第1章空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1章空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 5．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 7．给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B．若，则点是线段的中点 C．若，则A，，，四点共面 D．若平面，的法向量分别为，，且，则 8．如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度可能为（   ） A．1 B． C． D． 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹是一个圆 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12．已知，若，则的值为 . 13．已知正方体的棱长为2，点为底面内的动点（不含边界），，则的最小值为 14．如图在平行六面体中，，.则直线和夹角的余弦值为 .    四、解答题 15．如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 16．如图，已知四棱锥中，平面，，，是边长为的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 18．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 19．在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.    (1)已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）； (2)建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值. 提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径； ②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A C D C C BC AC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即得. 【详解】向量，， 由，得， 所以. 故选：D. 2．A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．D 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 4．A 【分析】由横坐标不变，纵、竖坐标变成相反数可得． 【详解】点关于轴对称的点是， 故选：A． 5．C 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 6．D 【分析】根据空间的基底概念逐一判断即得. 【详解】对于A，由，可知共面，故不能作为基底，即A错误； 对于B，由，可知共面，故B错误； 对于C，由，可知共面，故C错误； 对于D，因为不存在，使得，所以不共面，即可以作为基底，故D正确. 故选：D. 7．C 【分析】对于A，根据基底向量的定义分析判断；对于B，根据线性运算可得，即可得结果；对于C，根据四点共面的结论分析判断；对于D，可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故A正确； 对于选项B：因为，即， 可得，所以M为AB中点，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以A，，，四点不共面，故C不正确； 对于选项D，平面α，β的法向量分别为，， 当时，则， 可得，解得，故D正确； 故选：C. 8．C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 9．BC 【分析】根据题意，以A为原点，AD为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设P，把PQ转化为，利用二次函数求最小值. 【详解】如图所示，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 、设P，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以.    故选：BC. 10．AC 【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解. 【详解】由，，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，，得，解得，C正确； 对于D，由且，得，无解，D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】根据二面角的几何法可得其平面角为，即可求解A，根据勾股定理可得，即可求解C，建立空间坐标系，即可根据向量垂直判断B，根据向量的夹角即可得求解D. 【详解】对于A,连接相交于，连接, 由于且，故 因此为二面角的平面角，故,故A错误， 对于C：在正方体中，平面，平面，所以， 故，则有， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故选项C正确； 对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为,平面，故平面， 因为，则平面，故在上， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为点的轨迹是线段，设，则,,， 则,0,，,0,，,0,，,2,，,， 则,,，,故， 进而可得，故，B正确， 又,0,，,2,，,,， 设平面的一个法向量为,,， 则有，即， 令，则，， 故平面的一个法向量为,1,， 设与平面所成的角为， 则,， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确． 故选：BCD． 12．5 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此， 即可得， 所以. 故答案为：5 13． 【分析】建立空间坐标系，利用点的坐标对称，结合向量的坐标运算，根据共线可得，即可得求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，作出关于平面对称的点， 连接交平面于，设， 则，则，， 故， 由于在平面，故，则， 此时，，满足， 故的最小值为. 故答案为： 14． 【分析】根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】设，则为空间的一个基底， 且，因为，， 则， 则， 则， ，即， ，即， 设直线和夹角为，则， 故答案为： 15．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，得到，，计算得到，即证明； （2）先写出坐标，再求出平面ABE的法向量，验证可知∥，即证明平面； （3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案. 【详解】（1）因为底面， AB， 平面ABCD，所以，， 又 故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，， 所以，所以． （2）由（1），得． 设向量是平面的法向量，则，即， 取，则，所以，所以， 所以平面． （3）（3）由（2）可知平面ABE的法向量，， 设C点到平面ABE的距离为d，则. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）解：如图，连接、、， 因为点在平面内的投影恰好是的中心， 且是边长为的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥， 因为为等腰直角三角形，则， 取的中点，连接，则， 因为，，，所以，， 所以，四边形是矩形，则， 又因为，则， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 又，设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2) 【分析】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系    得,,,, 所以, 所以点到直线的距离为 （2）设平面的一个法向量为 由（1）可知,, 易知 令，得 所以 所以点到平面的距离为 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点P到平面ABCM的距离最大，利用勾股定理求解即可； （2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到； （3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值即可. 【详解】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用球的体积公式和求解即可； （2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）球体体积，半圆面积， 设几何重心到圆心的距离为， 由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为， 运用巴普斯定理有：，解得， 代入即； （2）球心为， 球面方程为， 又，在球面上，故. 切面的法向量为， 则切面方程为： ： ， 代入得到：， 于是， 设点到平面的距离为， ， 运用等体积法：设的面积为， ， ， （当且仅当同时，即取等）， 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（1）问将半圆旋转一周后得到球体，半圆的几何重心运动的轨迹长度即为以圆心为半径，以几何重心到圆心的距离为半径的周长；第（2）问利用空间向量结合基本不等式求最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$