椭圆定义、标准方程、简单的几何性质同步讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1椭圆 3.1.1 椭圆定义及标准方程 题型归纳： 与椭圆有关的轨迹问题 椭圆标准方程的求解 椭圆中的定义的基础考法 椭圆中的线段和差问题 椭圆中基本量的考法 初识离心率 焦点三角形的周长 焦点三角形的面积 知识点一 椭圆定义与标准方程 1.椭圆的第一定义 平面内到两定点距离之和等于定长 的点的轨迹是椭圆，其中为焦点，为焦距。（注意：椭圆的第一定义是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，所以在遇到曲线上的点到定点距离的问题首先要想到定义；并且在这里是轨迹为椭圆的必要条件，事实上，当时，轨迹是线段，当，轨迹不存在。） 2.椭圆的标准方程 （1），其中焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为. （2），其中焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为. 说明： （1）椭圆的标准方程之所以成为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称建立直角坐标系有关。 （2）标准方程中的两个参数决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，在确定时，不要忽略这一隐藏条件。 （3）焦点的位置，是椭圆的定位条件，它决定了椭圆标准方程的类型。也就是说，已知焦点位置时，其标准方程也就确定了，焦点位置不确定时，标准方程两种情况都有可能. 题型1 与椭圆有关的轨迹问题 例题1.已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 练习1-1.若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 练习1-2.如图，已知定圆的半径为4，是圆内一个定点，且，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，则点的轨迹是　　 A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 练习1-3.已知、，动点满足，则点的轨迹为　　 A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 练习1-4.已知动圆与圆及圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为 　 　． 题型2 椭圆的标准方程 例题2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2-1.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．，， 练习2-2.（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 题型3 椭圆标准方程的求解 例题3.分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 练习3-1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为______. 练习3-2.椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为　 　． 练习3-3.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 　 　． 题型4 椭圆中的定义的基础考法 例题4.设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 练习4-1.已知椭圆的两个焦点为，，，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是　　 A． B． C． D． 练习4-2.已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 题型5 椭圆中的线段和差问题 适用题型：形如，其中A为定点，F为焦点，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 例题5.已知椭圆，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　 A． B．5 C． D． 练习5-1.已知动点在椭圆上，，，则的最小值为　　 A．5 B． C．2 D．1 练习5-2.已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意一点，，则的周长最大值为　　 A． B． C．14 D． 练习5-3.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 巩固练习 1．“”是“为椭圆”的　　条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 2．“”是“曲线表示椭圆”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知点在椭圆上，点，则的最大值为　　 A． B．4 C． D．5 4．已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 　 　个． 5．已知圆和圆，则与外切而又与内切的动圆圆心的轨迹方程是　 　． 6．已知，动过定点且与相切，则点的轨迹方程是： 　 　． 7．已知定点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 　 　． 8.已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.求动点的轨迹的方程. 9．点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求的轨迹． 10．动点的坐标在其运动过程中总满足关系式． （1）点的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程； （2）已知定点，，若的最小值为1，求的值． 3.1.2 椭圆简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 长轴顶点：短轴顶点： 长轴顶点： 短轴顶点： 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 的关系 题型1 椭圆中基本量的考法 例题1. 已知椭圆与，则两个椭圆（    ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 练习1-1.已知椭圆的焦点坐标分别为，，长半轴长为5，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 练习1-2.焦点在轴的椭圆，长轴长为10，离心率为，则椭圆的标准方程为 　 　． 练习1-3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为_____. 题型2 初识离心率 例题2.下列椭圆的形状更接近于圆的是　　 A． B． C． D． 练习2-1.已知椭圆的离心率为，则实数的值为　　 A．2 B．3 C．3或 D．2或 练习2-2.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：　 　． ①中心为坐标原点； ②焦点在坐标轴上； ③离心率为． 练习2-3.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率的取值范围为　　 A． B． C． D． 练习2-4.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 练习2-5.（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是　　 A．卫星向径的取值范围是， B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 题型3 焦点三角形 椭圆上的点与焦点构成叫做焦点三角形，若的面积为，则在椭圆中： （1），当时，即点为短轴端点时，最大；取得最大值为； （2）的周长为 （3） （4） （5） （6）（当且仅当时，即为椭圆的短轴端点时，取得最小值，且此时点对两个焦点的张角最大）. 考向一 焦点三角形的周长 例题3.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 练习3-1.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为　　 A．24 B．12 C．6 D．3 练习3-2.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度、半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积．已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的半短轴的长度　　 A．5 B．4 C．6 D．2 练习3-3.椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为．若△的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距　　 A．2 B．1 C． D． 练习3-4.已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考向二 焦点三角形的面积 例题4.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则△的面积为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 练习4-1.已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 练习4-2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上．若，则△的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D． 练习4-3.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上除左、右顶点外的一动点，则△的面积最大为　　 A．1 B． C．2 D． 练习4-4.设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积为　　 A． B．1或 C． D．1或 巩固练习 1.“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率.若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8 2.焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　 A． B． C． D． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是　　 A． B．或 C． D．或 4.设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且到两焦点的距离之差为2，则△是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形 5.（多选）已知点是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法错误的是　　 A．△的面积为 B．若点是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点的纵坐标为 D．△内切圆的面积为 6．（多选）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题正确的是　　 A．椭圆的焦点坐标为， B．若，则 C．△的周长为16 D．设，则的最小值为 7.椭圆的焦距为4，则等于 . 8．椭圆经过点，且与椭圆有相同的离心率，则椭圆的方程为 　　． 9．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆经过点． （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求△的面积． 10.如图，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）已知△的面积为，求，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1椭圆 3.1.1 椭圆定义及标准方程 题型归纳： 与椭圆有关的轨迹问题 椭圆标准方程的求解 椭圆中的定义的基础考法 椭圆中的线段和差问题 椭圆中基本量的考法 初识离心率 焦点三角形的周长 焦点三角形的面积 知识点一 椭圆定义与标准方程 1.椭圆的第一定义 平面内到两定点距离之和等于定长 的点的轨迹是椭圆，其中为焦点，为焦距。（注意：椭圆的第一定义是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，所以在遇到曲线上的点到定点距离的问题首先要想到定义；并且在这里是轨迹为椭圆的必要条件，事实上，当时，轨迹是线段，当，轨迹不存在。） 2.椭圆的标准方程 （1），其中焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为. （2），其中焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为. 说明： （1）椭圆的标准方程之所以成为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称建立直角坐标系有关。 （2）标准方程中的两个参数决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，在确定时，不要忽略这一隐藏条件。 （3）焦点的位置，是椭圆的定位条件，它决定了椭圆标准方程的类型。也就是说，已知焦点位置时，其标准方程也就确定了，焦点位置不确定时，标准方程两种情况都有可能. 题型1 与椭圆有关的轨迹问题 例题1.已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【解答】解：的周长为20，顶点，， ，， 点到两个定点的距离之和等于定值， 点的轨迹是椭圆， ， ， 椭圆的方程是 故选：． 练习1-1.若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：方程表示动点到两个定点的距离之和为定值， 且，由题意的定义可得：动点的轨迹是椭圆，且． 可得椭圆的方程为：． 故选：． 练习1-2.如图，已知定圆的半径为4，是圆内一个定点，且，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，则点的轨迹是　　 A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【解答】解：连接， 因为线段的垂直平分线和半径相交于点，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆． 故选：． 练习1-3.已知、，动点满足，则点的轨迹为　　 A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 【答案】C 【解答】解：， 由椭圆的定义得，当时，点的轨迹为线段； 当时，点的轨迹为椭圆． 故选：． 练习1-4.已知动圆与圆及圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为 　 　． 【答案】，或． 【分析】设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径．设动圆的圆心，半径．由于动圆与圆及圆都内切时，可得，．于是，利用椭圆的定义可知：动点的轨迹是椭圆．求出即可． 当动圆与圆外切与圆内切时，可得动点的轨迹是双曲线的右支在圆内的一部分，同理可得． 【解答】解：设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径． 设动圆的圆心，半径． ①当动圆与圆及圆都内切， ，． ， 因此动点的轨迹是椭圆，设其标准方程为：． 则，，解得，，． 因此动圆圆心的轨迹方程是． ②当动圆与圆外切与圆内切时， 可得，． ， 因此动点的轨迹是椭圆，设其标准方程为：，其中． 则，，解得，，． 因此动圆圆心的轨迹方程是：． 故答案为：，或． 题型2 椭圆的标准方程 例题2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得：． 故选：D． 练习2-1.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【解答】解：依题意，解得或． 故选：． 练习2-2.（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 题型3 椭圆标准方程的求解 例题3.分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）设所求椭圆的标准方程为． 所求的椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在轴上，可得． 又所求椭圆过点，可得，① 又，② 由①②解得，． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以． 则椭圆方程． 练习3-1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为______. 【答案】 【解答】解：因为椭圆中，，，，即焦点为，，，， 设所求椭圆方程为， 由题意得，，解得，， 故所求椭圆方程为． 练习3-2.椭圆经过，，则该椭圆的标准方程为　 　． 【答案】 【解答】解：设椭圆的方程为，，，， 椭圆经过两点，， ，解得，， 椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意待定系数法的合理运用，是基础题． 练习3-3.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 　 　． 【答案】 【解答】解：椭圆，即：，可得，可得，椭圆的焦点， 设椭圆的方程为：，椭圆过点， 可得：，，解得，， 所求的椭圆方程为：． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力． 题型4 椭圆中的定义的基础考法 例题4.设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】解：由椭圆可得即， 因为P为椭圆上的点，所以， 因为，所以，，故， 故选：B． 练习4-1.已知椭圆的两个焦点为，，，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设，， ，，， ，， ， ， ， ， ， 椭圆的方程是． 故选：． 练习4-2.已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C． 【详解】解：由椭圆可得，所以， 因为点在上，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，最大值为9. 故选：C． 题型5 椭圆中的线段和差问题 适用题型：形如，其中A为定点，F为焦点，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 例题5.已知椭圆，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　　 A． B．5 C． D． 【答案】 【解答】解：如图， 设椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，， 所以 ． 故选：． 练习5-1.已知动点在椭圆上，，，则的最小值为　　 A．5 B． C．2 D．1 【答案】 【解答】解：椭圆， 则，为一个焦点，设另一焦点为，且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当，，三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1． 故选：． 练习5-2.已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意一点，，则的周长最大值为　　 A． B． C．14 D． 【答案】C 【解答】解：由椭圆方程可得， 设椭圆的左焦点为， 则， 又，， 则， 由题意可得的周长为， 当且仅当，，三点共线时取等号，且此时在的延长线上， 即的周长最大值为14， 故选：． 练习5-3.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：由椭圆，得两个焦点分别，． 由圆，得圆心坐标为，半径为1， 又点， 由椭圆的定义可知， ， 又， 则 ， 的最大值为6． 故选：． 巩固练习 1．“”是“为椭圆”的　　条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【解答】解：当时．方程可化为，当，时方程不是椭圆的方程，故“”是“为椭圆”的不充分条件； 当为椭圆时，方程可化为，则，，故成立， 综合可知“”是“为椭圆”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，必要条件，充分条件与充要条件的判断．考查了学生分析推理能力和分类讨论的思想． 2．“”是“曲线表示椭圆”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：曲线表示椭圆， ， 且． “”是“曲线表示椭圆”的必要而不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，属于基础题． 3.已知点在椭圆上，点，则的最大值为　　 A． B．4 C． D．5 【答案】 【解答】解：作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 由两点间距离公式得， 故， 即的最大值为． 故选：． 4．已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 　 　个． 【答案】6 【解答】解：若椭圆焦点在轴上，则， 当时，，3，4；当时，，4；当时，， 所以这样的点有6个． 故答案为：6． 5．已知圆和圆，则与外切而又与内切的动圆圆心的轨迹方程是　 　． 【分析】由两圆的方程分别找出圆心与的坐标，及两圆的半径与，设圆的半径为，根据圆与外切，得到圆心距等于两半径相加，即，又圆与内切，得到圆心距等于两半径相减，即，由等于常数，等于常数，利用椭圆的基本性质求出的值，可得出圆心在焦点在轴上，且长半轴为，短半轴为的椭圆上，根据与的值写出此椭圆方程即可． 【解答】解：由圆和圆， 得到，半径，，半径， 设圆的半径为， 圆与外切而又与内切， ，， ，又， ，， ， 圆心在焦点在轴上，且长半轴为3，短半轴为的椭圆上， 则圆心的轨迹方程为：． 故答案为： 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角与两圆半径，的关系来判断，当时，两圆内含；当时，两圆内切；当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离． 6．已知，动过定点且与相切，则点的轨迹方程是： 　 　． 【分析】根据在内，可判断出与内切，设的半径是为，则可表示出，进而根据过点，求得，利用，根据椭圆的定义可知其轨迹为椭圆，且焦点和长轴可知，进而求得椭圆方程中的，则椭圆方程可得． 【解答】解：在内，故与内切，记：， 的半径是为，则：，又过点， ， ，即， 可见点的轨迹是以、为焦点的椭圆，． 椭圆方程为： 故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆的定义．考查了学生对数形结合思想的运用和对椭圆基础知识的掌握． 7．已知定点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 　 　． 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解． 【解答】解：设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于，， 因为，即， 当且仅当点，，共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为12，8，可得． 故答案为：20． 【点评】本题考查椭圆的定义，属于中档题． 8.已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.求动点的轨迹的方程. 【答案】 【详解】（1）由题可知， 则 由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴ ∴的轨迹方程为： 9．点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求的轨迹． 【解答】解：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是集合，（4分） 由此得．将上式两边平方，并化简，得．即．（9分） 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分） 【点评】本题考查了椭圆的定义，及求椭圆标准方程的方法，是个基础题． 10．动点的坐标在其运动过程中总满足关系式． （1）点的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程； （2）已知定点，，若的最小值为1，求的值． 【解答】解：（1）由于点 满足，即点到两个定点，、，的距离之和等于常数6， 由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为． （2）由于，， 记，． ①当，即时，，又， ，解得，而，故舍去． ②当，即时，，又， ，解得或，而，故不符合题意，符合题意． 综上可知，． 【点评】本题主要考查椭圆的定义、标准方程，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于基础题． 3.1.2 椭圆简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 长轴顶点：短轴顶点： 长轴顶点： 短轴顶点： 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 的关系 题型1 椭圆中基本量的考法 例题1. 已知椭圆与，则两个椭圆（    ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】D 【详解】将椭圆方程整理得， 其焦点在轴上，，，则，所以． 将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以， 故选:D． 练习1-1.已知椭圆的焦点坐标分别为，，长半轴长为5，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，，可得， 所以椭圆的标准方程为：． 故选：． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，属于基础题． 练习1-2.焦点在轴的椭圆，长轴长为10，离心率为，则椭圆的标准方程为 　 　． 【答案】 【解答】解：设椭圆的标准方程为， 由题意得，，，，，，椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，是基础题． 练习1-3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为_____. 【答案】或 【解答】解：由题意知，，，所以，， ， 又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上． 椭圆方程：或 题型2 初识离心率 例题2.下列椭圆的形状更接近于圆的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对于，，，则，所以； 对于，，，则，所以； 对于，，，则，所以； 对于，，，则，所以． 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆． 故选：． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，属于中档题． 练习2-1.已知椭圆的离心率为，则实数的值为　　 A．2 B．3 C．3或 D．2或 【答案】C 【解答】解：椭圆． 当焦点在轴上时，，，，解得； 当焦点在轴上时，，，，解得． 故实数的值为3或． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，体现了分类讨论思想，是基础题． 练习2-2.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：　 　． ①中心为坐标原点； ②焦点在坐标轴上； ③离心率为． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：由椭圆中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，可取在轴上（也可取在轴上）， 离心率，可取，，则． 满足以上三个条件的一个椭圆为． 故答案为：（答案不唯一）． 练习2-3.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：直角坐标系中，椭圆， 所以， 当时，． 故，整理得． 故选：． 练习2-4.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a， 根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为， 则，解得， 即C的离心率为. 故选：C. 练习2-5.（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是　　 A．卫星向径的取值范围是， B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假． 【详解】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故不正确． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故正确； 故选：． 题型3 焦点三角形 椭圆上的点与焦点构成叫做焦点三角形，若的面积为，则在椭圆中： （1），当时，即点为短轴端点时，最大；取得最大值为； （2）的周长为 （3） （4） （5） （6）（当且仅当时，即为椭圆的短轴端点时，取得最小值，且此时点对两个焦点的张角最大）. 考向一 焦点三角形的周长 例题3.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，即. 由椭圆的定义知，, 所以的周长为. 故选：B. 练习3-1.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为　　 A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】 【解答】解：由题意， 从而得， 故选：． 练习3-2.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度、半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积．已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的半短轴的长度　　 A．5 B．4 C．6 D．2 【答案】 【解答】解：因为椭圆的面积为， 所以，所以， 因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分， 所以四边形为平行四边形，所以， 由椭圆的定义，所以， 解得，所以，解得， 所以椭圆的短半轴长为2． 故选：． 练习3-3.椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为．若△的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【解答】解：已知椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为， 由△的周长为8， 可得， 即， 由弦长的最小值为3， 则椭圆的通径长为3， 即， 所以， 所以， 即， 所以椭圆的焦距为2． 故选：． 练习3-4.已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 考向二 焦点三角形的面积 例题4.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则△的面积为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】 【解答】解：椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，且， 联立解得，． 又， 所以． 故选：． 练习4-1.已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， ，又，解得， . 故选：A. 练习4-2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上．若，则△的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D． 【答案】 【解答】解：由椭圆定义可得，， 又因为，所以由余弦定理可得， 即， 解得，则△的面积为． 故选：． 练习4-3.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上除左、右顶点外的一动点，则△的面积最大为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解答】解：由题意椭圆的焦点在轴上，， 因为椭圆的离心率，解得， 所以， 如图所示，当点与椭圆的上顶点或下顶点重合时，△的面积最大， 此时△的最大面积为． 故选：． 练习4-4.设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积为　　 A． B．1或 C． D．1或 【答案】 【解答】解：由椭圆方程可得，，所以， 当或为直角时，则或， 此时； 当为直角时，则， 即， 由椭圆的定义可得，， 可得， 所以， 所以△的面积为或1． 故选：． 巩固练习 1.“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率.若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8 【答案】D 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意，此时，所以椭圆的长轴长为. 综上，该椭圆的长轴长为4或8. 故选：D. 2.焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：焦距为，， 长轴长与短轴长之比为， ，即， 且，联立解得，， 焦点在轴上，所以椭圆方程为：． 故选：． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是　　 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解答】解：当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得． 椭圆过点，，， 椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为． 故选：． 4.设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且到两焦点的距离之差为2，则△是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解答】解：由椭圆，得，，， 则，， 由椭圆的定义得：①， 又到两焦点的距离之差为2， 不妨设，则②， 联立①②得：，， 又，， △是直角三角形． 故选：． 5.（多选）已知点是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法错误的是　　 A．△的面积为 B．若点是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点的纵坐标为 D．△内切圆的面积为 【答案】ABC 【解答】解：对于，因为点是椭圆上的点， 则根据椭圆定义可得，则①， 因为，则在△中，由余弦定理， 即②， 由①②可得， 所以△的面积为，故错误； 对于，设，，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故错误； 对于，由可知，△的面积为， 则，解得，故错误； 对于，设△内切圆的半径为，因为△的面积为， 所以，即，解得， 所以△内切圆的面积为，故正确． 故选：ABC． 6．（多选）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题正确的是　　 A．椭圆的焦点坐标为， B．若，则 C．△的周长为16 D．设，则的最小值为 【答案】ABD 【解答】解：对于项，由题，则， 即曲线的焦点坐标为，，故正确； 对于项，先推导焦点三角形面积公式，在△中，设，，， 由余弦定理得 ， 解得：， 所以， ，解得：（负值舍去）， 所以，故错误； 对于项，三角形周长为：，故正确； 对于项，在三角形中，， 则， 所以当、、三点共线，并且在的上方时，有最小值， 即，故正确． 故选：ABD． 7.椭圆的焦距为4，则等于 . 【答案】4或8 【详解】由题意，若焦点在x轴上，； 若焦点在y轴上，； 综上：m=4或8 8．椭圆经过点，且与椭圆有相同的离心率，则椭圆的方程为 　　． 【答案】或． 【解答】解：椭圆的离心率为，故， 当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，由于该椭圆经过点，解得， 所以椭圆的方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，由于该椭圆经过点，解得， 故椭圆的方程为． 故答案为：或． 9．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆经过点． （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求△的面积． 【分析】（1）根据已知条件，求出，，，从而求出椭圆的标准方程； （2）根据椭圆的定义，求出，从而求得△的面积． 【解答】解：（1）椭圆的焦点为，，且该椭圆经过点， ， 设椭圆方程为， ，解得，， 椭圆的标准方程为； （2），， 根据抛物线的定义有： ， 整理得， △的面积为：． 【点评】本题考查椭圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10.如图，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）已知△的面积为，求，的值． 【分析】（Ⅰ）直接利用，求椭圆的离心率； （Ⅱ）设，则，利用余弦定理以及已知△的面积为，直接求，的值． 【解答】解：（Ⅰ）． （Ⅱ）设，则， 在三角形中， ．． △面积 ， ，． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$