的 的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝ . 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 . （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的 的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示(q≠0).数学语言表达式： (n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝ ，我们称 为a，b的 中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ； 通项公式的推广：an＝ (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝ . 考点突破 考点1 等差数列的综合题 【例1】已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【突破训练】已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 【例2】已知等差数列，为其前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，为数列的前项和，求． 【突破训练】在等差数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 考点2 等比数列的综合题 【例3】在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【突破训练】等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 考点3 等差数列与等比数列的综合题 【例4】已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【突破训练】已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 模拟演练 1.已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 2.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 3.记等差数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 4.记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． $$ 专题11 数列大题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的综合题 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1 ＋ ＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 考点突破 考点1 等差数列的综合题 【例1】已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 【突破训练】已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 【答案】（1）；（2）36. 【详解】解：因为为等差数列，令其公差为， 则由题意得， 得， 故 ， 即的通项公式为. （2）由（1）知，， 故 ， 所以当，的最大值为. 【例2】已知等差数列，为其前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，为数列的前项和，求． 【答案】（1），；（2），. 【分析】（1）由已知，结合等差数列前n项和及通项公式求、，写出通项公式即可； （2）由（1）可得，再应用等差数列前n项和公式求. 【详解】（1）由题意，，可得，若公差为， ∴，故， ∴的通项公式. （2）由（1）得，则， ∴. 【突破训练】在等差数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)(2)1280 【详解】（1）设数列的公差为，由，可知， ∴; （2）由（1）知，数列为单调递减数列，由，则时，，时，； . 考点2 等比数列的综合题 【例3】在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 【突破训练】等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）设数列的公比为， 则，由 得：，所以. 由，得到 所以数列的通项公式为. （2）由条件知， 又 将以上两式相减得 所以. 考点3 等差数列与等比数列的综合题 【例4】已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1），（2） 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列， 所以即，解得， 所以； （2）由（1）得， 所以. 【突破训练】已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）成等比数列，， 由得：，解得：， 公差. （2）由（1）得：. 模拟演练 1.已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）成等比数列，， 由得：，解得：， 公差. （2）由（1）得：. 2.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果. （2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得， 又，得， 与联立，解得（舍去）或， 因此数列的通项公式为. （2）由，得，解得或， 当时，由得，则， 当时，由得，则， 综上，或. 3.记等差数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解； (2)根据等比数列求和公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，解得，， ∴； （2）∵，∴， ∴是首项为3，公比为9的等比数列， ∴﹒ 4.记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，，解得； 当且时， 所以 所以是以为首项，为公比的等比数列所以； （2）解：由（1）可知， 所以， 又 , 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以数列的前项和. $$