第3章圆锥曲线综合测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3章圆锥曲线综合测试 （满分150分） 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF1并延长交椭圆于另一点B，若|AF2|＝|AF1|，|BF2|＝3|BF1|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．记抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（4，m）为抛物线上一点，|AF|＝6，直线AF与抛物线另一交点为B，则＝（　　） A． B． C．2 D．3 3．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a（M为圆心），且∃λ∈R，使得，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 4．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　） A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0） C． D． 6．已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且|BF|＝4|CF|，则E的离心率是（　　） A． B． C． D． 7．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“∞”形对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把到两个定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（　　） ①曲线C关于原点对称 ②曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的P有且只有一个 ③动点P到定点F1，F2距离之和的最小值为2a ④若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知椭圆，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于，则e1和e2的取值范围（　　） A． B．0＜e1＜1 C． D．e2＞1 （多选）10．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（　　） A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B．曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则＜t＜4 C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1有相同的焦点 （多选）11．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B1，点C是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A1C交直线x＝2于点P，连接A2C交OP于点M（O是坐标原点），则下列结论正确的是（　　） A．为定值 B． C．当四边形OA2CB1的面积最大时，直线OC的斜率为1 D．点M的纵坐标没有最大值 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，线段AF与抛物线C交于点M，则|MF|＝ 　 　． 13．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 　 　． 14．已知Q为抛物线C：y2＝4x上的动点，动点M满足到点A（2，0）的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为，则|QM|+|QF|的最小值是 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设椭圆，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且AF1与x轴垂直，直线AF2与C的另一个交点为B． （1）若直线AB的倾斜角为，求椭圆C的离心率； （2）若直线AB在y轴上的截距为1，且|AB|＝3|F2B|，求a，b． 16．已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 17．已知椭圆上有两个不同点A，B关于直线对称． （1）记直线l与线段AB的交点为P． （i）求证：kAB•kOP为定值； （ii）求P的坐标（用m来表示）． （2）求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）． 18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F，其短轴长是焦距的倍，点A为椭圆上任意一点，且|AF|的最大值为3． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．问：x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 19．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，R是椭圆C上异于A、B的动点，满足，当R为上顶点时，△ABR的面积为8． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（﹣6，﹣2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A、B不重合），直线AD，AE分别与直线x＝﹣6交于P，Q两点，求|MP|•|MQ|的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章圆锥曲线综合测试 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF1并延长交椭圆于另一点B，若|AF2|＝|AF1|，|BF2|＝3|BF1|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】法（i）根据题意和椭圆的定义可得△AF1F2和△ABF2的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可； 法（ii）求出sin∠OAF1＝＝e，在△ABF2中，由等腰三角形可得cos∠BAF2的值，由二倍角公式，可得离心率的大小． 【解答】解：如图所示： 由题意得|AF2|＝|AF1|，又|AF1|+|AF2|＝2a，则|AF2|＝|AF1|＝a， 因为|BF2|＝3|BF1|，|BF1|+|BF2|＝2a， 则，，故， 法（i）在△AF1F2中，由余弦定理得， 在△ABF2中，由余弦定理得， 所以， 化简得，即， 解得，即椭圆的离心率为． 法（ii）可得|AB|＝|BF2|， sin∠OAF1＝＝e，在△ABF2中，可得cos∠BAF2＝＝＝， 而∠BAF2＝2∠OAF1， 所以1﹣2e2＝，解得e＝． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 2．记抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（4，m）为抛物线上一点，|AF|＝6，直线AF与抛物线另一交点为B，则＝（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，求出p，再求出m，联立直线AB方程与抛物线方程，求出两个交点的横坐标，再结合抛物线定义，即可求解． 【解答】解：A（4，m）为抛物线上一点，|AF|＝6， 则，解得p＝4， A（4，m）为抛物线上一点， 则2×4×4＝m2，解得m＝， 由对称性，不妨取m＝， A（4，4），F（2，0）， 故， 直线AF的方程为y＝， 联立，化简整理可得，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝4或x2＝1， 故xB＝1， 所以|BF|＝， 故＝． 故选：C． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题． 3．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a（M为圆心），且∃λ∈R，使得，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】设M的纵坐标为a，A的坐标为（m，n），（m，n＞0），由向量共线的坐标表示可求出A点的纵坐标，利用△AF1F2的面积利用“算两次”的方法得到|AF1|与|AF2|的关系，结合定义可求出|AF1|＝3c+a，|AF2|＝3c﹣a，根据勾股定理结合几何关于得到A点的横坐标，再把A点坐标代入双曲线方程即可求出离心率． 【解答】解：设M的纵坐标为a，A的坐标为（m，n），（m，n＞0）， F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由，可得a﹣n+3a＝0，即n＝4a， 由＝•2c•4a＝a（|AF1|+|AF2|+2c）， 即|AF1|+|AF2|＝6c， 又|AF1|﹣|AF2|＝2a， 所以|AF1|＝3c+a，|AF2|＝3c﹣a， 过A点作直线F1F2的垂线，垂足为H， 则|AH|2＝|AF1|2﹣|HF1|2＝|AF2|2﹣|F2H|2， 即（3c+a）2﹣（m+c）2＝（3c﹣a）2﹣（c﹣m）2，解得m＝3a， 即A（3a，4a），将其坐标代入双曲线方程， 可得﹣＝1，即有b2＝2a2， 则e＝＝＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及向量共线的坐标表示，三角形的面积公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 4．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据椭圆的定义求出长轴a，再根据a2＝b2+c2算出c即可． 【解答】解：椭圆的长轴长为，即， 得，又b2＝4， ∴， ∴椭圆C的离心率． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，是基础题． 5．已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（　　） A．x2+9y2＝1 B．x2+9y2＝1（y≠0） C． D． 【分析】根据三角形的重心坐标公式及“相关点“法即可求解． 【解答】解：设G（x，y），（y≠0），设P为（m，n）， 又易知F1（﹣，0），F2（，0）， ∴根据三角形的重心坐标公式可得： ，∴，∴P（3x，3y）， 又P在椭圆E：＝1上， ∴，（y≠0）， 即x2+9y2＝1（y≠0）， ∴G的轨迹方程为x2+9y2＝1（y≠0）， 故选：B． 【点评】本题考查“相关点“法求轨迹方程，三角形的重心坐标公式，属基础题． 6．已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且|BF|＝4|CF|，则E的离心率是（　　） A． B． C． D． 【分析】设出左焦点F′以及|CF|，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角△ACF′，△AFF′中运用勾股定理，最后得到a，c的关系式可求结果． 【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′， 因为O点平分FF′，AB，所以四边形FAF′B为平行四边形， 又因为BF⊥AC，所以四边形FAF′B为矩形， 设|CF|＝m（m＞0），则|BF|＝|AF′|＝4m，|BF′|＝|AF|＝2a﹣4m，|CF′|＝2a﹣m， 在直角△ACF′中，|AF′|2+|AC|2＝|CF′|2，所以（4m）2+（2a﹣3m）2＝（2a﹣m）2， 整理可得am＝3m2，所以， 在直角△AFF′中，|AF′|2+|AF|2＝|FF′|2，所以， 所以，所以． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的几何特征，属于中档题． 7．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“∞”形对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把到两个定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（　　） ①曲线C关于原点对称 ②曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的P有且只有一个 ③动点P到定点F1，F2距离之和的最小值为2a ④若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意求得曲线C的轨迹方程，对于①，利用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y）即可判断；对于②，由|PF1|＝|PF2|推得x＝0，代入曲线C方程求解即可判断；对于③利用基本不等式即可判断；对于④，先判断得直线y＝kx与曲线C必有一个公共点，再将y＝kx代入曲线C方程得到无非零解方程，从而得以判断． 【解答】解：设P（x，y），则根据双纽线的定义有， 故，即曲线C的轨迹方程为（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2）． 用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，∴曲线C关于原点中心对称，故①正确； 若曲线C上点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在F1F2的垂直平分线，即y轴上，故x＝0， 代入曲线C方程得y4＝﹣2a2y2，解得y＝0，所以这样的点仅有一个，故②正确； ∵，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立， ∴（|PF1|+|PF2|）min＝2a，故③正确； 由题意知直线y＝kx与曲线C一定有公共点（0，0），若直线y＝kx与曲线C只有一个交点， 将y＝kx代入曲线C方程中，方程x4（1+k2）2＝2a2x2（1﹣k2）无非零解，则1﹣k2≤0，解得k≤﹣1或k≥1， 故④正确． 故选：D． 【点评】本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程为（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2），考查运算求解能力，是中档题． 8．已知椭圆，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【分析】先设出A，B的坐标，再分别代入椭圆，两式相减，再根据过点P这一已知条件求出b即可求出c，即可求解． 【解答】解：设A（x1，y1），b（x2，y2），则，． 两式相减得+＝0． 又因为x1+x2＝4，y1+y2＝2， 所以kAB＝＝＝＝﹣1． 所以b2＝36， 所以c2＝72﹣36＝36， 所以c＝6，因此椭圆上一点M到焦点F的距离最小值为a﹣c＝6﹣6． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆焦点弦，属于中档题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于，则e1和e2的取值范围（　　） A． B．0＜e1＜1 C． D．e2＞1 【分析】易得，再利用离心率公式进行求解即可． 【解答】解：因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以， 因为0＜e1＜1， 所以， 解得， 因为e2＞0， 所以， 解得． 故选：AC． 【点评】本题考查求椭圆和双曲线的离心率，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． （多选）10．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（　　） A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B．曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则＜t＜4 C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1有相同的焦点 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可分别求解． 【解答】解：对A选项，∵A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k， ∴动点P的轨迹不满足双曲线的定义，∴A选项错误； 对B选项，∵曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴t﹣1＞4﹣t＞0，∴＜t＜4，∴B选项正确； 对C选项，∵方程2x2﹣5x+2＝0的两根分别为，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴C选项正确； 对D选项，∵双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1的焦点均为（，0），∴D选项正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属基础题． （多选）11．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B1，点C是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A1C交直线x＝2于点P，连接A2C交OP于点M（O是坐标原点），则下列结论正确的是（　　） A．为定值 B． C．当四边形OA2CB1的面积最大时，直线OC的斜率为1 D．点M的纵坐标没有最大值 【分析】根据给定的椭圆方程，设点，结合斜率坐标公式计算判断AB；取点C在第一象限，求出面积最大时的斜率判断C；表示出M点纵坐标后利用基本不等式即可判断D． 【解答】解：依题意，A1（﹣2，0），A2（2，0），设， 对于A，，A正确； 对于B，直线A1C的方程为，它与直线x＝2的交点， 因此，B正确； 对于C，不妨令，四边形OA2CB1的面积 ＝，当且仅当时取等号，此时点， 直线OC的斜率为，C错误； 对于D，设A1P：y＝kx，则OP：y＝2kx，， 联立，解得， 要确定点M的纵坐标的最大值，不妨令k＞0， 则，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AB． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，线段AF与抛物线C交于点M，则|MF|＝ 　　． 【分析】将线段AF的方程与抛物线的方程联立，求出点M的坐标，然后利用抛物线的定义可求得|MF|的值． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点， 根据截距式可得线段AF的方程为， 联立，解得，即点， 由抛物线的定义可得． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题． 13．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 　　． 【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解． 【解答】解：易知双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在x轴上， 设所求椭圆的方程为， 因为该椭圆长轴长为4， 所以2a＝4， 解得a＝2， 因为该椭圆以双曲线的顶点为焦点， 所以， 此时b2＝a2﹣c2＝2， 则所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 14．已知Q为抛物线C：y2＝4x上的动点，动点M满足到点A（2，0）的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为，则|QM|+|QF|的最小值是 　　． 【分析】根据题意得到点M的轨迹，然后将|QM|+|QF|的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当S，Q，B三点共线时，|QM|+|QF|最小，然后求最小值即可． 【解答】解：由题意可得F（1，0），|QF|等于点Q到准线x＝﹣1的距离， 如图，过点Q作QS垂直准线于点S， 则|QF|＝|QS|，设动点M（x，y）， 则，整理得（x﹣3）2+y2＝2， 所以点M的轨迹为以B（3，0）为圆心，半径为的圆， 所以，所以当S，Q，M，B四点共线时，|QM|+|QF|最小， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属中档题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设椭圆，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且AF1与x轴垂直，直线AF2与C的另一个交点为B． （1）若直线AB的倾斜角为，求椭圆C的离心率； （2）若直线AB在y轴上的截距为1，且|AB|＝3|F2B|，求a，b． 【分析】（1）由题意可得点A的纵坐标，再由△AF2F1为以AF2为斜边的等腰直角三角形，可得离心率的值； （2）由题意可得点B的坐标，且b2＝2a，将点B的坐标代入椭圆的方程，可得a，b的值． 【解答】解：因为AF1⊥x轴，设A（﹣c，y0），设点A在第二象限， 将点A的坐标代入，解得y0＝， （1）若直线AB的倾斜角为，可得∠AF2F1＝， 所以△AF2F1为以AF2为斜边的等腰直角三角形， 所以， 即a2﹣c2＝2ac， 可得e2+2e﹣1＝0， 解得（舍去）或， 所以椭圆C的离心率为； （2）因为直线AB在y轴上的截距为1，设直线AB与y轴交于点H， 又因为AF1⊥x轴，O为F1F2的中点，所以OH为△AF1F2的中位线， 所以，即b2＝2a， 所以c2＝a2﹣2a，① 又|AB|＝3|BF2|，可得|AF2|＝2|BF2|，且|F2H|＝|BF2|， 根据相似比得B（2c，﹣1），将点B（2c，﹣1）的坐标代入椭圆方程得，② 将①代入②可得+＝1，解得a＝， 所以b＝＝． 即a，b的值分别为：，． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 16．已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 【分析】（1）由题意，根据焦距和点得到方程组，求出a2＝4，b2＝3，得到椭圆方程； （2）设P（x，y），，根据垂直关系和相等关系得到方程组，求出，结合P是椭圆上第二象限内一点，求出，进而得到，从而求出三角形面积． 【解答】解：（1）因为椭圆C的焦距为2， 所以c＝1， 此时b2＝a2﹣1，① 因为点在椭圆C上， 所以，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程为； （2）易知A（﹣2，0），B（2，0）， 不妨设P（x，y），，显然t≠0，x＜0，y＞0， 因为BP⊥BQ， 此时点P满足，③ 因为|BP|＝|BQ|， 所以，④ 联立③④，可得， 解得， 因为点P在第二象限，且满足， 解得， 此时x＝﹣1， 则， 将，x＝﹣1，代入③中， 解得t＝3， 所以， 因为A（﹣2，0）， 所以， 易知直线AP方程为3x﹣2y+6＝0， 此时点Q到直线AP的距离， 故． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．已知椭圆上有两个不同点A，B关于直线对称． （1）记直线l与线段AB的交点为P． （i）求证：kAB•kOP为定值； （ii）求P的坐标（用m来表示）． （2）求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）． 【分析】（1）（i）由题意，设出A，B，P的坐标，根据A，B两点均在椭圆上以及斜率公式再求证即可； （ii）结合（i）中信息以及斜率公式再求解即可； （2）设出直线AB的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）（i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）， 此时， 因为A，B两点均在椭圆上， 所以， 两式相减得， 即； （ii）易知m≠0， 因为， 由（1）知， 所以， 即， 因为P在直线l上， 所以， 又， 解得， 即； （2）设直线AB的直线方程为， 联立，消去y并整理得（3m2+4）x2﹣8mbx+（4m2b2﹣12m2）＝0， 由韦达定理得，， 所以， 又点O到直线AB的距离， 所以 ＝＝ ≤2•＝， 当且仅当3m2+4﹣m2b2＝m2b2时，等号成立． 故△OAB面积的最大值为． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F，其短轴长是焦距的倍，点A为椭圆上任意一点，且|AF|的最大值为3． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．问：x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题可得方程组，解得a、b、c，即可求出椭圆方程； （2）联立，消元，根据题意可得m≠0且Δ＝0，从而可求得k，m的关系式及点P的坐标，再求出点Q的坐标，假设在x轴上存在定点M满足条件，设M（x1，0），则，从而可得出结论． 【解答】解：（1）由题可得：，解得：（负值已舍去）， 所以椭圆C的方程为：； （2）如图， 联立，化简得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， 因为动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，设P（x0，y0）， 所以m≠0且Δ＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，即4k2﹣m2+3＝0①， 此时，，即， 联立，可得Q（4，4k+m）， 假设在x轴上存在定点M满足条件，设M（x1，0）， 则对①式中的m，k恒成立， 又，， 所以， 即， 由于②式对满足①式的m，k恒成立， 所以，解得：x1＝1， 故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M． 【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 19．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，R是椭圆C上异于A、B的动点，满足，当R为上顶点时，△ABR的面积为8． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（﹣6，﹣2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A、B不重合），直线AD，AE分别与直线x＝﹣6交于P，Q两点，求|MP|•|MQ|的值． 【分析】（1）根据给定条件，取椭圆上顶点列式求出a，b即可得解． （2）设出直线DE的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即得． 【解答】解：（1）已知椭圆的左右顶点分别为A、B，R是椭圆C上异于A、B的动点， 不妨设椭圆上顶点R0（0，b）， 此时， 因为△ABR0的面积为8， 所以， 联立解得a＝4，b＝2， 所以椭圆C的标准方程为． （2）依题意，直线DE的斜率存在，设斜率为k， 又点M（﹣6，﹣2），则直线DE的方程为y＝k（x+6）﹣2，设D（x1，y1），E（x2，y2）， 由，消去y并整理得（4k2+1）x2+（48k2﹣16k）x+144k2﹣96k＝0， Δ＝（48k2﹣16k）2﹣4（4k2+1）（144k2﹣96k）＞0， 则， 直线AD的方程为 ， 令x＝﹣6，得点P的纵坐标， 则， 同理得， 所以 ＝． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$