圆的章节综合复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆 梳理　 (1)圆的标准方程:把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程 (2)圆的一般方程: 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 (3)　点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 (4)直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 (5)两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 类型一　圆的解析式 例1　 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________． 例2　 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 例3　已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 变式练习： 1、求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程． 3、已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 4、等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 5、.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 类型二　直线与圆的位置关系 例1　 、求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： ①相交；②相切；③相离． 例2、 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 例3　过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________． 例4、已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8. (1)证明：直线l与圆相交； (2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长． 变式训练： 1、过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________． 2、如果一条直线经过点M 且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 3、在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． 4、过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 类型三　圆与圆的位置关系 例1、已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 例2、已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　) A．1或3 B．4 C．0 D．2 例3、已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 变式练习： 1、圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________． 2、已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 课堂训练： 1、 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 2、 已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________． 3、已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程． 家庭作业： 1．圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0与圆x2+y2＝4的公共弦长为 　 　． 2．已知直线l1：x﹣2y+3＝0，直线l2：2x﹣y＝0，则直线l1与l2的交点坐标为 　 　． 3．已知直线l：y＝k（x﹣2）与圆M：x2+y2+2x+m＝0相交于A，B两点，当△AMB的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则m＝ 　 　． 4．若直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：3x+my﹣6＝0平行，则l1与l2的距离为 　 　． 5．两圆x2+y2﹣2y﹣3＝0与x2+y2+3x＝0的公共弦所在直线的方程为 　 　． 6．已知圆M：x2+y2﹣2ay+a2﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+3＝0有4条公切线，则a的取值范围为 　 　． 7．已知圆和圆． （Ⅰ）求证：圆C1和圆C2相交； （Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长． 8．已知直线l过点（﹣1，﹣1）且与圆C：x2+y2+4y+2＝0相切． （1）求直线l的方程； （2）若圆M与x轴相切，圆心在直线x﹣2y＝0上，且被直线l截得的弦长为，求圆M的标准方程． 9．已知直线l：2x﹣y+2＝0，圆C：（x﹣3）2+y2＝5． （1）求与直线l平行且与圆C相切的直线方程； （2）设直线l1⊥l，且l1与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l1的方程． 10．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点M（1，1）和点N（4，2），且圆心在直线2x+3y+1＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线x＝ty+3被圆C截得弦长为，求实数t的值 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$