4.3.2 等比数列的前n项和公式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 等比数列前n项和基本量计算 1．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 2．（24-25高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高二上·云南昆明·月考）（多选）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二下·四川南充·月考）（多选）已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 等比数列的片段和性质应用 1．（23-24高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 2．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 3．（24-25高二上·甘肃金昌·月考）设是等比数列的前项和，若，则 . 4．（23-24高二下·江西赣州·月考）已知是等比数列的前项和，若，则 . 题型三 等比数列奇偶项和性质应用 1．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 2．（24-25高二上·上海·月考）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 3．（24-25高二上·福建龙岩·月考）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（23-24高三上·山东威海·月考）已知等比数列的公比，且，则 . 题型四 等比数列Sn与an的关系 1．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏常州·月考）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（    ） A．192 B．190 C．180 D．182 3．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 等比数列前n项和的实际应用 1．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . 1．（24-25高三上·山东济南·月考）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 4．（23-24高二下·四川南充·期中）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 5．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 6．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 等比数列前n项和基本量计算 1．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 【答案】D 【解析】由等比数列的通项公式可得， 整理得，解得或． 当1时，； 当时，． 所以的值为2或17．故选：D． 2．（24-25高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得.故选：B. 3．（23-24高二上·云南昆明·月考）（多选）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【解析】根据题意设等比数列的首项为，公比为， 当时，由可得，则满足题意，此时； 当时，由可得， 两式相除整理可得，解得，此时. 综上可得或.故选：BD 4．（23-24高二下·四川南充·月考）（多选）已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设数列的公比为，由题意可得， 则有，， 即， 故，则，即， 故，则， 故B、C、D正确，A错误.故选：BCD. 题型二 等比数列的片段和性质应用 1．（23-24高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 【答案】C 【解析】由，由题设易知：、、、成等比数列， 所以，即， 同理，即.故选：C 2．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【解析】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即，所以. 故答案为：210 3．（24-25高二上·甘肃金昌·月考）设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【解析】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江西赣州·月考）已知是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】5 【解析】因为是等比数列的前项和， 所以，，，成等比数列， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，所以. 故答案为：5. 题型三 等比数列奇偶项和性质应用 1．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【解析】设数列共有项， 由题意得，， 则，解得， 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·月考）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】 【解析】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得解得 所以． 故答案为：. 3．（24-25高二上·福建龙岩·月考）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（23-24高三上·山东威海·月考）已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【解析】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 题型四 等比数列Sn与an的关系 1．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D. 2．（23-24高二上·江苏常州·月考）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（    ） A．192 B．190 C．180 D．182 【答案】B 【解析】当时，， 当时，， 经检验满足上式，所以， 设，则 ， 所以.故选：B 3．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以．故选：C. 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，.故选：C 题型五 等比数列前n项和的实际应用 1．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【解析】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．故选：C． 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以，解得.故选：D． 3．（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【答案】192 【解析】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列. 由题意得，解得， 所以该人第一天走的路程为192里. 故答案为：192 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . 【答案】5 【解析】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，第次操作， 去掉的线段长度为，则， 由，， 所以的最大值为5. 故答案为：5. 1．（24-25高三上·山东济南·月考）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确.故选：C. 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【答案】B 【解析】因为两个等比数列的公比相等，设为， 则，且， 故，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前7项和．故选：B. 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数，， 而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 4．（23-24高二下·四川南充·期中）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【答案】ACD 【解析】由，则或， ，，和同号，且同为正，且一个大于1，一个小于1， ，，，即数列的前2022项大于1， 而从第2023项开始都小于1， 对于A，公比，故A正确， 对于B，，，即，故B错误， 对于C，， ，，即，故C正确． 对于D，等比数列的前项积为， 且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1， 故是数列中的最大项，故D正确.故选：ACD. 5．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【解析】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为，所以. 故答案为：1； 6．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）已知，两边取倒数得，所以， 又，所以数列为首项为2公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$