第五章 复数 单元测试-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第五章 复数 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．复数（    ） A． B． C． D． 3．已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．若复数，则的虚部是（    ） A． B． C．2 D．1 5．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 7．把复数z的共轭复数记作，已知（i为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．已知是虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，互为共轭复数，则 B．若复数满足，则复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上 C．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 D．若是关于的方程的一个根，其中，为实数，则 三、填空题 9．若复数：，则 ． 10．若复数为虚数单位），则 ． 11．计算：＝ . 12．定义运算，则符合条件的复数_______． 四、解答题 13．设z是虚数，是实数，且． (1)求z的实部的取值范围； (2)设，求证：u为纯虚数． 14．已知复数，是实数. （1）求复数的平方根 （2）若复数所表示的点在第三象限，求实数的取值范围 15．当实数x取何值时，是实数?虚数?纯虚数? 16．（1）计算：； （2）若复数在复平面对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B BC ACD 1．B 【分析】利用复数的除法法则进行求解. 【详解】. 故选：B. 2．C 【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：C. 3．A 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为复数（为虚数单位）， 则， 因此，. 故选：A. 4．C 【分析】根据复数的除法运算化简求出，即可求出虚部. 【详解】因为，所以，虚部为2. 故选：C. 5．D 【分析】写出共轭复数，然后由复数乘法计算． 【详解】由已知，所以． 故选：D． 6．B 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求得答案 【详解】解：因为， 所以，其在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B 7．BC 【分析】根据，可得，然后结合复数的运算法则，分别判断各选项即可 【详解】由，可得，有： ，选项A错误． ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错误． 故选：BC． 8．ACD 【分析】根据复数的相关概念及复数的运算直接可判断各选项. 【详解】A：设，则，则，A正确； B：设复数，则其对应的点为，， 所以，即， 所以复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，B错误； C：由已知，， 则，对应的复数为，C正确； D：易知方程的两个根互为共轭复数， 设分别为与，又， 则，且，所以，D正确； 故选：ACD. 9．2 【分析】利用，先得到，然后求出. 【详解】因为，，，，且， 所以 ， 所以． 故答案为：2． 10． 【分析】将复数化为三角形式即可得辐角. 【详解】设复数的辐角为， 由 所以 故答案为： 11．－2＋i/i-2 【分析】利用复数的运算法则运算即得. 【详解】法一：＝－2＋i. 法二： ＝＝ ＝＝－2＋i. 故答案为：－2＋i. 12． 【分析】利用给定定义，列出等式，再利用复数的除法运算求解作答. 【详解】依题意，，即，， 所以. 故答案为： 13．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，应用复数的四则运算求，结合其类型得，进而求出的范围即可； （2）利用复数的除法运算化简，结合（1）的结论和纯虚数的定义证明. 【详解】（1）设， 则． ∵ω是实数， ∴，又， ∴，此时． ∵， ∴，即z的实部的取值范围为． （2）由（1），， ∵， ∴．又，， ∴u是纯虚数． 14．（1）或；（2） 【分析】（1）首先根据复数代数形式的除法运算化简，根据为实数，则虚部为零，即可求出参数的值，从而求出的平方根； （2）首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再写出其在复平面内所对应的点的坐标，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：（1）因为，所以，因为是实数，所以，所以，所以，所以，所以的平方根为或 （2），在复平面内对应的点为，因为点位于第三象限，所以解得 15．或；且；. 【分析】根据复数的分类条件列等式或不等式求解即得. 【详解】复数是实数，当且仅当，解得或， 所以或时，是实数； 是虚数，当且仅当，解得且， 所以且时，是虚数； 是纯虚数，当且仅当，解得， 所以时，是纯虚数. 16．（1）；（2） 【分析】（1）由复数的周期化简，再由求模运算计算结果即可； （2）根据对应点坐标的范围列不等式组求解即可. 【详解】（1）原式 （2）由题 学科网（北京）股份有限公司 $$