第07讲 圆与正多边形 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第07讲 圆与正多边形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 3．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．的半径为，若点到的距离为，则点在 （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 8．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 9．正二十边形中心角的正弦值为 10．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 分米．    11．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距，那么r的取值范围是 ． 12．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 13．已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为 ． 14．已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有 个公共点． 15．如图，是的直径，，则的度数是 ． 16．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．      17．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 18．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 三、解答题 19．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 20．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 21．如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 22．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 23．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 25．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆与正多边形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【解析】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形的内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可． 【解析】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合题意； B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意； C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符合题意； 故选：C 3．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【解析】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【解析】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 6．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【解析】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 二、填空题 7．的半径为，若点到的距离为，则点在 （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 【答案】圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关系有3种，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【解析】的半径为，P到圆心O的距离为， 即， 点P在圆内． 故答案为：圆内． 8．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 【答案】10 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【解析】解：∵与内切，的半径为4，设的半径为，的长等于6，， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：10 9．正二十边形中心角的正弦值为 【答案】/0.5 【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【解析】解：正二十边形中心角为， 正二十边形中心角的正弦值为， 故答案为：． 10．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 分米．    【答案】 【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答． 【解析】解：过点作于点， ∵分米，分米， ∴分米， ∴设分米， ∴分米， ∴在中，， ∴， ∴， ∴该圆柱形油槽的内半径为分米， 故答案为．    【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 11．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距，那么r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆心距与两圆内含的性质得出的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含； 【解析】解：半径分别为和2的两个圆内含，圆心距， ， ， ， ∴ 的取值范围是， 故答案为：． 12．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 【解析】解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 13．已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为 ． 【答案】2 【分析】设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【解析】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题． 14．已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有 个公共点． 【答案】2 【分析】根据圆心距于两个圆半径间的关系即可判断得解． 【解析】解∶∵半径分别是2和6的两圆的圆心距为6， ∴ ∴两圆相交，即是2个圆有两个交点， 故答案为∶2． 【点睛】此题主要考查了圆与圆的位置关系，当外切时，圆心距=两圆半径的和，当内切时，圆心距=两圆半径的差，两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间时，圆有两个交点． 15．如图，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得． 【解析】解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．      【答案】 【分析】延长交圆于点，作于点，连接，根据相交线定理首先求得圆的半径，然后在中，利用勾股定理求得的长．本题考查了垂径定理和相交弦定理，根据定理求得圆的半径长是关键． 【解析】解：延长交圆于点，作于点，连接．    则，， ， ， 解得：， 则， ， ， 在中，． 故答案为：． 17．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，向量以及垂径定理，先过点和分别作、，证明四边形是矩形，再运用垂径定理得出，即可作答． 【解析】解：如图：过点和分别作、， ∵过点A作的平行线交两圆于C、D， ∴， ∵、， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， 则． 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答． 【解析】解：设与相切于点F，连接，， ∵，， ∴， 中， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴若与相切时，和一定相交； 若与相切时，和一定相离． 同理当与相切于点M时，连接，，计算得， ∴此时， ∴当时，与矩形的各边都没有公共点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算． 三、解答题 19．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】由知，得到，即可得出． 【解析】解：， ，即， ． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． 20．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【解析】（1）解：连接，如图所示： 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，， ，，即 ； （2）解：在中，， ， 设，则，， ，即，则， 解得（舍，， ，． 在中，． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 21．如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 22．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【解析】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 23．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可； （2）利用△E∽△CA即可解答． 【解析】（1）⊙和⊙相交于A、B两点， ∴是AB的垂直平分线， ∴∠CA=90°， ∵E为AD的中点， ∴E⊥AD， ∴∠EA=90°， ∴∠CA=∠EA， 如图,连接 ∵AE＝AC，A=A ∴△E≌△C， ∴E＝C. （2）∵E⊥AD， ∴∠E＝90°， 在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6， ∵， ∴， ∴E＝8， ∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠， ∴△E∽△CA， ∴, ∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6， ， ∴＝5， 即⊙的半径长为5. 故答案为5. 【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键. 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式； （2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的解析式可以写成的形式， 即， ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意作图如下， ①∵的圆心为G，的圆心为E， ∴GE是与圆心的连线， ∵两圆相切时，圆心的连线经过切点， ∴当与内切时，GE经过切点， ∵点B是线段GE延长线上的点，且在上， ∴点B是与内切时的切点， ∴点B在以点E为圆心，为半径的上， ∴， ②在中， 令得， ∴抛物线与y轴交于点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将和的坐标代入， 得， ∴， ∴设直线BC的解析式为． ∵点F在抛物线上， ∴设点F的坐标为， 由题意轴， ∴点E的坐标为， ∵点F在BC的上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在线段BC上， ∴， ∴, ∵， ∴， 整理得，， 解得或3， 当时，点E，F，B重合，此时不存在， 故不合题意，应舍去， ∴， 当时， ， ∴求点F的坐标为． 【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键． 25．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解； （）连接，设， 则 ， ， 求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解； （）由可得，进而得到，可证明△≌△，得到，设，，则，，证明△∽△，得到，即可得到，由勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：连接，过点作，垂足为， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ，则 ， ， 在△中，， ∴， ∴， ， 当时，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作，垂足为， ∵， ∴，则， ∴， 在△中， ∵， ∴； 当时，， 即，不存在； ∴的余切值为：； （3）解：如图 由可得， ∴，，， ∴△≌△， ∴； 设，，由题意得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，，， ∴， ∴△∽△， ∴， 即 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 23 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$