精品解析：江苏省淮安市开明教育集团2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷

2022—2023学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的定义“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、2是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是分数，属于有理数，故不符合题意； D、是无理数，故符合题意； 故选：D． 3. 4的算术平方根是( ) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是算术平方根． 【详解】4的平方根是±2， 所以4的算术平方根是2． 故答案为：A 【点睛】考点：算术平方根的意义． 4. 某人一天饮水1.890升，用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为（ ） A. 2 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.90 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，将百分位上的数字四舍五入即可得解，熟练掌握求一个近似数的方法是解此题的关键． 【详解】解：用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为1.9， 故选：B． 5. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，3， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可得解． 【详解】解：A、，故5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； B、，故1，1，能构成直角三角形，不符合题意； C、，故1，2，能构成直角三角形，不符合题意； D、，故1，3，不能成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 6. 点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据关于y轴的对称点的坐标的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得解． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 7. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项解不等式，选择符合题意的一项． 【详解】图中数轴表示的解集是x<2． A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意， B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意， C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意， D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，主要是要细心． 8. 在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得． 【详解】解：A．此作图是作∠BAC平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意； B．此作图可直接得出CA＝CD，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，此作图正确，不符合题意； D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 点A（2，-3）在第______象限. 【答案】四 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】点A（2，-3）在第四象限． 故答案为四. 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 10. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 11. 比较大小：3______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 12. 如图，在数轴上点P表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得，再由作图可得：，即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由作图可得：， 故在数轴上点P表示的实数是， 故答案为：． 13. 若关于的方程的解为负数，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把看作常数求出方程的解是解题的关键．先求出方程的解，再根据题意列出关于的不等式即可求解． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为负数， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， 故答案为：13． 15. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、勾股定理，作于，证明为等腰直角三角形，再由平分线的性质定理可得，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是BC的中点，是边上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称—路径最短问题，解题的关键是确定动点在何位置时，使的值最小．过点作于，延长到，使，连接交于，此时的值最小，由对称性知，得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】过点作于，延长到，使 ，连接交于，此时的值最小， 是BC的中点， ， 连接，由对称性知， ， ，， ， 根据勾股定理可得：， 故答案为：． 三、计算与解答（8＋8＋8＋6＋6＋5＋5＋10＋10＝72分）． 17. 解决下面问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）先将系数化为1，再利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：去括号得：， 移项得：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 综上不等式组的解为． 19. 如图，正方形网格的边长为1，在网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）和直线L． 请在网格中按要求画图： （1）画出与关于直线L对称的；（要求A与，B与，C与相对应） （2）在直线L上找一点P，使得点P到点A、点B的距离相等； （3）填空：的面积______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）5． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、线段垂直平分线的性质、利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得解； （2）作线段的垂直平分线交直线L于P即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：点即为所求， 【小问3详解】 解：的面积． 20. 如图，在中，，是的中线，是的中线， （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质“三线合一”可得，由此即可求解； （2）由（1）得是直角三角形，由勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵是的中线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∵是的中线， ∴． 21. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，以为边在右下侧作等边，连接． （1）求证：； （2）______． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理． （1）由等边三角形的性质可得，，，再求出，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 22. 某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加垃圾分类志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 【答案】至少需要60名八年级学生参加活动 【解析】 【分析】设需要x名八年级学生参加活动，（100-x）名七年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于1800个，列不等式求解． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，(100-x)名七年级学生参加活动， 由题意列不等式为：20x+15(100-x）≥1800， 解得：x≥60． 答：至少需要60名八年级的学生参加活动． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，准确列出对应的不等式． 23. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 【答案】该河的宽度BC为120米 【解析】 【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离． 【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米， 设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2， 即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120． 答：该河的宽度BC为120米． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键. 24. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数． （1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组． 【答案】（1）证明： x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2, ＝4n2+n4﹣2n2+1， ＝n4+2n2+1， ＝（n2+1）2， ＝z2， 即x，y，z为勾股数． （2）第6组勾股数是：（13，84，85） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案． （2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【详解】（1） 略 （2）∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； ②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； ③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； ④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85， ∴第6组勾股数是：（13，84，85）． 【点睛】此题考查勾股定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股定理的等量关系是证明勾股定理的基础，根据已知的勾股数得到各组数据的规律是解题的关键. 25. 如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． （1）填空：______；（用含t的代数式表示） （2）求证：； （3）如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； （4）当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）； （4）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据，点P的运动速度即可得出代数式； （2）根据折叠的性质及平行线的性质即可得出结论 （3）先证，得，根据折叠性质得，根据勾股定理得，可得结论； （4）分两种情况：点E在矩形的内部时，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，先求解，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵沿着翻折得到， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴ ∴； 【小问4详解】 存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时， 如图，如图，过点P作于H，过点Q作于G， ， ∵， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ， 解得：； 经检验，符合题意， 当点E在矩形的外部时 如图， ∵， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（此时P与C重合）， 综上，存在这样的t值，使得，t的值为秒或5秒． 【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 26. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． （1）如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； （2）如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； （3）若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】（1） （2） ①如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是“等腰四边形”； ② （3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得，，根据等边对等角，三角形的内角和定理可得，，，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，可得是等边三角形，由，可得，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证，得到，如图所示，过点作，，当点三点共线时，时，值最大，由此即可求解； （3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示，，可得，；第二种情况：如图所示，，可得，是等边三角形；第三种情况：如图所示，，设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，可证四边形是矩形，是等边三角形，；由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②如图所示，连接， 由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，， 当点三点共线时，时，值最大， 故答案为； 【小问3详解】 解：第一种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形，且， ∴菱形是正方形， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，， ∴， ∵，即，，，即， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 4的算术平方根是( ) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 16 4. 某人一天饮水1.890升，用四舍五入法将“1.890”精确到0.1得到的近似数为（ ） A. 2 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.90 5. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，3， 6. 点关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 点A（2，-3）在第______象限. 10. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 11. 比较大小：3______． 12. 如图，在数轴上点P表示的实数是______． 13. 若关于的方程的解为负数，则的取值范围是_____． 14. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 15. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，，，则______． 16. 如图，在中，，，是BC的中点，是边上的一个动点，则的最小值是______． 三、计算与解答（8＋8＋8＋6＋6＋5＋5＋10＋10＝72分）． 17. 解决下面问题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 解不等式（组）： （1）； （2）． 19. 如图，正方形网格的边长为1，在网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）和直线L． 请在网格中按要求画图： （1）画出与关于直线L对称的；（要求A与，B与，C与相对应） （2）在直线L上找一点P，使得点P到点A、点B的距离相等； （3）填空：的面积______． 20. 如图，在中，，是的中线，是的中线， （1）求的度数； （2）若，，求的长． 21. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，以为边在右下侧作等边，连接． （1）求证：； （2）______． 22. 某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加垃圾分类志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 23. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 24. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数． （1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组． 25. 如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． （1）填空：______；（用含t的代数式表示） （2）求证：； （3）如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； （4）当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 26. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． （1）如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； （2）如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； （3）若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $