专题12 平面向量-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题12 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 平面向量的概念 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【突破训练】下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2 向量的线性运算 【例2】在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【突破训练】在平行四边形中，，，则=（ ） A． B． C． D． 【例3】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 考点3 向量的运算用坐标表示 【例4】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【突破训练】若，则（    ） A． B． C． D． 【例5】已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】设平面向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点4 平面向量垂直的条件 【例6】若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 【突破训练】若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 考点5 平面向量共线的条件 【例7】已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点5 求向量的模 【例8】已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【突破训练】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 考点6 向量的数量积运算 【例9】已知向量满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．3 B．7 C． D． 【突破训练】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 模拟演练 一、单选题 1．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 6．若向量，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 10．设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 二、填空题 11．已知向量，，，则 . 12．已知向量，，则 ． 13．若，，且，则 ． 14．若，，，则实数 . 15．已知向量，，若，则 . 三、解答题 16．平面内给定两个向量. (1)求；(2)求. 17．（1）已知且求 （2）已知，求 $$ 专题12 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 考点预测 · 平面向量的概念 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 【突破训练】下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 考点2 向量的线性运算 【例2】在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以. 故选：C    【突破训练】在平行四边形中，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形中，. 故选：A 【例3】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，. 故选：C. 【突破训练】在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 考点3 向量的运算用坐标表示 【例4】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【突破训练】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【例5】已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点坐标为，则，解得. 故选：A. 【突破训练】设平面向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设B点坐标为，由， 所以，则，解得， 所以B的坐标为. 故选：B. 考点4 平面向量垂直的条件 【例6】若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，得. 故选：A. 【突破训练】若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【详解】由. 故选：A 考点5 平面向量共线的条件 【例7】已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【详解】由题意与共线，所以，解得． 故选：A. 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，若，则，解得. 故选：B 考点5 求向量的模 【例8】已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 【突破训练】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， ，. 故选：B. 考点6 向量的数量积运算 【例9】已知向量满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 得，所以， 所以. 故选：A. 【突破训练】已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 【例10】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】，. 故选：D. 【突破训练】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【详解】. 故选：C. 模拟演练 一、单选题 1．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 2．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且， 所以由可得，所以充分性成立； 对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 4．已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 所以. 因为，所以，则. 故选：C. 5．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 6．若向量，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 7．已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 8．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A. 10．设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【详解】由， 可得：，即， 所以， 故选：D 二、填空题 11．已知向量，，，则 . 【答案】 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 12．已知向量，，则 ． 【答案】 【详解】易知. 故答案为： 13．若，，且，则 ． 【答案】 【详解】由题设. 故答案为： 14．若，，，则实数 . 【答案】 【详解】解：因为，所以，即. 又因为，，所以，即. 故答案为：. 15．已知向量，，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，即， 因为，所以. 故答案为： 三、解答题 16．平面内给定两个向量. (1)求；(2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题，， 所以. （2）由题得， 所以. 17．（1）已知且求 （2）已知，求 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为且， 所以. （2）因为，则， 所以， 化简得，所以. $$