4.3坐标平面内图形的轴对称和平移（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 知识点一 对称点的坐标特征 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 知识点二 用坐标表示点的平移 ◆1、平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律： 将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 记忆技巧：左减右加，横变纵不变；上加下减，纵变横不变. ◆2、点的平移方式 ⇌点的坐标的变化 根据点平移的方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，根据点的横、纵坐标的变化情况，可以判断出点平移的方向和距离. 知识点三 用坐标表示图形的平移 ●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移. ★1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变. ★2、图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） ★3、图形沿“斜方向”进行平移： 把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移. 题型一 关于坐标轴对称的点的坐标特征 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2024秋•南海区期中）点A（5，﹣2）关于y轴对称的点坐标是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣2，5） 2．（2024秋•金水区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（3，m）和点B（n，2）关于x轴对称，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝﹣2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣3 3．（2024春•铜仁市期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（﹣3，n），其关于y轴对称的点B的坐标为（m，2），则m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 5．（2024秋•福田区校级期中）在平面直角坐标系中任取一点P（a，b），点P关于x轴的对称点为P'，则点P'的坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 6．（2023春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 7．（2023春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 8．（2024秋•金凤区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（a，﹣3）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a﹣b的立方根为 　 ． 9．（2024秋•昆都仑区校级期中）已知：点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023＝ 　 　． 10．（2024秋•诸城市校级月考）已知点A（2a﹣b，5+a）与点B（2b﹣1，﹣a+b），当a，b为何值时， （1）点A，B关于x轴对称； （2）点A，B关于y轴对称． 11．（2024秋•恩平市期中）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2024的值． 12．（2024秋•高陵区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（x﹣3，y+2）与点B（5，3y﹣2）． （1）若点A与点B关于x轴对称，求x+y的值； （2）若AB∥x轴，且AB＝2，求A点的坐标． 题型二 在平面直角坐标系中作轴对称图形 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4）， C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 2．（2023春•怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），c（﹣1，1）． （1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1； （2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2． 3．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 4．（2023春•覃塘区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣2），B（1，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC向上平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）请写出点C1、B2的坐标． 5．（2023春•正定县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 6．（2023•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）求△ABC的面积． 题型三 关于特殊直线对称的点的坐标特征 解题技巧提炼 1、点 (a,b) 关于过点 (k,0) 且垂直于 x 轴的直线（即直线 m ）对称的点 为(2k−a,b) . 2、 点 (a,b)关于过点 (0,k) 且垂直 y 轴的直线（即直线 n ）对称的点 为(a,2k−b). 1．（2024秋•郑州期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（　　） A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1） 2．（2023秋•浑南区期末）已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A．x轴 B．y轴 C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线 D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线 3．（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 4．（2024秋•东昌府区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为 　 　． 5．（1）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是 　 　． 6．（2024秋•南昌期中）点A在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点B（﹣3，0）且平行于y轴． （1）写出点A关于y轴的对称点A1的坐标 　 　；点A关于直线l的对称点A2的坐标 　 　； （2）若平面直角坐标系中有一点P（m，n），其中m＞0，点P关于y轴的对称点为P1，点P1关于直线l的对称点为P2，求线段P1P2的长（用含m的式子表示）． 7．（2023秋•黄陂区期中）（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　； （2）直线l过点（1，0），且与x轴垂直，则点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是 　 　，点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是 　 ； （3）若点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称，求a+b的值． 题型四 点在坐标系中的平移 解题技巧提炼 由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 1．（2024秋•包河区月考）将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 2．（2024秋•舒城县校级月考）点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，1） C．（﹣6，7） D．（﹣6，1） 3．（2024春•南昌期中）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7） 4．（2023春•泗水县期末）在平面直角坐标系中，将点P（n﹣2，2n+4）向右平移m个单位长度后得到点的坐标为（4，6），则m的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．14 5．（2023秋•肥东县期末）在平面直角坐标系中有一点A（4，﹣2），将坐标系平移，使原点O移至点A，则在新坐标系中原来点O的坐标是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，2） D．（2，﹣4） 6．（2023春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣7，0） C．（2，9） D．（3，10） 7．（2023春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长 C．向下平移3个单位长度 D．向上平移5个单位长度 8．（2024秋•庐阳区校级月考）将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 　 　． 9．（2023春•阳新县期末）已知点P（2a，﹣3b），先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在原点上，则P点坐标为 　 　． 题型五 图形在坐标系中的平移 解题技巧提炼 1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 1．（2023春•播州区期中）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（2，0），“炮”位于点（﹣1，3）．则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点（　　） A．（4，2） B．（4，1） C．（4，4） D．（6，2） 2．（2023春•东莞市校级期中）如图A，B的坐标分别为（﹣2，1），（0，﹣1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 4．（2023秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是 （1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 　 　． 5．（2024春•金牛区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　 　． 6．（2024秋•金凤区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，若点A1的坐标为（3，1），则点B1的坐标为　 　． 7．（2024•湖南模拟）如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　． 8．如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的． （1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？ （2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？ 9．（2023春•平舆县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC，若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 题型六 在平面直角坐标系中平移作图 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点 的坐标，然后再描点连线画出图形. 1．（2023春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系． 已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； 2．（2023春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b） （1）三角形ABC向右平移　 　个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（　 　）：点P对应点P1的坐标为（　 　）（用含a、b的代数式表示）； （2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标． 3．如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上． （1）直接写出点A，B的坐标； （2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD； （3）直接写出点C，D的坐标． 4．（2023春•盘龙区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（　 　，　 　） B1（　　 ，　 　） C1（　 ，　 　） （3）求△ABC的面积． 5．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）． （1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请直接写出△ABC的面积； （3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出△A1B1C1内部所有的整点的坐标． 6．（2023春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）． （1）写出B、C两点的坐标； （2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1； （3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标． 7．四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）． （1）在平面直角坐标系中画出该四边形； （2）求四边形ABCD的面积； （3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 知识点一 对称点的坐标特征 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 知识点二 用坐标表示点的平移 ◆1、平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律： 将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 记忆技巧：左减右加，横变纵不变；上加下减，纵变横不变. ◆2、点的平移方式 ⇌点的坐标的变化 根据点平移的方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，根据点的横、纵坐标的变化情况，可以判断出点平移的方向和距离. 知识点三 用坐标表示图形的平移 ●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移. ★1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变. ★2、图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） ★3、图形沿“斜方向”进行平移： 把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移. 题型一 关于坐标轴对称的点的坐标特征 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2024秋•南海区期中）点A（5，﹣2）关于y轴对称的点坐标是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣2，5） 【分析】根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解． 【解答】解：点A（5，﹣2）关于y轴对称的点坐标是（﹣5，﹣2）， 故选：A． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 2．（2024秋•金水区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（3，m）和点B（n，2）关于x轴对称，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝﹣2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣3 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此即可求解． 【解答】解：∵点A（3，m）和点B（n，2）关于x轴对称， ∴m＝﹣2，n＝3， 故选：B． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点关于x轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 3．（2024春•铜仁市期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（﹣3，n），其关于y轴对称的点B的坐标为（m，2），则m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值即可得到答案． 【解答】解：∵A（﹣3，n），B（m，2）关于y轴对称， ∴m＝3，n＝2， ∴m﹣n＝3﹣2＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 5．（2024秋•福田区校级期中）在平面直角坐标系中任取一点P（a，b），点P关于x轴的对称点为P'，则点P'的坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：∵点P与点P'关于x轴对称， ∴点P'的坐标为（a，﹣b）． 故选：B． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 6．（2023春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：∵点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称， ∴N（﹣a，b）， ∴点N关于x轴对称的点的坐标是（﹣a，﹣b）． 故答案为：（﹣a，﹣b）． 【点评】此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 7．（2023春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质以及x轴上的点的坐标特点，分析得出答案． 【解答】解：∵点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上， ∴﹣4a+4＝0， 解得a＝1， 2a+1＝2×1+2＝3， ∴P点的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 8．（2024秋•金凤区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（a，﹣3）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a﹣b的立方根为 　 ． 【分析】依据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，解方程可得a，b的值，即可得到a﹣b的立方根． 【解答】解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+2）关于x轴对称， ∴a﹣3＝2，b+2＝﹣1， 解得：a＝5，b＝﹣3， ∴a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， ∴a﹣b的立方根为：2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，掌握点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）是关键． 9．（2024秋•昆都仑区校级期中）已知：点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023＝ 　 　． 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得m、n的值，代入（m+n）2023进行计算即可得答案． 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是关键． 10．（2024秋•诸城市校级月考）已知点A（2a﹣b，5+a）与点B（2b﹣1，﹣a+b），当a，b为何值时， （1）点A，B关于x轴对称； （2）点A，B关于y轴对称． 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵点A、B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得： ∴， 解得：， ∴a＝﹣8，b＝﹣5； （2）∵点A、B关于y轴对称，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可得： ∴， ， ∴a＝﹣1，b＝3． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 11．（2024秋•恩平市期中）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； （2）若A、B关于y轴对称，求（4a+b）2024的值． 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴a＝﹣8，b＝﹣5； （2）∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（4a+b）2024＝（﹣4+3）2024＝1． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12．（2024秋•高陵区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（x﹣3，y+2）与点B（5，3y﹣2）． （1）若点A与点B关于x轴对称，求x+y的值； （2）若AB∥x轴，且AB＝2，求A点的坐标． 【分析】（1）根据点A与点B关于x轴对称，得出x﹣3＝5，y+2＝﹣3y+2，然后求解即可得出答案； （2）分两种情况讨论，根据AB∥x轴，且AB＝2，得出A点的横坐标是3，y+2＝3y﹣2和A点的横坐标是7，y+2＝3y﹣2，然后求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵点A与点B关于x轴对称， ∴x﹣3＝5，y+2＝﹣3y+2， ∴x＝8，y＝0， ∴x+y＝8+0＝8； （2）当A点在B点的左边时， ∵AB∥x轴，且AB＝2， ∴A点的横坐标是3， y+2＝3y﹣2， ∴y＝2， ∴A（3，4）； 当A点在B点的右边时， ∵AB∥x轴，且AB＝2， ∴A点的横坐标是7，纵坐标还是4， 则A（7，4）． 综上所述：A（3，4）或（7，4）． 【点评】此题考查了关于x、y轴对称点的坐标，熟练掌握对称点的特点是解题的关键，注意分两种情况讨论． 题型二 在平面直角坐标系中作轴对称图形 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4）， C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1），然后描点； （2）由（1）可得到三个对应点的坐标． 【解答】解：（1）如图， （2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）． 【点评】本题考查了关坐标与图形﹣对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数． 2．（2023春•怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），c（﹣1，1）． （1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1； （2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换． 3．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可； （2）根据三角形的面积公式求解可得； （3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求； （2）△ABC的面积为：5； （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）． 【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点． 4．（2023春•覃塘区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣2），B（1，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC向上平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）请写出点C1、B2的坐标． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）由（1）、（2）得到点C1、B2的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1为所作的图形； （2）如图所示：△A2B2C2，为所作的图形； （3）C1（5，3），B2（﹣1，2）． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换．解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质． 5．（2023春•正定县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）根据平移的性质画出图形并根据点的位置可得坐标； （3）利用△A2B2C2所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求．， 其中A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）； （3）△A2B2C2的面积为3×3﹣1×32﹣2×24， 答：△A2B2C2 的面积为4． 【点评】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换等知识，准确画出图形是解题的关键． 6．（2023•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标； （2）根据平移的性质即可画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，进而可以写出点A2的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（4，5）； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣4，﹣1）； （3）由图可知S△ABC＝4×3﹣3×21×22×44． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 题型三 关于特殊直线对称的点的坐标特征 解题技巧提炼 1、点 (a,b) 关于过点 (k,0) 且垂直于 x 轴的直线（即直线 m ）对称的点 为(2k−a,b) . 2、 点 (a,b)关于过点 (0,k) 且垂直 y 轴的直线（即直线 n ）对称的点 为(a,2k−b). 1．（2024秋•郑州期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（　　） A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1） 【分析】根据关于直线x＝m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等解答． 【解答】解：点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标为（2m﹣1，2m﹣1）， 故选：D． 【点评】考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键． 2．（2023秋•浑南区期末）已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A．x轴 B．y轴 C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线 D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【解答】解：点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝4对称， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 【分析】利用轴对称的性质构建方程组求出a，b即可． 【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称， ∴， ∴， ∴a+b＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与同时变化﹣对称，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 4．（2024秋•东昌府区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），△ABC是关于直线y＝1的轴对称图形，则点B的坐标为 　 　． 【分析】根据轴对称的性质可知，点A和点B到y＝1的距离相等，是3个单位长度，且AB⊥x轴，据此即可获得答案． 【解答】解：根据题意，点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点， ∴它们到y＝1的距离相等，是3个单位长度，且AB⊥x轴， ∵点A的坐标为（4，4）， ∴点B的坐标是（4，﹣2）． 故答案为：（4，﹣2）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 5．（1）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是 　 　． 【分析】（1）求出点Q的坐标，可得结论． （2）利用轴对称的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称， ∴Q（﹣2，﹣3）， ∴a+b＝﹣5． 故答案为：﹣5． （2）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 6．（2024秋•南昌期中）点A在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点B（﹣3，0）且平行于y轴． （1）写出点A关于y轴的对称点A1的坐标 　 　；点A关于直线l的对称点A2的坐标 　 　； （2）若平面直角坐标系中有一点P（m，n），其中m＞0，点P关于y轴的对称点为P1，点P1关于直线l的对称点为P2，求线段P1P2的长（用含m的式子表示）． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出点A1的坐标；设点A2的坐标为（a，3），根据点A2与点A关于直线l对称即可得出a的值，进而得出结论； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点得出P1的坐标，设P2（x，n），求出x的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）点A（1，3）关于y轴的对称点A1的坐标为（﹣1，3）； ∵直线l经过点B（﹣3，0）且平行于y轴， 设点A2的坐标为（a，3）， ∵直线l经过点B（﹣3，0）且平行于y轴， ∴3， 解得a＝﹣7， ∴点A（1，3）关于直线l的对称点A2的坐标为（﹣7，3）； 故答案为：（﹣1，3），（﹣7，3）； （2）∵点P（m，n），其中m＞0，点P关于y轴的对称点为P1， ∴P1（﹣m，n）， 设P2（x，n）， ∵直线l经过点B（﹣3，0）且平行于y轴， ∴3， 解得x＝m﹣6， ∴P2（m﹣6，n）， ∴P1P2＝|m﹣6﹣（﹣m）|＝|2m﹣6|． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣对称，关于y轴对称的点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2023秋•黄陂区期中）（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　； （2）直线l过点（1，0），且与x轴垂直，则点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是 　 　，点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是 　 ； （3）若点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称，求a+b的值． 【分析】（1）利用点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）来求解； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）， 故答案为：（﹣2，﹣3）； （2）∵直线l过点（1，0），且与x轴垂直， ∴直线l为x＝1， ∵两个对称点到直线l的距离相等， ∴点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是（3，2），点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是（2﹣m，n）； 故答案为：（3，2），（2﹣m，n）； （3）∵点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称， ∴a，﹣a+2b＝a﹣b， 解得a＝﹣1.5，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣2.5． 【点评】本题考查了关于坐标与图形变化﹣对称，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 题型四 点在坐标系中的平移 解题技巧提炼 由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 1．（2024秋•包河区月考）将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 【分析】根据平移中点的变化规律即可解答． 【解答】解：点A′的坐标为（﹣3+4，2﹣4），即（1，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．（2024秋•舒城县校级月考）点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，1） C．（﹣6，7） D．（﹣6，1） 【分析】根据平移的规律，即可求解． 【解答】解：将点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得点P′（﹣4﹣2，4﹣3）即（﹣6，1）． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化—平移．关键是要掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（2024春•南昌期中）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7） 【分析】利用平移变换的规律解决问题． 【解答】解：点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标（﹣3，1）． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 4．（2023春•泗水县期末）在平面直角坐标系中，将点P（n﹣2，2n+4）向右平移m个单位长度后得到点的坐标为（4，6），则m的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．14 【分析】根据横坐标，右移加，左移减可得点P（n﹣2，2n+4）向右平移m个单位长度可得P′（n﹣2+m，2n+4），进而得到n﹣2+m＝4，2n+4＝6，再解方程即可． 【解答】解：∵点P（n﹣2，2n+4）， ∴向右平移m个单位长度可得P′（n﹣2+m，2n+4）， ∵P′（4，6）， ∴n﹣2+m＝4，2n+4＝6， 解得：n＝l，m＝5 故选：C． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 5．（2023秋•肥东县期末）在平面直角坐标系中有一点A（4，﹣2），将坐标系平移，使原点O移至点A，则在新坐标系中原来点O的坐标是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，2） D．（2，﹣4） 【分析】坐标系平移，原来的点相当于反向移动，根据平移中点的变化规律得出在新坐标系中原来点O的坐标是（﹣4，2）． 【解答】解：如图，在新坐标系中原来点O的坐标是（﹣4，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．作出图形更加形象直观． 6．（2023春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣7，0） C．（2，9） D．（3，10） 【分析】根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上， ∴m﹣2﹣2＝0， ∴m＝4， ∴点M（2，9）， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，正确地列出方程是解题的关键． 7．（2023春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长 C．向下平移3个单位长度 D．向上平移5个单位长度 【分析】根据平移规律分别求出平移后点的坐标，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：A、把点P（﹣2，﹣3）向上平移3个单位长度得到的点为（﹣2，0），不在第二象限，不符合题意； B、把点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到的点为（1，﹣3），不在第二象限，不符合题意； C、把点P（﹣2，﹣3）向下平移3个单位长度得到的点为（﹣2，﹣6），不在第二象限，不符合题意； D、把点P（﹣2，﹣3）向上平移5个单位长度得到的点为（﹣2，2），在第二象限，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 8．（2024秋•庐阳区校级月考）将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 　 　． 【分析】根据点（x，y）向左平移a个单位长度，得（x﹣a，y）；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得（x，y+b），即可． 【解答】解：设点P（x，y）， ∴点P（x，y）向左平移5个单位长度，得P（x﹣5，y）；点P（x﹣5，y）向上平移4个单位长度，得P（x﹣5，y+4）， ∵平移后点P′（0，1）， ∴x﹣5＝0，y+4＝1， 解得x＝5，y＝﹣3 ∴点P的坐标为（5，﹣3）， 故答案为：（5，﹣3）． 【点评】本题考查 坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的平移变换． 9．（2023春•阳新县期末）已知点P（2a，﹣3b），先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在原点上，则P点坐标为 　 　． 【分析】根据平移的规律：上加下减，左减右加，列出方程即可求解． 【解答】解：∵点P（2a，﹣3b），先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得P（2a﹣2，﹣3b﹣3），且改点恰好落在原点上， ∴2a﹣2＝0，﹣3b﹣3＝0， 解得a＝1，b＝﹣1． ∴2a＝2，﹣3b＝3， ∴P（2，3）． 故答案为：（2，3）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是利用平移的规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加，熟练掌握平移规律是解题的关键． 题型五 图形在坐标系中的平移 解题技巧提炼 1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 1．（2023春•播州区期中）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（2，0），“炮”位于点（﹣1，3）．则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点（　　） A．（4，2） B．（4，1） C．（4，4） D．（6，2） 【分析】根据“帅”位于点（2，0），“炮”位于点（﹣1，3），可得“马”的坐标，再根据平移的法则即可得答案． 【解答】解：根据“帅”位于点（2，0），“炮”位于点（﹣1，3），建立平面直角坐标系如图所示， ∴“马”的坐标是（4，2）， ∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点（4，2+2），即（4，4）． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标确定位置与坐标与图形变化﹣平移，正确得出原点的位置建立坐标系和掌握平移法则是解题关键． 2．（2023春•东莞市校级期中）如图A，B的坐标分别为（﹣2，1），（0，﹣1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由已知得出线段AB向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出a、b的值，从而得出答案． 【解答】解：由A（﹣2，1）的对应点A1的坐标为（a，3）知，线段AB向上平移了2个单位， 由B（0，﹣1）的对应点B1的坐标为（3，b）知，线段AB向右平移了3个单位， 则a＝﹣2+3＝1，b＝﹣1+2＝1， ∴a+b＝1+1＝2， 故选：B． 【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（2023秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解． 【解答】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'， ∴P'（m+2，n﹣1）． 故选：D． 【点评】本题考查了图形的变换﹣平移，解题的关键是先找到平移前后图形的几个关键点，观察对应点的坐标变化情况，从而得出所有坐标的变化情况． 4．（2023秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是 （1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 　 　． 【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标． 【解答】解：∵A（2，3）平移后得到点A′的坐标为（﹣1，4）， ∴向左平移3个单位，向上平移了1个单位， ∴B（1，﹣2）的对应点坐标为（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5．（2024春•金牛区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　 　． 【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【解答】解：∵点A（﹣2，0）的对应点C的坐标为（4，﹣3）， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴B（0，3）的对应点D的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（2024秋•金凤区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，若点A1的坐标为（3，1），则点B1的坐标为　 　． 【分析】首先根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C的横坐标加5，纵坐标﹣2即为点C1的坐标． 【解答】解：由A（﹣2，3）平移后点A1的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2， 则点C的坐标变化与A点的变化相同，故C1（2+5，0﹣2），即（7，﹣2）． 故答案为：（7，﹣2）． 【点评】本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律． 7．（2024•湖南模拟）如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　． 【分析】由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，得AC＝BE＝8﹣6＝2，由点A的坐标是（2，4），即可得点C的坐标为（4，4）． 【解答】解：由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE， 得AC＝BE＝8﹣6＝2， 由点A的坐标是（2，4）， 则点C的坐标为（4，4）． 故答案为：（4，4）． 【点评】本题主要考查了平移，解题关键是点的坐标变换规律． 8．如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的． （1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？ （2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？ 【分析】根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图， 所得的图案向右平移3个单位； （2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，所得的图案向下平移2个单位． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，是基础题． 9．（2023春•平舆县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC，若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）由算术平方根的非负性即可求出点A，B的坐标，根据平移规则可求出点C，D的坐标，进一步可求出S四边形ABDC； （2）确定S△PAB与点P坐标的关系即可求解． 【解答】解：（1）∵b﹣3≥0且3﹣b≥0， 解得：b＝3， ∴a＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点C，D， ∴C（0，2），D（4，2）， 由平移的性质可知四边形ABDC是平行四边形， ∴S四边形ABDC＝AB×OC＝[3﹣（﹣1）]×2＝8； （2）存在，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4），理由如下： 设点P（0，y）， 则， 解得：|y|＝4， 故y＝±4，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】本题考查了算术平方根的非负性、平移的性质、坐标与图形等知识点．掌握相关结论是解题关键． 题型六 在平面直角坐标系中平移作图 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点 的坐标，然后再描点连线画出图形. 1．（2023春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系． 已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； 【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）根据图示得出坐标即可； 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求： （2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）； 【点评】此题主要考查了坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键． 2．（2023春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b） （1）三角形ABC向右平移　 　个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（　 　）：点P对应点P1的坐标为（　 　）（用含a、b的代数式表示）； （2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标． 【分析】（1）根据坐标系可得答案； （2）根据点P平移后的对应点位置可得图形向右平移3个单位，向下平移4个单位，然后再确定A、B、C三点平移后的对应点位置，再连接即可． 【解答】解：（1）三角形ABC向右平移5个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为 （2，3）：点P对应点P1的坐标为（a+5，b）， 故答案为：5；（2，3）；（a+5，b）； （2）如图所示：A2（﹣1，3），B2（1，﹣4）． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的对应点位置． 3．如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上． （1）直接写出点A，B的坐标； （2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD； （3）直接写出点C，D的坐标． 【分析】（1）利用坐标系可得答案； （2）首先确定A、B两点平移后的位置，再连接即可； （3）利用坐标系可得答案． 【解答】解：（1）A（﹣2，3），B（﹣3，﹣3）； （2）如图所示： （3）C（3，3），D（2，﹣3）． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置． 4．（2023春•盘龙区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标； A1（　 　，　 　） B1（　　 ，　 　） C1（　 ，　 　） （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标； （3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）A1（﹣2，﹣3），B1（0，1），C1（﹣3，0）； 故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0． （3）如图可得： S△ABC＝S长方形EFGB﹣S△BEC﹣S△CFA﹣S△AGB ＝BE•EFEB•CECF•FAAG•BG ＝3×43×13×12×4 ＝5． 【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 5．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）． （1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请直接写出△ABC的面积； （3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出△A1B1C1内部所有的整点的坐标． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将△ABC分割成两个三角形进而得出答案； （3）直接利用所画图形得出符合题意的点． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）S△ABC3×13×2＝4.5； （3）△A1B1C1内部所有的整点的坐标为：（2，2），（2，1），（3，0）． 【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 6．（2023春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）． （1）写出B、C两点的坐标； （2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1； （3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标． 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出点B、C的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）根据三角形的面积求出C1D的长度，再分两种情况求出OD的长度，然后写出点D的坐标即可． 【解答】解：（1）B（﹣2，4），C（1，1）； （2）△A1B1C1如图所示； （3）△DB1C1的面积C1D×3＝3， 解得C1D＝2， 点D在C1的左边时，OD＝3﹣2＝1， 此时，点D（1，0）， 点D在C1的右边时，OD＝3+2＝5， 此时，点D（5，0）， 综上所述，点D（1，0）或（5，0）． 【点评】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 7．四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）． （1）在平面直角坐标系中画出该四边形； （2）求四边形ABCD的面积； （3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标． 【分析】（1）根据点的坐标作出图形； （2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可． 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求； （2）四边形ABCD的面积＝4×72×42×52×2＝17； （3）如图，四边形A′B′C′D′即为所求，A′（﹣1，﹣1），B′（5，﹣1），C′（6，1），D′（1，3）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$