重庆市南坪中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C A C A B D 9 10 11 12 13 14 CD ACD CD 0 开闭都对 15．【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）当时，可得集合，， 所以，. ，. （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上实数的取值范围是. 16．【答案】(1)，.(2)9 【详解】（1）由题意：是方程的根，所以. 因为是方程的另外1根，所以 （2）由题意：（，） 所以：（当且仅当即时取“”）. 17．【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19．【答案】(1)证明见解析，函数的值域为 (2)①；②或 【详解】（1）解：由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 所以， ， 因为，所以，所以，所以， 又，所以函数的值域为； （2）解：①由（1）得，则， 令，则，对称轴为， 当时，则，所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，； ②因为， 所以， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单选题（每小题5分） 1．若集合,集合,,则 A． B． C． D． 【答案】C 2．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知函数，（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 7．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为的定义域为，且， 可知函数为奇函数， 当，则， 且的开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增， 若，则， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确； 函数的值域是，②正确； 为有理数，则当时，，当时，，故，③正确； ，，，故，，构成等边三角形，故④正确； 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．若，则 C．命题“，”是假命题 D．函数是偶函数，且在上单调递减. 【答案】CD 【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项. 【详解】A选项：命题“，”的否定是“，”，A选项错误； B选项：当，时，满足，但不成立，B选项错误； C选项：当时，满足，此时，不满足，所以命题“，”是假命题，C选项正确； D选项：因为，所以是偶函数， 当时，设，则， 所以， 所以在上单调递减,故D正确； 故选：CD. 10．下列选项中正确的有（    ） A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【详解】对A，设，则， 即，解得或，故A正确； 对B，定义域为，定义域为， 所以不是同一函数，故B错误； 对于C，，函数， 当且仅当，即时取等号，因此函数的值域为，D正确. 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得， 所以，故正确. 11．下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【答案】CD 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故B错误； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 三、填空题 12．已知集合，若，则实数 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 13．已知函数，则的单调增区间为 【答案】（开闭都对） 【分析】将函数改写成分段函数，再画出函数图象，结合函数图象即可判断； 【详解】解：因为函数， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为； 故答案为：（开闭都对） 14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合，． (1)当时，求，，； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据集合交集、并集和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，可得集合，， 所以，. ，. （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上实数的取值范围是. 16．已知关于x的不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)9 【分析】（1）问题转化为，是方程的两个不同的根求解. （2）根据基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】（1）由题意：是方程的根，所以. 因为是方程的另外1根，所以 （2）由题意：（，） 所以：（当且仅当即时取“”）. 17．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 18．已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19．已知函数. (1)证明：，并求函数的值域； (2)已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 【答案】(1)证明见解析，函数的值域为 (2)①；②或 【详解】（1）解：由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以， 又，所以函数的值域为； （2）解：①由（1）得， 则， 令， 则， 对称轴为， 当时，则， 所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，； ②因为， 所以， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上，或. 试卷第8页，共12页 试卷第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024-2025学年上期高一年级期中考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 试卷第 1页，共 4页 2024-2025 学年上期高一年级期中考试 数学试题 （满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置。 2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的 四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位 置上. 1．若集合  1, 2,3, 4U  ,集合  1, 2A  ,  2,3B  ,则 A ∪(CUB)=（ ） A． 2 B． 1,3 C． 1, 2, 4 D． 1,2,3 2．“0 2x  ”是“ 1 3x   ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 0a b  ， d c ，则（ ） A． 0ac bd  B． ac bd C． a c b d   D． 0a c b d    4．已知函数 2 1 1, 1 ( ) 1 , 1 1 x x f x x x         ， ( (2))f f （ ） A． 1 5  B． 1 5 C． 1 D．1 5．函数    01 1 3 2 xf x x x      的定义域为（ ） A． 2 , 3      B．  2 ,1 1, 3     C．  2 ,1 1, 3       D． 2 , 3    6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产 线生产的产品可获得的利润 s（单位：万元）与生产线运转时间 t（单位：年）满足二次函 数关系： 22 40 98s t t    ，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间 t为（ ） 年． 试卷第 2页，共 4页 A．7 B．8 C．9 D．10 7．已知函数    4f x x x  ，且    2 2 3 0f a f a   ，则实数 a的取值范围是（ ） A．  3,0 B．  3,1 C．  1,1 D．  1,3 8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数� � = 1, � ∈ �0, � ∈ CRQ 被称为狄利克雷函数，其中 R为实数集，Q为有理数集，以下关于狄利克雷函数  f x 的四 个结论中，正确的个数是( )个. ①函数  f x 偶函数； ②函数  f x 的值域是 0,1 ； ③若 0T  且T 为有理数，则 ( ) ( )f x T f x+ = 对任意的 x R 恒成立； ④在  f x 图象上存在不同的三个点A， B，C，使得∆ABC为等边角形. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分， 有选错的得 0分. 9．下列说法正确的有（ ） A．命题“ 1x  ， 2 0x x  ”的否定是“ 1x  ， 2 0x x  ” B．若 a b ，则 2 2ac bc C．命题“ Zx  ， 2 0x  ”是假命题 D．函数 2 1y x  是偶函数，且在  0,  上单调递减. 10．下列选项中正确的有（ ） A．已知函数  f x 是一次函数，满足    9 8f f x x  ，则  f x 的解析式可能为   3 4f x x   B． | |( ) xf x x  与 1, 0 ( ) 1, 0 x g x x     表示同一函数 C．函数 ( ) 2 4 1f x x x   的值域为 ( ,4] D．定义在R 上的函数 ( )f x 满足 2 ( ) ( ) 1f x f x x    ，则 ( ) 1 3 xf x   11．下列命题中正确的是（ ） 试卷第 3页，共 4页 A．若 0a  ， 0b  ，2 1a b  ，则ab的最大值为 2 4 B．已知 0a  ， 0b  ，3 2a b  ，则 1 2 a b a b    的最小值是 2 2 2 C．若 0ab  ，则 4 44 1a b ab   的最小值为 4 D．若 0a  ， 0b  ， 3 1 1 3 2a b a b     ，则 2a b的最小值为 16 5 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知集合  21, 2, 1A a a a    ，若 1 A  ，则实数a  13．已知函数 ( ) 2f x x x x   ，则 ( )f x 的单调增区间为 14．若定义在 ( ,0) (0, )  上的函数  f x 同时满足；①  f x 为奇函数；②对任意的 1x ， 2 (0, )x   ，且 1 2x x ，都有 x f x x f x x x    2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 .则称函数  f x 具有性质 P.已知函数  f x 具有性质 P，则不等式 2( 4)( 2) 2 f xf x x     的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15．已知集合  2 7|A x x    ，  | 1 2 1B x m x m     ． (1)当 4m  时，求 A B ， A B ，A ∩(CRB)； (2)若 A B B ，求实数 m的取值范围． 16．已知关于 x的不等式 2 20 0x mx   的解集为 2|x x n   ． (1)求 m，n的值； (2)正实数 a，b满足 2na mb  ，求 1 1 5a b  的最小值． 试卷第 4页，共 4页 17．已知幂函数    2 15 7 mf x m m x    为偶函数． (1)求  f x 的解析式；(2)若     3g x f x ax   在 1,3 上是单调函数，求实数 a的取值范围． 18．已知函数   3 1 xf x x x    . (1)证明：函数  f x 是奇函数； (2)用定义证明：函数  f x 在  0,  上是增函数； (3)若关于 x的不等式    2 3 1 0f ax ax f ax    对于任意实数 x恒成立，求实数 a的取值范 围. 19．已知函数      2 , 2f x x x g x x x     . (1)证明：    2 2 2f x g x  ，并求函数  f x 的值域； (2)已知 a为非零实数，记函数      x xh f g xa  的最大值为  m a . ①求  m a ；②求满足   1m a m a       的所有实数 a . 2024-2025学年上期高一年级期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置。 2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．若集合,集合,,则()=（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，（    ） A． B． C． D．1 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 7．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．若，则 C．命题“，”是假命题 D．函数是偶函数，且在上单调递减. 10．下列选项中正确的有（    ） A．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 11．下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知集合，若，则实数 13．已知函数，则的单调增区间为 14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，． (1)当时，求，，()； (2)若，求实数m的取值范围． 16．已知关于x的不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)正实数a，b满足，求的最小值． 17．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 18．已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)证明：，并求函数的值域； (2)已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 试卷第10页，共12页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$