培优专题2 抽象函数的模型汇总【15类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 培优专题2 抽象函数的模型归纳            在解决抽象函数问题时，我们一定要熟悉最常见的一些基本初等函数的性质特征，再根据题目所给条件特征的吻合性，对照猜想符合条件的函数模型，应用所猜模型的性质去估计或验证所求结果.       这种典型的目标前置于具体函数的导入，虽然不符合数学命题的初衷，有投机取巧的嫌疑，但确实会极大地简化和优化我们的解题过程，成为解决此类问题的一大利器,从应试的角度来说，这种解法是值得参考的. 熟悉模型，并不是死记硬背，直接借用函数模型来解题，而是通过函数模型，理解模型中所涉及的性质与运算法则，提供解题思维突破口。 . 总览 题型解读 【题型1】抽象函数的赋值求值 【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y) 【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a 【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y) 【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y) 【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y) 【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c 【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型） 【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型） 【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式 【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式 【题型12】正切型函数的抽象表达式 【题型13】三次函数模型 【题型14】正余弦函数辅助角型 【题型15】其它函数的抽象表达式 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】抽象函数的赋值求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 【例1】已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 【例3】已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【巩固练习2】（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【巩固练习4】已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________. 【巩固练习5】已知对所有的非负整数均有 ，若，则______． 【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y) 正比例函数的抽象表达式 1、对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . 2、有以下性质 ① ②奇函数证明：令，则 ③可能具有单调性（结合其他条件） 3、相似的模型 【例1】（多选题）（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习1】已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【巩固练习2】（多选）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【巩固练习4】（多选题）（23-24高一上·江苏无锡）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．复合函数为偶函数 C．复合函数为偶函数 D．当，不等式的解集为 【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a 一次函数的抽象表达式 （1） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 【例1】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【例2】（多选）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【例3】已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 【例4】已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【巩固练习1】已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D．函数是奇函数 【巩固练习2】（多选）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 【巩固练习3】（多选）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【巩固练习4】（2023-2024学年重庆一中高一阶段测）（多选）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（ ） A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y) 指数函数的抽象表达式 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 ，且. 1、两个式子之间的关联： 2、单调性判断：先得出，再比较和1（即）的大小关系 3、模型补充： （1）；（2） 【例1】已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【例2】已知函数满足，，则的值为（    ） A．15 B．30 C．60 D．75 【巩固练习1】如果且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；当，时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C．不等式的解集为 D． 【巩固练习3】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y) 对数函数的抽象表达式  对数函数 或 其对应的抽象函数为 或， 1、单调性判断： 由，则有 记， ，再结合题目给的在或上的正负. 2、补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 3、若，则 4、若，则 【例1】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值；(2)若，求x的取值范围. 【例3】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【例4】已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【巩固练习1】已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习2】已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：；(2)已知，且，求a的取值范围． 【巩固练习3】已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【巩固练习4】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y) 幂函数函数的抽象表达式 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 奇偶性性判断：令 单调性判断： 【例1】已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 . 【例2】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明； 【例3】已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【巩固练习1】已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为 ． 【巩固练习2】已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【巩固练习3】某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题. (1)求的解析式；(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围. 【巩固练习4】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c 二次函数的抽象表达式  对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认. 【例1】已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【例2】已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【例3】已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【巩固练习3】对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型） 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 【例1】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【例2】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【例3】已知对任意实数x，y，函数满足，则（    ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【例4】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【巩固练习1】（多选）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【巩固练习2】（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【巩固练习3】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明. 【巩固练习4】设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 【巩固练习5】已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值；(2)判断的奇偶性，并证明． 【巩固练习6】（福建泉州·期末）已知定义在上的函数，，且，则下述结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D． 【巩固练习7】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型） 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 【例1】（多选）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D． 【例2】（23-24高一上·湖北鄂州·阶段测）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【巩固练习1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【巩固练习2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【巩固练习3】（23-24高一上·广东湛江·阶段测）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【巩固练习4】设定义在上的函数对任意均满足：，且，当时，. (1)判断并证明的奇偶性；(2)判断并证明在上的单调性 (3)若，解不等式. 【巩固练习5】（高一上·广东广州）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题： (1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数的单调性； (3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围． 【巩固练习6】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式 正弦型函数的抽象表达式 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 备注：这类函数，还有可能是双曲正弦函数型 【例1】已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【例2】（多选）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【巩固练习1】（多选题）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【巩固练习2】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 【巩固练习3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式 余弦型函数的抽象表达式 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二：（2022新高考2卷T8用的就是这个模型）2 其抽象函数模型是： 3、双曲余弦函数：这类抽象表达式，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现 特征： 【例1】（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是 A． B．是偶函数 C． D．的图象关于对称 【例2】（多选）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（     ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 【例3】（多选）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【例4】（多选）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C． D．2是函数的一个周期 【巩固练习1】已知函数定义域为，满足，则 . 【巩固练习2】（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【巩固练习3】（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．在区间上单调递减 【巩固练习5】已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 【巩固练习6】（2022新高考2卷T8）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【题型12】正切型函数的抽象表达式 正切型函数的抽象表达式 对于正切型函数 （k根据其余条件待定系数），  此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 与其对应的抽象函数为 【例1】（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 【例2】（多选题）已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【例3】已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 【巩固练习1】给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选题）（23-24高二上·广东茂名·阶段测）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且2为的周期 D． 【巩固练习3】（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为增函数 C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为 D． 【巩固练习4】已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有.若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【题型13】三次函数模型 三次函数型：则（其中b可以借助其他条件待定系数） 【例1】（多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【巩固练习1】已知定义在上的函数满足：，证明：是奇函数 【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【题型14】正余弦函数辅助角型 正余弦函数辅助角型，形如 则 值可以通过其他条件待定系数 【例1】已知函数的定义域为且，，那么（    ） A．为偶函数 B． C．是函数的最大值点 D．的最小值为 【巩固练习1】已知函数的定义域为，且，若，则函数（    ） A．以为周期 B．最大值是1 C．在区间上单调递减 D．既不是奇函数也不是偶函数 【巩固练习2】（多选题）已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减 【题型15】其它函数的抽象表达式 1、反比例函数：，则， 2、： 3、： 【例1】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（    ） A． B．在上是增函数 C．是周期函数 D． 【巩固练习1】已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有， （1） 求；（2）证明函数是奇函数 【巩固练习2】（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点（高一可改为单调性相关的问题） 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 培优专题2 抽象函数的模型归纳            在解决抽象函数问题时，我们一定要熟悉最常见的一些基本初等函数的性质特征，再根据题目所给条件特征的吻合性，对照猜想符合条件的函数模型，应用所猜模型的性质去估计或验证所求结果.       这种典型的目标前置于具体函数的导入，虽然不符合数学命题的初衷，有投机取巧的嫌疑，但确实会极大地简化和优化我们的解题过程，成为解决此类问题的一大利器,从应试的角度来说，这种解法是值得参考的. 熟悉模型，并不是死记硬背，直接借用函数模型来解题，而是通过函数模型，理解模型中所涉及的性质与运算法则，提供解题思维突破口。 . 总览 题型解读 【题型1】抽象函数的赋值求值 【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y) 【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a 【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y) 【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y) 【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y) 【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c 【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型） 【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型） 【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式 【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式 【题型12】正切型函数的抽象表达式 【题型13】三次函数模型 【题型14】正余弦函数辅助角型 【题型15】其它函数的抽象表达式 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】抽象函数的赋值求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 【例1】已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 【例2】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 【答案】 【分析】令可求得；令得，令得， ，相减即可求得. 【详解】因为对任意实数x，y都成立，所以令得， ，解得；令得， ，令得， ，所以，所以. 【例3】已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以 【巩固练习1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【巩固练习2】（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案. 【详解】令，得，则.故A错误，C正确； 令，得.故B错误，D正确. 故选：CD. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 【巩固练习4】已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________. 【答案】0 【详解】由， 令，则 【巩固练习5】已知对所有的非负整数均有 ，若，则______． 【答案】31 【解析】令，则，可得， 当时，令，令， 令，，则，可得， 所以， 令，，则，可得 【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y) 正比例函数的抽象表达式 1、对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . 2、有以下性质 ① ②奇函数证明：令，则 ③可能具有单调性（结合其他条件） 3、相似的模型 【例1】（多选题）（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【答案】ABC 【分析】令，求得，可判定A正确；令，推得，可判定C正确；用代替，可判定B正确；由，因为的符号不确定，可判定D不正确. 【详解】由定义在上的函数满足， 令，可得，可得，所以A正确； 令，可得，因为，可得， 所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确； 用代替，可得，所以B正确； 任取，且，则， 则， 其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定， 所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确. 故选：ABC. 【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 【例3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【巩固练习1】已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)，. (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 【巩固练习2】（多选）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 【巩固练习3】（多选）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 【巩固练习4】（多选题）（23-24高一上·江苏无锡）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．复合函数为偶函数 C．复合函数为偶函数 D．当，不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】A，应用赋值法，，，则，结合单调性的定义即可判断，B，举反例，即可判断；C，结合偶函数的定义即可判断；D结合赋值法与抽象函数的单调性即可求解. 【详解】模型解法：显然该函数复合y=kx型，且k<0. A正确。 再由内外复合函数知=ksinx，是奇函数，故B错误；=kcosx。为偶函数，C正确 对于D．当，不等式。即，，.故选：ACD 常规解法：A.正确，设，，则， ，， 设，即， 当时，， 当时，，即， 在上单调递减； B.错误，取一个符合要求的具体函数，如：，则，为奇函数； C.正确，的定义域为，且，则，所以为偶函数； D.正确，由，又在上单调递减， 令，则，则， 则，即，，.故选：ACD 【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a 一次函数的抽象表达式 （1） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 【例1】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误 【例2】（多选）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D. 【详解】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 【例3】已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】法一：设，则， 当时，，， 则， 即，为增函数， ， 又，，， ，即，解得不等式的解集为. 法二：由，即， 可设函数，由，得，即， 即，满足当时，， 则不等式可化为， 即，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 【例4】已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，得； 令，则， 所以；令，则 ，所以为奇函数，故，即 【巩固练习1】已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D．函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】 根据题意，利用抽象函数的的性质，利用赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A中，令，可得，令， 则，解得，所以A正确； 对于B中，令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，所以B错误； 对于C中，令，可得， 即， 所以 ，所以C正确； 对于D中，令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：ACD. 【巩固练习2】（多选）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D. 【详解】由对于任意实数， ， 令，则，即, 再令,则， 即，故A正确; 令，则，即，故B正确； 由，则，即是奇函数，故C正确； 对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误. 故选：ABC 【巩固练习3】（多选）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D. 【详解】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 【巩固练习4】（2023-2024学年重庆一中高一阶段测）（多选）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是 A． B．在定义域上单调递减 C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】ACD 【简析】即考虑一次函数模型，故AC对，B错，而，则， ，解得 【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y) 指数函数的抽象表达式 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 ，且. 1、两个式子之间的关联： 2、单调性判断：先得出，再比较和1（即）的大小关系 3、模型补充： （1）；（2） 【例1】已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 【例2】已知函数满足，，则的值为（    ） A．15 B．30 C．60 D．75 【答案】B 【解析】 因此 【巩固练习1】如果且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：，，，，， ，，， 法二：设，，则 【巩固练习2】（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；当，时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【思路点拨】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可． 方法二：构造函数判断即可． 【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，， 令，，得：， 又由条件②得，∴，A正确； 对于B，取，，且，则 ， ∵，∴，，∴， ∴，即，∴在上单调递增，B正确； 对于C，∵，， ∴不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数， ∴，∴解集为，C错误； 对于D，令，则，， 此时不成立，D错误． 方法二：构造函数，符合条件①②． ，故A正确； 时，，在上单调递增，故B正确； ，则即为，则，解集为，故C错误；     令，则，， 此时不成立，D错误 【巩固练习3】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y) 对数函数的抽象表达式  对数函数 或 其对应的抽象函数为 或， 1、单调性判断： 由，则有 记， ，再结合题目给的在或上的正负. 2、补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 3、若，则 4、若，则 【例1】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ，依次类推可得 法二：因为，考虑对数函数模型，代入，得，故 【例2】设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用赋值法，令，得，就可解得； （2）由，从而将转化成，然后函数的单调性和定义域建立关系，解之即可. 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 【例3】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【例4】已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 【巩固练习1】已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】法一：赋值法 令，，，所以； 令，，则． 令，得，故为偶函数．A错误， 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得，故，解得，且．B错误， 若，则，C正确， 若，则，， ，所以，故D错误 法二：由，可以令，又时，，故，故C正确 【巩固练习2】已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）依题意求得即可得证. （2）由题意求得，故可将不等式转化成，再根据函数定义域和单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 【巩固练习4】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】通过赋值得，，由此即可得解. 【详解】法一：令，则，故选C 法二：由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 【巩固练习5】 【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y) 幂函数函数的抽象表达式 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 奇偶性性判断：令 单调性判断： 【例1】已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 . 【答案】 【详解】令，则， ，为偶函数. 设，， 因为时，，所以， 所以，故在上是增函数. 因为，又， 所以， 因为，所以，即，又，故. 故答案为：. 【例2】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 【例3】已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；（3）. 【详解】试题分析：（1）利用赋值法，先求出，令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数.；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析：（1）令，则， ，为偶函数. （2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数. （3）∵,又 ∴ ∵，∴，即，又故. 【巩固练习1】已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】令，则，所以是偶函数， 则，， 又定义在上的函数在上是增函数， 由，得，则，解得， 故的解集为． 【巩固练习2】已知定义在上的函数满足：在上单调递减，，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得，可知函数为奇函数，由奇函数性质分析可知在定义域内单调递减，根据函数单调性和奇偶性分析求解. 【详解】因为，且， 令，可得， 则，即， 可知函数为定义在上的奇函数， 且在上单调递减，可知在上单调递减， 所以在定义域内单调递减， 又因为，即， 由奇函数性质可得：， 由单调性可得，所以满足的的取值范围为. 【巩固练习3】某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题. (1)求的解析式； (2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 代入①得，， 所以， 故， 又由③得，， 所以b=3； 因此， 经检验，，满足题干所给条件， 所以； （2）因为方程恰有3个实数根， 显然0为其一个实数根， 所以方程恰有2个非0实数根， 即方程恰有2个实数根，且两根非， 由可得，， 又由均不是此方程的根， 则， 所以，m的取值范围为. 【巩固练习4】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增，证明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此 ， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以在上单调递增. （3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c 二次函数的抽象表达式  对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认. 【例1】已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 【例2】已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可. 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，令，，可得， 则，故B正确； 由，可得，令， 则，令，可得，令， 则，所以是奇函数，即是奇函数， 故C正确； 因为，所以不是偶函数，故D不正确. 【例3】已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解. 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 【详解】f(1+1)= f(1)+ f(1)+2=6，f(2+1)= f(2)+ f(1)+4=12 易知f(0)=0，f(-1+1)= f(-1)+ f(1)-2 f(-1)=0 f(-2)=2 f(-1)+2=2 f(-3)= f(-2)+ f(-1)+4=6 【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】法一：，，故，选AB 法二：对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 【巩固练习3】对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】A 【分析】根据题意，令可得，由累加法可得，然后考虑负整数的情况，代入计算，即可求解. 【详解】令，则， ①， 分别令， 可得， ， ， 并将诸式相加得 整理可得②， 从而对所有自然数，②式成立. 若，可得，，. 于是，对且时，无解. 对公式①取得. 再取得. 进而得，，. 再由①式，时，. 从而，时，有. 所以，只有时，. 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型） 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 【例1】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确 【例2】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 【例3】已知对任意实数x，y，函数满足，则（    ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【分析】依题意取特值即可求解. 【详解】令，得，∴； 令，得，∴； 令，得， ∴的图象关于直线关于对称 【例4】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】C 【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD. 【详解】对于A，令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 对于C，令，则有， 则，故函数是奇函数，故C错误； 对于D，有，即， 则函数是减函数，故D正确； 对于B，由，令，有，故B正确. 【巩固练习1】（多选）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得， 再令，得到，可判定D正确. 【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有， 对于A中，令，得，所以A正确； 对于B中，令，得，则，所以B正确； 对于C中，令，得， 再令，得， 可得，所以C错误. 对于D中，令，得，则， 再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 【巩固练习2】（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 【巩固练习3】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【巩固练习4】设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 【答案】 【思路点拨】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令，则，； 令，，则，又，； 令，则，关于直线对称； 令，则， 不恒成立，恒成立，为奇函数， ，， 是周期为的周期函数，. 【巩固练习5】已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1)，， (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得， （2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论. 【详解】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得， 即， 因为，所以，所以． （2）为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数． 【巩固练习6】（福建泉州·期末）已知定义在上的函数，，且，则下述结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D． 【答案】AC 【分析】令，即可求出判断A，令，得到，即可判断B，令，结合奇偶性的定义判断C，结合B即可得到，，从而判断D. 【详解】令，则，因为，所以，故A正确； 令，则，所以， 所以， 若，则，故B错误； 令，则，即， 所以，即是偶函数，故C正确； 因为，所以，所以，，故D错误. 故选：AC. 【巩固练习7】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【详解】A.， 令，则，故A错误； 令，则，又，所以， 令，则， 所以函数关于对称， 令，则， 令，且，则，所以， 又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确； 令，则， 又，所以，故C正确； 因为，所以，所以函数的一个周期为8， 令，则，所以， 所以，所以， ， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：BC 【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型） 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 【例1】（多选）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C：根据题意令代入运算即可；对于D：令，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 令，则，可得， 令得：， 再以代，得：， 两式相加得：，即， 令，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内的值域为， 由，，即，， 所以定义在上的函数为奇函数，故A正确； 对于选项B：因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 不妨设，则， 因为，则且 可知，所以， 则，即， 故函数在上为增函数，B正确； 对于选项C，令，且， 则，即，故C正确； 对于选项D：令，且， 则， 因为，且函数在上为增函数，可得， 即，所以，故D错误. 【例2】（23-24高一上·湖北鄂州·阶段测）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性； （2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性； （3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得； 令，则，令，则， ∴为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，∴． ，则，则； 又， ∴，又当时，，∴， ∴，即，∴在上单调递减． （3）由得， ∵的定义域为且在上是单调递减的， ，解得，∴不等式的解集为． 【巩固练习1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【巩固练习2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 【巩固练习3】（23-24高一上·广东湛江·阶段测）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)， (2)为奇函数，理由见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减． 【巩固练习4】设定义在上的函数对任意均满足：，且，当时，. (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断并证明在上的单调性； (3)若，解不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，根据函数奇偶性的知识进行证明； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）根据函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 依题意，， 令，得， 所以，所以是奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则，， 所以， 所以，所以在上单调递增. （3）由于， 所以，， ， 而在上递增，所以， 所以不等式的解集为. 【巩固练习5】（高一上·广东广州）定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题： (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数的单调性； (3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见详解；(2)在R上单调递减，证明见详解；(3)[，＋) 【分析】(1)采用赋值法进行判断与证明，先令x＝y＝0求出f(0)，再令y＝－x即可判断； (2)结合已知条件，用定义证明函数的单调性； (3)根据单调性将转化为关于a、m的不等式，参变分离a和m，构造函数，根据恒成立和能成立(有解)转化为求函数的最大值或最小值问题﹒ 【详解】(1)令得，即或(舍去)， 令代入得， 对，即在上为奇函数； (2)设，若， ， 由(1)知在上为奇函数， 则， 函数的值域为，则， 即， 又，则， ， 在上为减函数； (3)由(2)知在上为减函数， ， 化简得 对，使得恒成立 设，有， (当且仅当时等号成立)， 的对称轴为，开口向下，， ， ，即﹒ 【巩固练习6】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式 正弦型函数的抽象表达式 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 备注：这类函数，还有可能是双曲正弦函数型 【例1】已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【分析】 对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可. 【详解】模型解法一：构造正弦双曲函数即可 常规解法二： 对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且 ，故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误. 【例2】（多选）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断. 【详解】模型解法一：构造正弦函数即可 常规解法二： 对于A，因为， 令，则，故，则，故A正确； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故， 令，则，故，又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6， 因为，所以，对于，令，得，则， 令，得，则，令，得，令，得， 令，得，所以， 又，所以由的周期性可得：，故D正确. 【巩固练习1】（多选题）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D. 【详解】模型解法一：构造正弦函数即可 常规解法二： 令，得，即，A正确； 令，得， 又，所以对任意恒成立， 因为，所以不恒为0， 所以，即，B错误； 将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象， 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 所以， 又为奇函数， 所以， 所以，所以4为的周期. 由可得，C正确； 因为，，， 所以，D正确. 【巩固练习2】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BD 【解析】法一：赋值法 令，则. 另令，则，由，所以不成立， 所以，所以函数为奇函数，故A错误； 令，，则，故B正确； 令，，则， 又，所以，故C错； 令得.且，，. 所以；； 所以，又，， 所以； 所以； 所以 所以，故D正确. 法二：利用函数模型 ∵，设 又∵，故，即 【巩固练习3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BC 【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：． 证明过程如下： ． 由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误． 因为，故选项B正确． 因为，故选项C正确． 因为，故，故选项D错误． 方法二：对于选项A，因为的定义域为， 令，则，故，则， 令，则， 又不恒为0，故， 所以为奇函数，故A错误． 对于选项B，令，则． 而，所以，故选项B正确． 对于选项C，由选项B可知，， 令，则，所以． 又因为为奇函数，所以，故C正确． 对于选项D，由选项B以及，可得， 所以，同理可得． 因为，故，故D错误． 故选：BC 【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式 余弦型函数的抽象表达式 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二：（2022新高考2卷T8用的就是这个模型）2 其抽象函数模型是： 3、双曲余弦函数：这类抽象表达式，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现 特征： 【例1】（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是 A． B．是偶函数 C． D．的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得. 【详解】法一：赋值法 因为，， 令可得，解得或， 又当时，恒成立，所以，故A错误； 令，，则，即， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则，所以， 令，，则，所以，故C正确； 令可得， 令，可得，又， 所以，即， 所以， 所以的图象关于对称，故D正确. 法二：令，因为，故， 又因为，故，即，故选BCD 【例2】（多选）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（     ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．，使得成立 【答案】BC 【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B. 【详解】由， 令，则， 则，即， 所以， 所以函数为周期函数，故C正确； 令，则，解得或， 当时，令，则， 所以，故AD错误； 所以，其图象关于原点对称，是奇函数； 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 所以， 又因为，所以， 则，所以函数为奇函数， 综上所述，为奇函数，故B正确. 【例3】（多选）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，利用赋值法逐项判断. 【详解】因为， 令，得，因为，所以，故B错误； 令，则，即，所以，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以，则， 所以函数周期为，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【例4】（多选）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C． D．2是函数的一个周期 【答案】ABD 【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，结合偶函数定义即可得；对C：计算出，其与不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令，结合的值与周期函数的定义计算即可得. 【详解】对A：令，则有，又， 故有，故，故A正确； 对B：令，则有，又， 故有，即，又其定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对C：令，，则有， 故，又，不符合，故C错误； 对D：令，则有， 由，故，则，故， 两式作差并整理得，故2是函数的一个周期，故D正确. 【巩固练习1】已知函数定义域为，满足，则 . 【答案】 【详解】法一：令，因为，故， 又因为，故，即，故选BCD 法二：因为，， 令，可得， 所以，， ， 所以，即函数为周期函数，且周期为， 当时，，所以， 所以， 则. 【巩固练习2】（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【答案】BC 【分析】 利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】 由题可知 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 故选：BC. 【巩固练习3】（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 【答案】BC 【详解】 法一：利用赋值法求出函数的周期（通性通法） 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化（优解） 联想到余弦函数和差化积公式 ，，易知，又，故，即，则，故BC对 【巩固练习4】已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】对于选项A：令，得，故A正确； 对于选项B：令，得， 即，且，所以为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，得， 用代入即， 消去得：用代入得， 所以有，即，故C正确； 对于选项D：令，则有， 令，则有， 令，则有， 所以在区间上不是单调递减，故D错误. 【巩固练习5】已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 【答案】C 【详解】由， 可得，可设 由，即，则可取，即进行验证. 选项A： ，故选项A不正确. 选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确. 选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确. 选项C：,又，故此时为其一条对称轴. 此时选项C正确 【巩固练习6】（2022新高考2卷T8）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【题型12】正切型函数的抽象表达式 正切型函数的抽象表达式 对于正切型函数 （k根据其余条件待定系数），  此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 与其对应的抽象函数为 【例1】（多选）已知函数的定义域为，且，，则（ 多选   ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：令中，即可得出答案； 对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案； 对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案； 对于选项D：根据周期得出答案. 【详解】A选项：令，得，故A正确. B选项：令，则，因此， 又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误. C选项：令，则， 所以，因此， 所以为周期函数，且周期为4，故C正确. D选项：，故D正确. 【例2】（多选题）已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D. 【详解】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知， 令，则，即，故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确 【例3】已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解. 【详解】解：令，即， 则，令，即，则， 因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代， 得，因为是奇函数，所以， ，且，则，因为当时，， 所以，，即， 所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增， 则等价于，解得，故选：D 【巩固练习1】给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答 【详解】对于A，因，则满足，A不是； 对于C，因，则满足，C不是； 对于D，因，则满足，D不是； 对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是. 故选：B 【巩固练习2】（多选题）（23-24高二上·广东茂名·阶段测）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且2为的周期 D． 【答案】AD 【分析】对于选项A：令，即可得出答案；对于选项B：令，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；对于选项C：令，得出，即可根据周期定义得出答案；对于选项D：根据周期得出答案. 【详解】A选项：令，得，故A正确； B选项：令，则，因此， 又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误； C选项：令，则， 所以，因此， 所以为周期函数，且周期为4，故C错误； D选项：，故D正确. 【巩固练习3】（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为增函数 C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为 D． 【答案】ABD 【分析】先令，求出，再令，即可判断A；令，结合已知判断的符号，即可判断B；根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性即可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以， 令，则，所以， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，令， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又是奇函数，且， 所以函数为增函数，故B正确； 对于C，由，得， 所以，解得，故C错误； 对于D，， 即，故D正确. 【巩固练习4】已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，，均有.若，则的取值范围是（e是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的性质先判断函数为奇函数，再由单调性定义证明函数单调性，即可求解不等式. 【详解】对任意的，，都有， 令，则，， 即，由，可得， 令，则， ∴，∴是奇函数. 设，，且，则，令， 则， 由是奇函数，可得， ∵当时，，且，，∴， 由函数是奇函数，可得当时，， ∴，即，即， ∴函数在上是增函数，∴函数在上是增函数， 则不等式等价于，解得， 即不等式的取值范围是. 【题型13】三次函数模型 三次函数型：则（其中b可以借助其他条件待定系数） 【例1】（多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确 【巩固练习1】 【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【题型14】正余弦函数辅助角型 正余弦函数辅助角型，形如 则 值可以通过其他条件待定系数 【例1】已知函数的定义域为且，，那么（    ） A．为偶函数 B． C．是函数的最大值点 D．的最小值为 【答案】D 【分析】令再令，联立所得结论可得，取，把变为，可得，联立两个结论可求得函数的解析式，根据函数的解析式逐项分析即可. 【详解】 模型解法一：构造即可。 常规解法二： 令，得，即，① 令，结合，则，② 结合①②可得，用代替得，，③ 对于中，取得，把变为，结合， 得，④ 联立③④， 可得,对于A，，故A错误； 对于B，,故B错误； 对于C，时，故C错误； 对于D,易得最小值为，故D正确，故选：D. 【巩固练习1】已知函数的定义域为，且，若，则函数（    ） A．以为周期 B．最大值是1 C．在区间上单调递减 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 【分析】利用赋值法，分别令，，，，，，得到逐项判断. 【详解】 模型解法一：构造即可。 常规解法二： 解：令，，得，令，，得， 令，，得，由以上3式，得， 即.则的周期为，故A错误； 的最大值为，故B错误； 令，则，故的在区间上不单调递减，故C错误； 因为，所以，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故D正确. 【巩固练习2】（多选题）已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减 【答案】BC 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令进行判断，对于C，令进行判断，对于D，举例判断. 【详解】 模型解法一：构造即可常规解法二： 对于A，令，得，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，令，则，因为， 所以，所以为奇函数，所以B正确， 对于C，令，则， 所以，所以， 所以，所以， 所以的周期为，所以C正确， 对于D，因为，，，的周期为， 所以， 令，则，所以，得， 所以，所以在上不单调，所以D错误， 【题型15】其它函数的抽象表达式 1、反比例函数：，则， 2、： 3、： 【例1】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（    ） A． B．在上是增函数 C．是周期函数 D． 【答案】ABD 【详解】两边同时除以，得到， 联想到，设，即， 【巩固练习1】已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有， （1） 求； （2）证明函数是奇函数 【答案】（1）24，（2）见解析 【详解】（1）令，则有， ，正确； （2）因为的定义域为， 因为对于，， 当时，令，则有， 当时，， 所以是奇函数 【巩固练习2】（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点（高一可改为单调性相关的问题） 【答案】ABC 【思路点拨】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二：两边同时除以，得到， 联想到，设，即 又函数的定义域为，为偶函数，故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$