广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025广州华附高二上学期期中考试 数 学 一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线平分圆的周长，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 6．若是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱上靠近点的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为，则四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分． 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 10． 已知，为正实数，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值 D．的最小值为 11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积. 如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，，，设的离心率为，则（ ） A．若，则 B．四边形的面积与的面积之比为 C．四边形的内切圆方程为 D．设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分． 12．直线恒过的定点坐标为 . 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 14．已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为，，为上异于，的两点. 设，，且，则的周长的最大值为 . 四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 15. （本题满分 13分） 记的内角，，所对的边分别为，，，且. （1） 求； （2） 若为边上一点，，，，求. 16. （本题满分15分） 已知直线经过点与点，圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1） 求圆的方程； （2） 圆与圆相交于，两点，求两圆的公共弦的长. 17. （本题满分15分） （本题不能使用空间向量） 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面，，直线与平面所成角为. （1） 证明：平面平面； （2） 求二面角的正弦值. 18. （本题满分17分） 已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 19. （本题满分17分） 若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”. （1） 试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程； （2） 已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围； （3） 已知为函数的图像上任一点，则函数在点处的切线方程为. 若奇函数的定义域为，且在时，设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$