专题10 数列小题-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题10 数列小题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列综合应用 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1 ＋ ＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】已知数列满足：，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由，则，故，即， 则，又，故. 故选：A. 【突破训练】在数列中，，（），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列 中，由 ， ，得 ， 同理可得 ， ，...， 所以 ，则 . 故选：D. 【例2】已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 【突破训练】已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 【答案】A 【详解】数列的前项和为，所以， 故选：A 考点2 等差数列的概念 【例3】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】B 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 【突破训练】在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可知， 故， 故选：C． 考点3 等差数列前n项和 【例4】已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【答案】D 【详解】由数列为等差数列，且，，则 ，解得，. 故选：D 【突破训练】已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【答案】A 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 考点4 等比数列的概念 【例5】已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 【突破训练】在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由题意得，得． 故选：C 考点5 等比数列的前n项和 【例6】设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则， 由，解得， 故． 故选：A. 【突破训练】等比数列满足，，则（   ） A．30 B．62 C．126 D．254 【答案】C 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则，得， 所以， 所以. 故选：C 考点6 数列综合 【例7】在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ． 【答案】2 【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列， 可得， 即为，化为，解得或， 若，即有4，6，9成等比数列，满足要求； 若，即有1，0，0不成等比数列．则成立． 故答案为：2 【突破训练】已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 . 【答案】/ 【详解】因为数列，，，成等差数列， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 模拟演练 一、单选题 1．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知数列的前项和， 则， 故选：C. 2．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 3．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．设等差数列，则（    ） A．-5 B．18 C．23 D．28 【答案】B 【详解】. 故选：B. 5．在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，，所以,解得d＝2. 故选：B. 6．已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【详解】． 故选：A 7．已知等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】由等比数列下标和性质可得， 又，所以. 故选：A 8．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则，即， 解得，. 所以. 故选：A 9．等比数列中，，则的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由，则，由，则， 解得，所以. 故选：B. 10．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ） A．63 B．31 C．-63 D．-31 【答案】A 【详解】设公比为， 因为成等差数列，所以， 则，解得：或0（舍去）. 因为，所以，故. 故选：A. 二、填空题 11．已知数列满足，，则 . 【答案】 【详解】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 12．若数列的前项和，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，. 故答案为： 13．已知数列的通项公式，则等于 . 【答案】288 【详解】由得，， 所以，. 故答案为：288. 14．若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 15．等差数列中，若为的前项和，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列性质可知，则， 所心. 故答案为：. 16．已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【详解】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 三、解答题 17．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 18．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等差数列？ 【答案】(1)(2)数列不是等差数列 【详解】（1）当时，； 当时，. 又因为当时，不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为 （2）由（1）知，当时，， 但， 所以数列不是等差数列 $$ 专题10 数列小题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列综合应用 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的 的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝ . 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 . （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的 的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示(q≠0).数学语言表达式： (n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝ ，我们称 为a，b的 中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ； 通项公式的推广：an＝ (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝ . 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】已知数列满足：，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【突破训练】在数列中，，（），则的值为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 考点2 等差数列的概念 【例3】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【突破训练】在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点3 等差数列前n项和 【例4】已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【突破训练】已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 考点4 等比数列的概念 【例5】已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【突破训练】在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点5 等比数列的前n项和 【例6】设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【突破训练】等比数列满足，，则（   ） A．30 B．62 C．126 D．254 考点6 数列综合 【例7】在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d= ． 【突破训练】已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 . 模拟演练 一、单选题 1．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．设等差数列，则（    ） A．-5 B．18 C．23 D．28 5．在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 7．已知等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 8．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 9．等比数列中，，则的前项和（    ） A． B． C． D． 10．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ） A．63 B．31 C．-63 D．-31 二、填空题 11．已知数列满足，，则 . 12．若数列的前项和，则 . 13．已知数列的通项公式，则等于 . 14．若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 15．等差数列中，若为的前项和，则 ． 16．已知数列满足，且，则 . 三、解答题 17．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 18．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列是否为等差数列？ $$