2025年中考数学专项复习：数形结合之几何图形中的一元一次方程 专项练习

数形结合之几何图形中的一元一次方程中考专项练习 一、解答题 1．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 2．小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 3．已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 4．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且与点的距离是14个单位长度．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数为_________，点表示的数为__________（用含的代数式表示）； (2)若点在数轴上，且与点的距离是4个单位长度，则点表示的有理数是__________； (3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，求： ①当为何值时，点与点重合？ ②直接写出运动多少秒时，点与点之间的距离为3个单位长度？ 6．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，点C表示数5，点A到点B的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．例如：． (1)求线段的长； (2)以数轴上某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且，求点D表示的数； (3)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过t秒时，．求出t的值． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 8．如图，数轴上三点A，B，C对应的数分别为，0，2，点D 为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)A，B两点之间的距离为 ，A，C两点之间的距离为 ； (2)若A，D两点之间的距离为6，求x的值． (3)若在该数轴上，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度也沿数轴正方向运动.多少秒后P，Q两点之间的距离为1? 9．如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ． (2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 10．如图（1），在数轴上的点A，B，C依次表示的数为a，b，4．其中a为方程的解． (1)求a的值． (2)为了求点B对应用的数b，小明同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点B，发现点A对齐刻度，点C对齐刻度，求b的值． (3)在（2）的条件下，点D是射线上的点（点D不与点A、点B、点C重合），点D表示的数为t，若，求t值． 11．工人将一个长方形纸块进行切割，得到如图所示的3个长方形，其中，，，．      (1)如图1，若长方形与长方形的周长相等，请用含的代数式表示的长度和长方形的周长； (2)如图2，将长方形按照虚线继续切割成两个小长方形分别作为一个长方体的上、下底面，将长方形折叠为这个长方体的侧面，若，请求出此长方体的体积． 12．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 13．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．    (1)填空： ， ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数； (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A，B两点之间上，且的值始终是一个定值，求此时m的值． 14．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 15．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 16．如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 17．如图，、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)请写出与、两点距离相等的点所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是多少？ (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度也向左运动，当经过多少秒时两只蚂蚁相距个单位长度？ 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示4与的两点之间的距离是 ． (2)若，则 【操作】在纸上画了一条数轴进行以下操作：对折纸面，使1与重合，，则折痕落在数轴上的数为． (3)若表示3的点和表示的点重合，则折痕落在数轴上的数为 ； (4)在（3）的条件下解决下列问题： ①求表示10的点与数轴上哪个点重合？ ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2024且A，B两点经对折后重合，求点A与点B表示的数． 【拓展】 (5)如图2，点A、点B、点C表示的数分别为、4、5，若动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，其他条件不变，则当时，求点P运动的时间．（直接写出结果） 19．如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．    (1)当时，_________；当时，_________． (2)当点P和点Q相遇时，求t的值． (3)当时，用含t的代数式表示S． (4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 20．综合与实践 【问题情境】 如果数轴上两点A，B对应的数分别为m，n，那么A，B两点之间的距离为，即．数轴上，点C在点A，B之间且到点A，B两点的距离相等，点C称为A，B两点的平均数点．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，如图： 【解决问题】 （1）______，______，线段的长是______． 【尝试探究】 （2）数轴上两点A，B之间有一点P，现以点P为折点将数轴折叠，使点A落在数轴上的对应点为，且点到点B的距离为5，则P点表示的数是______． 【观察探究】 （3）若数轴点A右侧上有一点M，使得线段，求点M所对应的数． 【深入探究】 （4）有一动点G从点A出发，以3个单位长度每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位长度每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点E为线段的平均数点，点F为线段的平均数点，在G，H的运动过程中，点G，H两点之间的距离为______，E，F两点之间的距离是______．（用含t的代数式表示） 21．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示，． 【问题解决】 （1）已知，则x的值为________． （2）代数式的最小值为________． （3）代数式的最大值为________． （4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为，若的值是一个定值，试确定m的值． 22．如图，已知，射线平分，射线平分．若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)3 (2)或5 (3)或0或1或2 (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式求解即可； （2）分x在2左边和x在2右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可； （3）首先得到表示x到2的距离加上x到的距离等于3，然后结合（1）得到x在和2之间，进而求解即可； （4）首先得到点P表示的数为t，然后表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴和2之间的距离为3； （2）解：若x与2的距离为3， ∴当x在2左边时，； 当x在2右边时，； （3）解：表示x到2的距离加上x到的距离等于3 ∵由（1）可得，和2之间的距离为3 ∴当x在和2之间时， ∴满足条件的所有整数x为或0或1或2； （4）解：根据题意得，点P表示的数为t ∵，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动， ∴， ∵ ∴ ∴或 解得或． 2．(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 3．(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 4．(1) (2)或 (3)①；②存在， 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是， ∴A、D间距离是，B、C间距离是， ∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：①当运动时间为t秒时， 点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A、B间的距离， 点A、C间的距离， 当点A到点B、点C的距离之和是40时， ， ∴； ②∵，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 5．(1)； (2)或 (3)①2；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）分点D在点B左边和右边两种情况，利用数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）①由题意可得点Q表示的数为，点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得．②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据数轴上两点距离计算公式得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8， ∴， ∵A，B两点间的距离为14， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的路程为， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：点在数轴上，且与点的距离是4个单位长度， ∴当点D在点B右边时，点D表示的数为， 当点D在点B左边时，点D表示的数为， ∴点D表示的数为或； 故答案为：或； （3）解：①∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． 当点P与点Q相遇，点P与点Q表示的数相同，则， 解得：， ∴当点P运动2秒时，点P与点Q相遇； ②当点P与点Q间的距离为3个单位长度时，则， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 6．(1)8 (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和数轴． （1）用点C表示的数减去点A表示的数就是线段的长； （2）根据对折后的长度和点C表示的数求出对折后的点A表示的数，然后根据对折的性质求出折点D所表示的数； （3）分两种情况：①点C在点A右边；②点A在点C右边．每种情况下根据与之间的数量关系分别求出t值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点C表示数5， ∴； （2）解：∵点A以点D为折点向右对折后点A在点C的右边，且， ∴对折后的点A表示的数为， ∴点D表示的数为； （3）解：∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发， ∴t秒时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， ①当点C在点A右边时，， ∵， ∴， 解得：； ①当点A在点C右边时，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：t的值为或． 7．综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 8．(1)3，5 (2)或3 (3)运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1 【分析】考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离． （1）根据两点间的距离公式解答； （2）根据两点间的距离公式列出方程并解答； （3）根据两点间的距离公式列出方程并解答． 【详解】（1）解：A，B两点之间的距离为：， A，C两点之间的距离为：， 故答案为：3，5； （2）解：点D可以在点A的左侧或右侧，所以分两种情况： 当点D在点A的左侧时，则，解得：； 当点D在点A的右侧时，则，解得：； ∴x的值为或3； （3）解：设运动t秒后P，Q两点之间的距离为1，则动点P表示的数为t，动点Q表示的数为， 分两种情况： 当动点P在动点Q的左侧时，， 解得：； 当动点P在动点Q的右侧时，， 解得：； ∴运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1． 9．(1)，8 (2)或9 (3) 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用． （1）根据与互为相反数，利用非负数的性质求出与的值； （2）表示出点，点对应的数得、两点之间的距离为，解方程即可； （3）甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，即， 又∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，8； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 则、两点之间的距离为， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，当或9时，使得、两点之间的距离为6； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ，，， ， 化简得； ∴与的关系式为． 10．(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离，一元一次方程的基本应用等知识点，能够对第三问进行分类讨论是解题关键． （1）直接解方程即可； （2）先通过刻度尺的度数得到，再通过数轴上的点之间的距离，列出方程解方程即可； （3）先用代数式表示出，，再对进行分情况讨论，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：∵由题意可知，， ∴， ∴， 在数轴上， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵表示的数为，且点D是射线上的点， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，方程变为：，解得， 当时，方程变为：，解得， ∴的值为或． 11．(1),长方形的周长； (2)长方体的体积． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，长方体的展开图等知识点， （1）由周长相等可得，代入周长公式即可得解； （2）由确定长方体的展开图，由得出a的值，进而即可求出长方体的体积； 找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）∵长方形与长方形的周长相等， ∴， ∵，, ∴， ∴, ∴长方形的周长； （2）∵， ∴所围成的长方体展开图为： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴所围成的长方体如图所示， ∴长方体的体积． 12．(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 13．(1) (2)或20 (3) 【分析】（1）根据绝对值的非负性，偶次方的非负性求出a，b的值； （2）设点C表示的数为c，分三种情况分别建立方程求解； （3）分点D向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出的值的式子，整理后使得t的系数为0即可求得结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 解得， 故答案为：； （2）解：设点C表示的数为c，则 ， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得， 所以点C表示的数为或20； （3）解：①当点D从原点向左运动时， ， 因为的值始终是一个定值． 所以． 则． 所以D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时． ， 因为的值始终是一个定值． 所以． 所以． 因为． 所以此种情形不存在． 综上，D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 【点睛】本题主要考查了数轴、列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 14．(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 15．(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）设，则，，列方程即可求得． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． （2）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 16．(1) (2)或 (3)点，对应的数分别为，或， (4)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴， （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）因为，因此点不可能在点、之间，所以分两种情况进行解答，即点在点的左侧，在点的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设移动的时间为，用含有的代数式表示移动后点、所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数； （4）分，，，，五种情况进行讨论求解即可； 解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1）解：∵点所对应的数是，点在点的右边， ∴， ∴点所对应的数是； （2）∵， ∴点不可能在点、之间， 当点在点的左侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：； 当点在点的右侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：， ∴当点到点，的距离之和是个单位时，点所对应的数是或； （3）点从点向左移动后所对应的数为：， 设点移动的时间为，则点所对应的数为，点所对应的数为， ①当点在点的右侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； ②当点在点的左侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； 答：当，两点相距个单位长度时，点，对应的数分别为，或，； （4）∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为； ∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为， 又∵，两点第一次相遇所需时间为：， 当点到达点时，点表示的数为：，点P和点Q第二次相遇所需时间为：， ①，两点第一次相遇前，相距个单位长度，即当时： 得：， 解得：； ②，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ③点从点返回，点未到点时，即， ，不符合题意； ④点从点返回，点从点返回，第二次相遇前，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ⑤，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； 综上所述，点、距离为时的值为秒或秒或秒或秒． 17．(1) (2)点C对应的数是； (3)经过秒或秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设两只电子蚂蚁经过t秒相遇，根据题意得，两只电子蚂蚁秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设运动时间为x秒，两只电子蚂蚁秒，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：30； （2）解：设两只电子蚂蚁经过t秒相遇，根据题意得，两只电子蚂蚁秒后，所在位置表示的数分别为：；， ∴ 解得， ∴， 答：点C对应的数是； （3）解：设运动时间为秒，两只电子蚂蚁秒后，所在位置表示的数分别为：；， ∴， 解得或， 答：经过秒或秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 18．(1)7 (2)1或 (3) (4)①；②点A表示的数为，点B表示的数为 (5)2秒或秒 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题、解一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据题意可得方程或，求出x的值即可； （3）利用中点公式求解即可； （4）①根据（3）中求出的折痕点，列一元一次方程求解；②设点A表示的数为x，点B表示的数为，列一元一次方程求解即可； （5）运动时间为t秒时，点P表示的数是：，用含t的式子表示出点P与点A、点B、点C的距离，根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4与的两点之间的距离是：， 故答案为：7； （2）解：若，即， 则或， 解得或， 故答案为：1或； （3）解：若表示3的点和表示的点重合，则折痕落在数轴上的数为：， 故答案为：； （4）解：①设表示10的点与数轴上表示x的点重合， ， 解得， 即表示10的点与数轴上表示的点重合； ②设点A表示的数为x，点B表示的数为， 则， 解得，， 即点A表示的数为，点B表示的数为． （5）解：由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数是：， 则，，， 当时，， 即， 或， 解得或， 故点P运动的时间为2秒或秒． 19．(1)； (2) (3) (4)或或 【分析】（1）先根据和求出，，再求出的值即可； （2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可； （3）分两种情况进行讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，根据三角形面积公式求出结果即可； （4）分三种情况讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，当，点Q从点B向点C运动的过程中，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴． （2）解：， 解得：， 即当点P和点Q相遇时，t的值为． （3）解：当，即、Q相遇前， ， ∴； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， ∴； 综上分析可知：． （4）解：四边形的面积为， ∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：， 当，即、Q相遇前， ， 则， 解得：； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得：； 当，点Q从点B向点C运动的过程中， ， 则， 解得：； 综上分析可知：当或或时，以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键． 20．（1），，15；（2）0或5； （3）5或25；（4），． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用： （1）根据多项式的定义解答，即可求解； （2）先求出点对应的数为5或15，再根据折叠，即可求解； （3）设点M所对应的数为x，分两种情况：当点M在点A，B之间时，当点M在点B的右侧时，即可求解； （4）根据题意得：点G对应的数为，点H对应的数为，再由，可得点H始终在点G的右侧，再根据两点之间的距离，平均数点的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴， ∴， ∴线段的长是； 故答案为：，10，15； （2）∵点到点B的距离为5，点B对应的数为10， ∴点对应的数为5或15， ∵点P为折点将数轴折叠，使点A落在数轴上的对应点为，点A对应的数为， ∴点P对应的数为或； （3）设点M所对应的数为x， 当点M在点A，B之间时， ∵， ∴， 解得：； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，点M所对应的数为5或25； （4）根据题意得：点G对应的数为，点H对应的数为， ∵， ∴点H始终在点G的右侧， ∴点G，H两点之间的距离为， ∵点E为线段的平均数点，点F为线段的平均数点， ∴点E对应的数为，点H对应的数为， ∴E，F两点之间的距离是． 故答案为：． 21．（1）或（2）3（3）16（4）的值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）分3种情况进行讨论求解即可； （2）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，进而得到当在和之间时，最小，为数轴上数到数的距离，求解即可； （3）表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （4）时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】解：（1）当时，不符合题意； 当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 故当在和之间时，最小，最小值为：； 故答案为：3； （3）表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （4）点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 22． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的定义等知识点，弄清楚各角之间的关系成为解题的关键． 设，由角平分线的定义可得，进而得到；再运用角平分线的定义可得，最后根据列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， ∵射线平分， ∴． ∵， ∴． ∵射线平分， ∴． 又∵， ∴，解得，即的度数为． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$