第五章 数列 单元测试卷-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第五章 数列 单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．数列1，，， ，的前n项和为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，，则（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 3．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（    ） A．4 B．－4 C．±4 D．不确定 4．在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．记等差数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6．已知前项和为的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（    ） A．数列都有奇数个项 B．6级Farey数列中，中间项为 C．6级Farey数列共有11项 D．6级Farey数列各项的和为 8．在数学中，．已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 三、填空题 9．若数列{}为等差数列，，则数列{}的前9项和= . 10．已知等差数列的前n项和为，且，则 . 11．数列满足，若，则 . 12．在等差数列中，若，则 ． 四、解答题 13．在数列中，，求通项公式 14．已知各项为正的数列满足，. (1)若，求，，的值； (2)若，证明：. 15．为数列的前项和，为数列的前项积，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 16．设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A D B BD ABC 1．B 【分析】设此数列的第n项为，先求出此数列的通项，再分求和求出前n项的和即可. 【详解】设此数列的第n项为，则 所以数列前n项和为： ， . 故选：B. 2．B 【分析】根据，求出，然后用公式计算即可. 【详解】在等数列中，， 所以， 解得， 所以， 故选：B. 3．A 【解析】根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值. 【详解】由题意知：，且若令公比为时有， ∴， 故选：A 4．A 【分析】设等比数列的公比，利用等比数列的通项公式求得，结合进行讨论求解. 【详解】设等比数列的公比，（其中）， 因为，可得， 即，解得或（舍去） 又因为，所以， 即，所以， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的最小值为. 故选：A. 5．D 【分析】利用题给条件列出关于首项公差d的方程组，解之即可求得的值. 【详解】设等差数列的首项为，公差为d， 则，解之得 故选：D 6．B 【分析】利用赋值法，分别令求出，，再令可得，再由可求得结果 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 同理， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 故选：B 7．BD 【分析】根据题意计算出1级Farey数列和6级Farey数列，即可得到结果. 【详解】1级Farey数列各项为：，，A错误； 6级Farey数列：，，，，，，，，，，，，， 共有13项，中间项为，各项的和为，故B正确，C错误，D正确. 故选:BD. 8．ABC 【分析】对A：根据数列单调性的定义分析证明；对B：作差并结合数列的单调性可判断；对C：可得，结合裂项相消法分析运算；对D：先证，结合累积法可得，再根据等比数列求和分析运算. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，而，可得，故，即，故数列是递增数列，A正确； 对B：， 由A知：对， 当且仅当时，等号成立，故，B正确； 对C：，则，而，即， ，即， 故 ， 可得，C正确； 对D：，而，则， 故，可得，则， 当时，则 ， 当时，，故．则，D错误； 故选：ABC. 9． 【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案. 【详解】. 故答案为： 10．0 【分析】利用等差数列前n项和公式进行求解即可. 【详解】在等差数列中，设公差为，， 所以有， 因此， 故答案为： 11．/ 【分析】由递推关系与，逐项逆推可得. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 12． 【分析】根据等差数列的通项间的关系求解即可. 【详解】根据等差数列的性质，，，故，即， . 故答案为： 13． 【分析】对原递推式两边同除以，令，得到数列是等差数列，由此即可得解. 【详解】对原递推式两边同除以可得: ① 令② 则①即为:， 则数列为首项是，公差是2的等差数列， 因，代入②式中得， 故所求的通项公式是. 14．(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由与递推关系即可逐一求解； （2）先证明，整理成即可证明，再证明，易证，可得，利用累乘法可得，再结合即可证明 【详解】（1）由可得， ∵数列各项为正，， ∴即，即， 即； （2）时，， ①先证：： 由可得，∴， ∴与同号，又，∴，∴； ②再证：： ∵，∴，∴， 当时，即， 所以，，， 以上式子相乘得， ∴； 又，满足， ∴， 综上所述， 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是对表达式的灵活变形，对变形，得到，然后可以结合累乘法可得到，即可得证 15．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据，代入得到，即可证明数列是等差数列. （2）首先根据（1）得到得到，再根据和的关系求解即可. 【详解】（1）当时，，即，解得. 当时，，所以，所以， 即是以，公差为2的等差数列. （2）因为的通项公式为， 所以当时， 当时， 又因为， 所以数列的通项公式为：. 16．(1)1 (2) 【分析】（1）令、及三个数成等差数列列方程组求解即可. （2）运用数列通项与其前n项和关系并构造数列可求得的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以令得：，即：①， 令得：，即：②， 又因为，，成等差数列， 所以，即③， 将③代入①②可得，即 由①②③得：，，故的值为1. （2）因为， 当时，， 两式作差可得：， 所以，， 由（1）知，， 所以， 即：，， 将代入得：，符合， 综上，. 故数列的通项公式为. 学科网（北京）股份有限公司 $$