培优提升九 平衡中的临界极值问题 讲义 -2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

高一物理必修一培优提升系列 培优提升九 平衡中的临界极值问题 【专题解读】 1.临界问题 (1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。 (2)问题特点 ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 (3)处理方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 2.极值问题 (1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 (2)处理方法 ①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 【典例剖析】 例1 一盏电灯重力为G，悬于天花板上的B点，在电线O处系一细线OA，使电线OB与竖直方向的夹角为β＝30°，OA与水平方向成α角，如图所示。现保持O点位置不变，使α角由0°缓慢增加到90°，在此过程中(　　) A.电线OB上的拉力逐渐减小 B.细线OA上的拉力先减小后增大 C.细线OA上拉力的最小值为G D.细线OA上拉力的最小值为G 答案　ABC 解析　对结点O受力分析，由平衡条件可知，细线OA和电线OB的拉力的合力F′一定竖直向上，与FT平衡。当α角由0°缓慢增加到90°的过程中，画出动态分析图如图所示。由图可看出，细线OA上的拉力先减小后增大，且当α＝30°时，FA最小，最小值为，而电线OB上的拉力逐渐减小，故A、B、C正确，D错误。 例2 (2024·安徽池州一中月考)如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m，重力加速度为g，砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，当砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足F＝mg＋2Ff，砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力Ffm＝μFN时，砖夹与砖块一侧间的压力的最小，为FNmin＝，C项正确。 【针对性训练】 1 . 如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　) A.0 B.90° C.60° D.45° 答案　C 解析　根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知β＝α＝60°，故C正确。 2 .如图所示，物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　　) A.150 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 答案　A 解析　物块沿斜面向上匀速运动，受力如图所示。 根据平衡条件 F＝Ff＋mgsin 30°① Ff＝μFN② FN＝mgcos 30°③ 由①②③式得 F＝mgsin 30°＋μmgcos 30° 所以m＝，当F取1 500 N时，对应的m最大。代入数据得m＝150 kg，故A正确。 3 .北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　) A.1.5 m B. m C.2 m D.2 m 答案　C 解析　设木棍与竖直方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力为F。为使木棍下端一定不发生侧滑，则有Fsin θ≤μFcos θ，即μ≥tan θ，由几何知识有tan θ＝，联立解得L≤2 m，即木棍的长度最多为2 m，故C项正确。 4 .如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　C　） A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力fAB＝μmgcos45°，B与木板之间的摩擦力f＝μ·3mgcos45°.隔离A分析受力，由平衡条件可得轻绳中拉力F＝fAB＋mgsin45°.对AB整体，由平衡条件有2F＝3mgsin45°－f，联立解得μ＝，选项C正确. 5 .[2022浙江1月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　B　） A.轻绳的合拉力大小为 B.轻绳的合拉力大小为 C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D.轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小 答案　B 解析　对石礅受力分析如图所示，设两根轻绳的合力为F，根据平衡条件有Fcosθ＝f，Fsinθ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝，选项A错误，B正确；上式变形得F＝， 其中tanα＝，根据三角函数特点，由于θ的初始值不知道，因此减小θ，轻绳的合拉力F并不一定减小，选项C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcosθ＝＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石礅的摩擦力不是最小的，选项D错误. 6 . [2024吉林长春质量监测]如图，质量为m的光滑球体夹在竖直墙壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体与水平地面间的动摩擦因数μ为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　A　） A. B. C. D. 答案　A 解析　对光滑球体受力分析，如图1所示，则由平衡条件有N1＝N2sinθ，mg＝N2cosθ，联立解得N1＝mg，对光滑球体与斜面体组成的整体受力分析，如图2所示，则由平衡条件有N1＝μN3，3mg＝N3，联立解得μ＝，A正确. 7 如图所示为两个挡板夹一个小球的纵截面图，每个挡板和竖直方向的夹角均为θ.挡板与小球间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球静止不动.小球的质量为m，与两挡板之间的动摩擦因数均为μ（μ＜tanθ），重力加速度为g.则每个挡板的弹力N的范围为多少？ 答案　≤N≤ 解析　挡板对小球的弹力最小时，小球受到的摩擦力方向沿挡板向上，如图所示，小球受力平衡，由平衡条件得2Nminsinθ＋2fmaxcosθ＝mg，此时的最大静摩擦力fmax＝μNmin，联立解得Nmin＝；挡板对小球的弹力最大时，小球受到的摩擦力沿挡板向下，由平衡条件得2Nmaxsinθ＝2f'maxcosθ＋mg，此时的最大静摩擦力f'max＝μNmax，联立解得Nmax＝；则每个挡板弹力N的取值范围为≤N≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一物理必修一培优提升系列 培优提升九 平衡中的临界极值问题 【专题解读】 1.临界问题 (1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。 (2)问题特点 ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 (3)处理方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 2.极值问题 (1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 (2)处理方法 ①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 【典例剖析】 例1 一盏电灯重力为G，悬于天花板上的B点，在电线O处系一细线OA，使电线OB与竖直方向的夹角为β＝30°，OA与水平方向成α角，如图所示。现保持O点位置不变，使α角由0°缓慢增加到90°，在此过程中(　　) A.电线OB上的拉力逐渐减小 B.细线OA上的拉力先减小后增大 C.细线OA上拉力的最小值为G D.细线OA上拉力的最小值为G 例2 (2024·安徽池州一中月考)如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m，重力加速度为g，砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是(　　) A. B. C. D. 【针对性训练】 1 . 如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　) A.0 B.90° C.60° D.45° 2 .如图所示，物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　　) A.150 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 3 .北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　) A.1.5 m B. m C.2 m D.2 m 4 .如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　　） A. B. C. D. 5 .[2022浙江1月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　　） A.轻绳的合拉力大小为 B.轻绳的合拉力大小为 C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D.轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小 6 . [2024吉林长春质量监测]如图，质量为m的光滑球体夹在竖直墙壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体与水平地面间的动摩擦因数μ为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　） A. B. C. D. 7 如图所示为两个挡板夹一个小球的纵截面图，每个挡板和竖直方向的夹角均为θ.挡板与小球间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球静止不动.小球的质量为m，与两挡板之间的动摩擦因数均为μ（μ＜tanθ），重力加速度为g.则每个挡板的弹力N的范围为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$