精品解析：安徽省卓越县中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题

2024-2025学年上学期高三年级期中联考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，其中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若为偶函数，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值2 D. 有最小值2 8. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 要得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 以轴为对称轴进行翻转 B. 以轴为对称轴进行翻转 C. 绕坐标原点旋转 D. 绕点旋转 10. 对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（ ） A. ， B. ， C. D. 11. 已知函数的图像在点和处的切线斜率互为相反数，且这两条切线交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则实数_____． 13. 已知函数在上的最小值为-1，则_____． 14. 已知集合，集合，若，则的最小值为_____，的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且，其前项和记为． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设实数满足，求的最小值． 17. 如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． （1）证明：； （2）若，求． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）若有两个零点，，且，求的取值范围． 19. 过点作曲线的切线，切点为，在轴上的射影为，过作的切线，切点为，在轴上的射影为，再过作的切线……每次作的切线斜率均大于0，像这样重复操作，得到一系列点，，，…，设的横坐标为． （1）若，直接写出，，的值； （2）证明：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期高三年级期中联考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式求出，利用交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：A 2. 若复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数及其共轭，再利用复数的乘法、除法运算计算即得. 【详解】依题意，，则，， 所以. 故选：D 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，， 则在上的投影向量为. 故选：A 4. 记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得的值，再根据结合两角差的正切公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 又因为. 故选：C. 6. 在中，，，，其中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】 , , 因为，所以， 所以，即， 故选：C 7. 若为偶函数，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值2 D. 有最小值2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义列出等式即可求解，利用导数研究其单调性，进而可知其最值. 【详解】的定义域为R，因为为偶函数，所以， 即， 整理得， 即对任意R均成立，所以， 所以， 当时， 因为，所以，所以在恒成立， 所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减， 所以， 故选：D. 8. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作函数的图象，令，由条件可得有两个不相等零点，且，结合二次函数的图象性质列出不等式组，求解即得参数范围. 【详解】画出的图象如下： 令，则函数至多两个零点， 而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点， 需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同， 所以，又时，的值为， 所以，解得：， 故. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 要得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 以轴为对称轴进行翻转 B. 以轴为对称轴进行翻转 C. 绕坐标原点旋转 D. 绕点旋转 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简.对于A，以轴为对称轴进行翻转，则在的表达式中，不变，相反，由此判断A；对于B，以轴为对称轴进行翻转，则在的表达式中，不变，相反，由此判断B；对于C，绕坐标原点旋转，则在的表达式中，相反，也相反，由此判断C；对于D，假设假设关于点的对称函数为，则上任意一点关于点的对称点在上，通过化简即可判断D. 【详解】， 对于A，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故B正确； 对于C，将的函数图象绕坐标原点旋转，得到函数，故C错误； 对于D，假设关于点的对称函数为， 则上任意一点关于点的对称点在上， 则，化简得，故D正确； 故选：ABD. 10. 对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可知的通项公式，进而可判断A项、B项、C项，由分组求和及等差数列前项和公式计算可判断D项. 【详解】由题意知，，是使得成立的正整数的最小值， 所以当为奇数时，为正整数，所以，所以， 当为偶数时，不是正整数，所以，所以， 所以， 对于A项，，，所以，故A项错误； 对于B项，，，所以，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项， ，故D项错误. 故选：BC. 11. 已知函数的图像在点和处的切线斜率互为相反数，且这两条切线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A,直接判断的单调性，求最值判断即可； 选项B，利用两条切线的斜率之和为相反数建立等式，然后利用基本不等式得到，，然后根据恒成立求得的范围即可； 选项C，直接求差并判断差值的正负即可； 选项D,根据弦长公式，然后根据题意比较的长度即可. 【详解】由题可知，， 当时，显然单调递增，， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，故选项A正确； 由题可知，，即， 由基本不等式可知，，因为，所以， 即， 不妨令， 得， 令， 因为，显然单调递增，， 所以要使，则，即，故选项B错误； 因为，所以， 所以 令， 则， 令， 显然，， 令， 则， 所以当时，，单调递增，所以， 即， 所以，在时单调递增， 所以， 即， 显然， 所以， 即，故选项C正确； 设，的斜率分别为， 则， 由于在单调递减，在单调递增； 所以 ， 故单调递减，单调递增， 显然， 所以， 所以， 因为， 所以，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项B，我们需要的是两个切点的横坐标之和的范围，所以需要根据题意建立等式， 然后出现了，利用基本不等式得，然后原等式数据代入，即可判断两切点横坐标之和的范围； 选项C，我们直接求差，里面有参数，然后利用两切线的斜率关系消参， 然后化简得，然后只需要讨论后面中括号中的正负即可，换元求解即可; 选项D，弦长公式可以用于计算平面上两点的距离，注意需要斜率存在或者斜率的倒数存在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数若，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，显然不成立； 当时，，解得或（舍）， 综上所述：， 故答案为： 13. 已知函数在上的最小值为-1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据最小值得到，求出答案. 【详解】，时，， 在上的最小值为-1，故， 解得. 故答案为： 14. 已知集合，集合，若，则的最小值为_____，的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，将用表示，由求出的取值范围即可得解. 【详解】令，由，得， 则，显然，则，而，当且仅当时取等号， 因此， 而，因此，解得， 即，当且仅当时取等号，由，得， 所以的最小值为2，的最大值为. 故答案为：2； 【点睛】关键点点睛：令，将给定等式用表示，再结合基本不等式建立不等关系是求解的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且，其前项和记为． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） ， ， 所以 ， 因为，所以，不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得是公差为的等差数列，由可得，进而可知公差为1，进而可写出通项公式； （2）由（1）可写出，进而的表达式可知，利用裂项求和的方法即可证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 所以是公差为的等差数列． 又，所以，从而公差为1， 所以． 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设实数满足，求的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分别解，进而可得的单调性. （2）结合单调性分别可求得、的范围，再结合不等式的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由已知得， 令，得，解得，． 当或时，，当时，，． 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 【小问2详解】 不妨令，． 因为当时，，所以， 且由（1）可知． 所以， 因为当时，，所以， 且由（1）可知． 所以， 所以， 故的最小值为． 17. 如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，结合余弦定理证明即可. （2）由、及，可证得四边形是等腰梯形，进而可得，进而可求得，在中，由正弦定理可得，再结合、可得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）若有两个零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，求导得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性和最小值，要使恒成立，则需，设，求导得到其单调性，求出，求出解为， （3）易知，不妨设，故或，由（2）知，的极小值点和单调性，分和两种情况，不合要求，时，结合零点存在性定理和单调性得到只需，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由已知得，． 所以，且， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 的定义域为， 因为， 由，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 要使恒成立，则需． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，仅当时等号成立． 所以的解为， 故． 【小问3详解】 易知，不妨设， 则，即，所以或． 由（2）知，的极小值点为，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，，此时若存在，则必有，不符合题意． 当时，，所以，， 所以在上一定存在一个零点． 要使，由单调性可知，只需， 即，解得. 【点睛】关键点点睛：第三问，先观察出，去掉一个参数，得到或．再结合函数的极值点和单调性，分和两种情况进行分析，求出结果. 19. 过点作曲线的切线，切点为，在轴上的射影为，过作的切线，切点为，在轴上的射影为，再过作的切线……每次作的切线斜率均大于0，像这样重复操作，得到一系列点，，，…，设的横坐标为． （1）若，直接写出，，的值； （2）证明：当时，； （3）证明：． 【答案】（1），，； （2） 由，求导得，则曲线在点处的切线方程为， 当时，切线过点，则， 当时，切线过点，则，整理得， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以当时，. （3） 由（2）知，，记，则， 设，则， 两边同时乘以，得， 两式相减得： ，设， 两边同时乘以，得， 两式相减得： ， 所以， 原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出，，的值. （2）利用导数求出曲线在点处的切线方程，求得，进而求出，再利用二项式定理计算推理即得. （3）令，利用错位相减法及等比数列前n项和公式，结合放缩法推理论证即得. 【小问1详解】 当时，，求导得，设，则切线方程为， 于是，而，解得，点，则，； 曲线在点处切线，由，而， 解得，点，则，； 曲线在点处切线，由，而， 解得，点，则，， 所以，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $