第06讲 正多边形与圆（四类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第06讲 正多边形与圆（六大题型） 学习目标 1、 了解正多边形的有关概念，如中心角、边心距等； 2、 学会计算正多边形的中心角、边心距； 3、掌握正多边形与圆的综合应用． 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练1】正十边形的中心角等于 度． 【即学即练2】已知正三角形的边心距为，那么它的边长为 ． 【即学即练3】正十二边形的中心角是 度． 【即学即练4】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【即学即练5】如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于 ． 题型1：分析正多边形与圆的有关概念 【典例1】．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 【典例2】．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是 ，半径是 ，边心距是 ，它的每一个内角是 ．正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等． 题型2：中心角 【典例3】．正十边形的中心角是（   ） A．18° B．36° C．72° D．144° 【典例4】．正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为 ． 【典例5】．正八边形的中心角等于 度． 【典例6】．正十二边形中心角的余弦值为 ． 【典例7】．正二十四边形中心角的余弦值为 ． 题型3：根据中心角求边数 【典例8】．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例9】．如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ． 题型4：边心距 【典例10】．边长为3的正六边形的边心距为 【典例11】．一个正多边形的中心角为，则它的半径与边心距之比和对角线条数与一个外角度数之比的乘积为 ． 【典例12】．已知一个正多边形的外角为，他的边心距为2，则它外接圆的面积为 【典例13】．已知正六边形的边心距为3，那么它的边长为 ． 【典例14】．半径为6的圆内接正三角形的边心距为 ． 【典例15】．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ． 题型5：正多边形与圆综合 【典例16】．在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为 【典例17】．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    【典例18】．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为 ． 【典例19】．如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1） ． （2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ． 题型6：解答题 【典例20】．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【典例21】．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 【典例22】．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 一、单选题 1．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 2．已知正六边形的边心距为，则它的半径为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 3．下列正多边形中，中心角等于内角的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形 4．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A． B． C． D． 5．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 6．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（    ） A． B． C． D． 7．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）． A． B． C． D． 8．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（　　） A．2， B．2 ，π C．， D．2， 10．如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度． 12．正八边形的半径为6，则正八边形的面积为 ． 13．已知一个正多边形的外角为，他的边心距为2，则它外接圆的面积为 14．若一个正多边形无对角线，则这个正多边形外接圆直径与自身边长之比为 15．对角线条数和边数相同的正多边形的中心角的余弦值为 16．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 17．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 18．中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当时，，当时，   ．（结果精确到0.01，参考数据：，） 三、解答题 19．如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 20．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 21．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$品学科网 帮课堂·学与练 WWW.ZXXK.COM 学科网原创，让学习更容易！ 第06讲正多边形与圆（六大题型) 01 学习目标 学习目标 1、了解正多边形的有关概念，如中心角、边心距等： 2、 学会计算正多边形的中心角、边心距： 3、 掌握正多边形与圆的综合应用. 02 思维导图 1.正多边形的概念 2.正多边形的重要元素 知识点 3.正多边形的性质 4正多边形的画法 正多边形与圆 题型1：分析正多边形与圆的有关概念 题型2：中心角 题型3：根据中心角求边数 题型 题型4：边心距 题型5：正多边形与圆综合 题型6：解答题 03 知识清单 第 1 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9 学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.Co两 学科网原创，让学习更容易」 一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形， 要点 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：()各边相等：(2)各角相等：缺一不可如菱形 的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多边形）. 二、正多边形的重要元素 1正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形， 这个圆就是这个正多边形的外接圆， 2.正多边形的有关概念 ()一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 3.正多边形的有关计算 (2-2)180° (I)正n边形每一个内角的度数是 360° (2)正n边形每个中心角的度数是 2 360° (3)正n边形每个外角的度数是 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形 三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正边形的中心：当 边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心 4边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似 比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形：(2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外 切正多边形 四、正多边形的画法 1.用量角器停分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分项点在圆心的周角）可以等 分圆：根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图 ①正四、八边形。 第 ○⊙原创精品资源学科树独家享有版权，侵权必究！ 页 共 3 9 6学科网 帮课堂·学与练 Ww.ZXXR.Co两 学科网原创，让学习更容易！ H B B () 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边 所对的弧（即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 D ⊙ 0 3) (④ 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB,分别以 A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙O的6 等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙012等分…。 要点：画正n边形的方法：(1)将一个圆n等份，(2)顺次连结各等分点. 【即学即练1】正十边形的中心角等于度 【答案】36 【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解， 【解析】正十边形的中心角等于360°+10-36 故答案为：36. 360° 【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于m 【即学即练2】已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为一 【答案】25 【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可. 第 ○⊙原创精品资源学科树独家享有版权，侵权必究！ 页 共 3 9 学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.Co两 学科网原创，让学习更容易！ 【解析】 B 由题意作图，再作OP⊥BC, OP的长即为边心距，即OP=1, 由△ABC是正三角形， ∴.∠ABC-60°， 又OB平分∠ABC, 则∠OBP-30°， ..OB=2OP, 由勾股定理知：BP=VOB2-OP2=√5， BC=25, 即边长为25， 故答案为25. 【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键， 【即学即练3】正十二边形的中心角是度. 【答案】30 【分析】根据正多边形的中心角公式： 360 计算即可 【解析】正十二边形的中心角是：360°+12=30°.故答案为30。 【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式 【即学即练4】如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为一· 【答案】18 【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案. 【解析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n, 则n=360+20=18, 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18。 页 ○⊙原创精品资源学科树独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9 学科网 帮课堂·学与练 WWW.ZXXK.COM 学科网原创，让学习更容易！ 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键。 【即学即练5】如图，AB,AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一 边，则n等于 【答案】12 【解析】连接AO,BO,CO,如图所示： 4B、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边， 360° 360° .∠AOB= 6 -60°，∠A0C= 4 =90°， ∴.∠B0C-30°， 360° = 30°-12， 故答案为：12 04 题型精讲 题型1：分析正多边形与圆的有关概念 【典例1】.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形 的中心角、边长和边心距. 第 5 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 页 共 3 9 6学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.CO两 学科网原创，让学习更容易！ 【答案】正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2V3 【分析】连接O0在圆内接正六边光RCDEE中，可得∠COD=360三60P,从而得到人C00为等边国 6 角形，可得正六边形的边长为4，再由勾股定理，求出边心距，即可求解 【解析】解：连接OD :六边形ABCDEF为正六边形， ∠C0D=360°=60 6 .OC =OD, ∴△COD为等边三角形. ∴.CD=0C=4, 六边形ABCDEF是正六边形， .BC=4, OG⊥BC, :.CG-IBC-1x4-2. 21 2 在RiACOG中，由勾股定理得： ∴.0G=V0C2-CG2=V4-22=25 ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2√3 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相 关知识是解题的关键。 【典例2】.若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是一，半径是一，边心距是一 它的每一个内角是一，正边形的一个外角度数与它的一角的度数相等。 【答案】 60°1 2 120°中心 【分析】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB,由正多边形的中心角= 第 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 页 共 3 9 学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.CO两 学科网原创，让学习更容易」 360° 正多边形的度数 即可解答：在△ABO中，己知正多边形的中心角，根据三角函数的知识以及等边三角形 的知识，即可求出其半径及其边心距：由正多边形的内角=一2x180° ，即可确定正多边形的内角 【解析】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB. 正六边形的中心角=G=60,即∠AOB=60 360° .'AO=BO, .△ABO是等腰三角形， △ABO是等腰三角形，∠AOB=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴.AO=AB=1,即半径是1 △ABO是等边三角形，.∠OAH=60°， ∴.OH=AO×sin60P= 2 (6-2)×180° 正六边形的内角为 =120° 正n边形外角度数为180°-180°×一2)_360° 360° ,正n边形中心角度数为升，正n边形的一个外角度 数与它的中心角的度数相等. 所以 【点睛】本题主要考查正多边形，属基础题，熟记正多边形的性质是解答本题的关键 题型2：中心角 【典例3】.正十边形的中心角是() A.18 B.36° C.729 D.144 【答案】B 【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360除以正多边形的边数 【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°+10-36° 故选：B 【点晴】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角， 第 【典例4】，正四十八边形中心角的十倍角的余弦值为一· 7 页 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9 6学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.Co两 学科网原创，让学习更容易！ 【答案)6-v5 4 360° 【分析】由正四十八边形中心角的十倍为48×10=75°，如图，△4BC中，∠C=90'∠ABC=75则 ∠A=15°，在AC上取点D,连接BD,使∠ABD=∠A=15°，则∠BDC=∠ABD+∠A=30°，设BC=a, 则AD=2a,CD=√5a,4C=2+VBa,由勾股定理得，AB=V6+V2a,然后根据余弦定义求解即可。 360°×10=75°， 【解析】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为48 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，则∠A=15°， B 在AC上取点D,连接BD,使∠ABD=∠A=I5°， ∴.∠BDC=∠ABD+∠A=30° 设C-a则4D=BDS0=2a,CD=BD.cs30= ∴.AC=2+3a, 由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V6+V2a, c0s75°=B a-6-2 AB6+√2a4 故答案为： √6-√2 4 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识，熟练掌握正 多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键 【典例5】.正八边形的中心角等于度. 【答案】45 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法，根据正”多边形中心 8 页 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9 6学科四 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.CO两 学科网原创，让学习更容易！ 360° 角公式是即可解题， 【解析】解：正八边形的中心角等于360°÷8-45°： 故答案为：45. 【典例6】.正十二边形中心角的余弦值为一 【路19 【分新】先计第中心角为智-30，再根据特殊角的三角西数计算c四s30°- 360° ，解答即可 本题考查了中心角的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握中心角，特殊角的三角函数值是解题的关键. 360° 【解析】解：根据题意，得正十二边形中心角为12 =30°. 故cos30°- 2 故答案为： 2 【典例7】，正二十四边形中心角的余弦值为一· 【答案16+5 【分析】由题意知，正二十四边形中心角的度数为24 30=15,如图，AMC中∠C=90'A=15,在 AC上取点D,连接BD,使∠ABD=∠A=15°，则∠BDC=∠ABD+∠A=30°，设BC=a,则 AD=BD=- BC n30=2a,CD=BD-cos30=V5a4C=2+5a,由勾股定理得， B=aC+Bc-6+2o根据os15-C/24a B6+2可a计算求解即可. 360°=-15°， 【解析】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为24 如图，△ABC中∠C=90°，∠A=15°， 第 9 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9 学科网 帮课堂·学与练 WWW.2XXK.Co两 学科网原创，让学习更容易！ D B 在AC上取点D,连接BD,使∠ABD=∠A=15°， .∠BDC=∠ABD+∠A=30° 设C-a则4D=BD=0=2a,CD=D-cos30r= 、.AC=2+5a, 由勾股定理得，AB=VAC2+BC2-N6+V2]a, .c0sl5°= AC (2+5aN6+2 AB6+√2a 4 故答案为： 6+ 4 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识.熟练掌握正 多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键。 题型3：根据中心角求边数 【典例8】，有一个正n边形的中心角是36°，则n为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可. 360 【解析】解：n= 30 0, 故选：D 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键 【典例9】，如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 【答案】6 【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案， 页 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 共 3 9