第27章 相似（知识点及例题精讲）课件 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 1 图形的相似 相似 相似图形：形状相同的图形(大小不一定相同) 全等形：能够完全重合的两个图形 相似图形 全等形 全等形是相似图形的一种特殊形式 概念:对应角相等、对应边成比例的边数相同的 两个多边形 相似比：相似多边形对应边的比 相似多边形 A B D C E F N M ∠A=∠E, ∠B=∠F, ∠C=∠M, ∠D=∠N 任意两个边数相等的正多边形都相似. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 ，则这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 比例线段 a 线段一 1.5a 线段二 2a 线段三 3a 线段四 ∴四条线段长度成比例 注意： ①成比例线段是有顺序的，即a:b=c:d，不能写成a:b=d:c(a、c叫比例外项；b、d叫比例内项) ②四条线段的单位应一致;或a,b单位一致，c,d单位一致 比例的相关性质 ①基本性质： ②合比性质： ③等比性质： 判断四条线段是否成比例的方法 ①统一单位：将四条线段的单位统一 ②大小排序：将四条线段的长度按从小到的顺序排列 ③计算判断： 方法1：a:b=c:d(前两个的比=后两个的比) 方法2：ad=bc(前后两个的积=中间两个的积) 例1：判断下列各组线段是否成比例？ (1)3cm,5cm,4cm,7cm; (2)12mm,5cm,15mm,4cm; 解：(1)四条线段的长度按从小到的顺序排列为： 3cm,4cm,5cm,7cm; ∵3×7≠4×5,即3：4≠5：7 ∴四条线段不成比例 (2)5cm=50mm,4cm=40mm， 四条线段的长度按从小到的顺序排列为： 12mm,15mm,40mm,50mm; ∵12×50=15×40,即12：15=40：50 ∴四条线段成比例 2 相似三角形 相似三角形 C A B C' A' B' 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形 表示：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C' ①对应角相等,对应边成比例 ②对应高线/中线/角平分线的比等于相似比 ③周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 ★性质 推导 ——两直线被一组平行线所截,所得对应线段成比例 几何语言：   A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a m n 平行线分线段成比例★ 小结：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. A4 B4 A5 A6 B5 A1 A2 A3 B2 B3 b c a 相似三角形的判定 ——判定方法(一)：平行得相似 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 “X”型 D E A B C “A”型 A B C D E ——判定方法(二):三边对应成比例的两个三角形相似 C A B C' A' B' 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC∽△A'B'C' 19 ——判定方法(三)：两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ，∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C' C A B C' A' B' 20 ——判定方法(四):两角对应相等的两个三角形相似 在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴△ABC∽△A'B'C' C A B C' A' B' 21 ——判定方法(五):斜边和一条直角边对应成比例的 两个直角三角形相似(HL) C A B C' A' B' 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵ ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 22 ①平行线型 “X”型 D E A B C “A”型 A B C D E 常见相似三角形模形 ②旋转型 ∵ ∠1=∠2，∠B=∠D ∴△ABC∽△A'B'C' 2 1 A B C D E ③斜交型 E D C B A E D C B A A E B C ④一线三角型 E D C B A ∠ABC=∠ACE =∠CDE=60° E D C B A ∠ABC=∠ACE =∠CDE=90° A B C D E ∠ABC=∠ACE =∠CDE=45° ⑤圆幂定理型 A C D B P PA×PB=PC×PD A C D B P PA为圆的切线 PA2=PC×PB A C D B P PA×PB=PC×PD ⑥手拉手——相似 A B C D O 当∠AOB=90°时，△OCD∽△OAB→△OAC∽△OBD 满足BD⊥AC，若连接AD、BC，则必有AD2+BC2=AB2+CD2 A B C D O 3 相似三角形的应用举例 太阳光线构成两个相似三角形——如图,木杆长2m,木杆影长为3m,测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201m,求金字塔的高度． 情景引入——高度问题——建模/数形结合思想) 30   3 2 201 ？ 4 位似 回想小孔成像实验,发现实物和所得图像有什么关系？ 情景引入 位似图形 相似图形 位似图形 ——若两个图形不仅相似,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行(这点与对应点连线成比例),那么这两个图形叫位似图形,这个点叫位似中心(可在形内、形外、形上)． 注意：位似图形是相似图形的一种特殊形式。 位似图形的性质 ①对应角相等，对应边成比例 ②对应点连线相交于一点，即经过位似中心 ③对应边相互平行或在同一条直线上 ④任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 36 1.确定位似中心. 2.确定原图形的关键点. 3.确定位似比. 4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，按照原图的顺次连接各点(对应点都在位似中心同侧，或两侧) . 画位似图形 37 B’ A D E O B C A’ E’ D’ C’ 作法： 1)在五边形ABCDE外任取一点O 2)连接OA,OB,OC,OD,OE 3)在OA的延长线上,取OA=AA', 其他同理。 4)连接A'B',B'C',C＇D',D'E',A'E' 平面直角坐标系中的位似变化 ——当以原点为位似中心且变换前后的两个图形相似比为k时，原图上点E(x，y)的对应点坐标为E＇(kx，ky)或(-kx，-ky)(即对应点坐标之比的绝对值等于位似比). 形式 规律 方式 平移 对应点横/纵坐标加上/减去平移的单位长度 全等 轴对称 以x轴为对称轴,对应点横坐标不变,纵坐标相反 以y轴为对称轴,对应点纵坐标不变,横坐标相反 旋转 中心对称：旋转180°,横、纵坐标互为相反数 位似 以原点为位似中心时,对应点坐标之比的绝对值等于位似比 相似 $$