第28章 锐角三角形（知识点及考点精讲）课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十八章 锐角三角函数 1 锐角三角函数 ——在某个变化过程中，有两个变量x和y ，若对于x的每一个值，都有唯一一个y值与它对应，那么称y为x的函数。 函数 当锐角A的度数一定时,它的对边与斜边之比是一个定值． 如图,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',那么 有什么关系？ A' B' C' A B C ∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A' ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一确定的值与之对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数. A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 锐角三角函数 反映： 边角之间的关系 A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c ★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°： 注意事项 1.是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 2.反映了边与角的关系，是一个比值(数值，无单位) 3.大小只与角度的大小有关，与边的长短无关 A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 5.sin2A,cos2A,tan2A分别表示(sinA)2,(cosA)2,(tanA)2 6.0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0 4.书写 ①sinA 、 sin40 °、sinα(省去角的符号) ②sin∠ABC、 sin∠1 (不能省去角的符号) 2 锐角三角函数之间的关系 ①同一锐角三角函数之间的关系 A B C b a c ∵ ∴ A B C b a c ∵ ∴ A B C b a c ∵ ∴ sinA=cosB或cosA=sinB ∴ ②互余两锐角三角函数之间的关系:若∠A+∠B=900，则： sinA=cosB或cosA=sinB或tanA·tanB=1 3 特殊角的锐角三角函数 ∵30°所对直角边=斜边一半 ∴ 60° 30° A C B 2a a ①探索30°、45°、60°角的正弦值？ 45° 45° A C B a a ∵斜边 = 45°所对直角边的 倍 ∴ 特殊角的锐角三角函数 回顾与思考 A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 小结 1.对于sinα与tanα，角度越大，函数值越越大；(增减性) 对于cosα，角度越大，函数值越越小. 2.互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1. 3.若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB 4 解直角三角形 解直角三角形概念 ——一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． A B C 斜边c 直角边b 直角边 a 边：a、b、c 角：∠A、∠B 直角三角形五元素 ★五元素之间的关系: A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 边角间的关系 边：勾股定理(a2+b2=c2) 角：∠A+∠B=90° 解直角三角形常见的四种题型 ①已知斜边和一条直角边(求角的正弦和余弦值) ； ②已知两条直角边(求角的正切值)； ③已知斜边和一个锐角； ④已知一条直角边和一个锐角。 ★五元素至少知道两元素且其中一个元素是边 5 解直角三角形的应用 仰角或俯角 在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。 铅垂线 视线 视线 水平线 仰角 俯角 方向角或方位角 定义：指南、北线与目标方向线所成的小于90º的夹角 坡度 坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂(铅)直高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)用字母i表示。 i=tan坡角=tanα=h：ι $$