项目三 立体的投影（课件）--《机械制图》 同步教学（电子工业出版社）

机械制图 立体的投影 项目三 PART 02 切割体和相贯体的投影 PART 01 基本立体的投影 目录 contents Part 1. 基本立体的投影 一、三视图的形成 三视图的形成如图 3.1 所示。 点、线、面、立体等几何元素在三面(V 面、H 面、W 面)投影体系中的投影,称为三面投影。 每个物体在长、宽、高三个方向都有尺寸大小,为了得到能反映物体真实形状和大小的视图,将物体正放在三投影体系中,对物体向三个投影面进行正投影,就会得到物体的三面投影图。 这种将物体向投影面进行正投影所得到的图形,称为视图。 物体在三面(V 面、H 面、W 面)投影体系中的投影称为三视图。 物体在三面投影体系中的投影如图 3.1(a)所示,V 面投影为主视图; H 面投影为俯视图;W 面投影为左视图。 二、三视图的投影关系 从三视图的形成过程和投影面展开的方法中,可明确以下关系。 (1)位置关系。 一般主视图不动,俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方。 (2)方位关系。 任何物体都有前、后、上、下、左、右六个方位,而每个视图只能表示其四个方位,如图3.2所示。 在三视图中,靠近主视图的一面是物体的后面,远离主视图的一面是物体的前面。 (3)三等关系。 如图 3.3 所示为三视图的三等关系,任何物体都有长、宽、高三个尺度,若将物体左右方向(X 方向)的尺度称为长,上下方向(Z 方向)尺度称为高,前后方向(Y 方向)尺度称为宽,则在三视图上,主、俯视图反映了物体的长度,主、左视图反映了物体的高度,俯、左视图反映了物体的宽度。 (一)平面立体 平面立体主要有棱柱体、棱锥体(包括棱锥体)等。 在投影图上表示平面立体就是把组成立体的表面和棱线表示出来,然后判别其可见性,把可见棱线的投影画成粗实线,不可见棱线的投影画成虚线。 三、基本立体的投影及其表面上点的投影 1.棱柱体 棱柱体是由平行多边形的上下底面和几个矩形的侧棱面围成的立体。常见的棱柱体有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。 下面以正六棱柱为例说明其投影特性及表面上取点的方法。 (1)投影分析。 如图 3.5 所示,正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面围成。 顶面、底面分别由六条底棱线围成(正六边形);每个侧棱面又由两条侧棱线和两条底棱线围成(矩形)。 正六棱柱的顶面、底面均为水平面,其水平投影反映顶面、底面的实形,且互相重合;其正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线;其顶面、底面各有六条底棱线,其前、后两条为侧垂线,其他四条为水平线;其六条侧棱线均为铅垂线。 正六棱柱有六个侧棱面,前后两个棱面为正平面,其正面投影重合,且反映实形;水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应投影轴的直线,其余四个侧棱面都为铅垂面,其水平投影分别积聚成倾斜直线;正面投影和侧面投影均为类似形(矩形),且两侧棱面投影对应重合。 由于六个侧棱面的水平投影均有积聚性,故与顶面、底面边线(底棱线)的水平投影重合。 (2)作图步骤。 作正六棱柱的对称中心线和底面基线,先画出具有轮廓特征的俯视图———正六边形。 按长对正的投影关系,量取正六棱柱的高度画出主视图,再按高平齐、宽相等的投影关系画出左视图。 正六棱柱投影的作图方法和步骤如图 3.6 所示。 (3)棱柱体表面上点的投影。 在平面立体表面上取点,其原理和方法与平面上取点相同,由于正六棱柱的各个表面都处于特殊位置,所以,在其表面上取点均可利用平面投影积聚性作图,并表示可见性。 例如,在正六棱柱表面上有一点 M,已知其正面投影 m′,要作出水平投影 m和侧面投影 m″,如图 3.5 所示。 由于点 M 的正面投影是可见的,所以点 M 必定在左前方的面ABCD 上。 而此棱面是铅垂面,此水平投影积聚成一条线,因此点 M 的水平投影 m 必在此直线上,再根据 m 和 m′,求出 m″。 由于棱面 ABCD 处于左前方,侧面投影可见,所以其上的点 M 的侧面投影也可见。 2.棱锥体 棱锥体是由一个底面为多边形,棱面为几个具有公共顶点的三角形所围成的立体。 常见的棱锥体有三棱锥、四棱锥、五棱锥和六棱锥等。 正放的正三棱锥的直观图及投影图如图 3.7所示。 正三棱锥由一个底面和三个侧棱面围成。 底面由三条棱线围成(正三角形),三个侧棱面由三条侧棱线和三条底棱线围成(三个实形大小相等的等腰三角形)。 (二)曲面立体 工程上常见的曲面立体为回转体。 常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。 它是由回转面或回转面与平面所围成的立体。 回转面是由一母线(直线或曲线)绕定轴回转而成的曲面。 在投影图上,表示回转体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。 1.圆柱体 如图 3.9 所示为圆柱体的投影,圆柱体表面是由圆柱面和上、下两底面(平面)所组成的。 圆柱面可以看作一条母线围绕与它平行的轴线回转而成。 圆柱面上任意一条平行于轴线的直线,称为圆柱面的素线。 (1)投影分析。 ①H 面投影为一圆形。 ②V 面投影为一矩形。 ③W 面投影为一矩形。 (2)作图步骤。 ①用点画线画出圆柱体各投影的轴线、中心线。 ②由直径作水平投影圆。 ③由“长对正”和高度作正面投影矩形。 ④由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。 (3)圆柱表面上点的投影。 圆柱共有三个表面,至少有一个投影有积聚性,所以,求圆柱表面上点的投影,无论点在哪个表面上,都可以利用积聚性去求得。 2.圆锥体 圆锥体表面是由圆锥面和底面所围成的。 圆锥面由一条直母线绕与它相交的轴线回转而成。 在圆锥面上通过锥顶的任意直线称为圆锥面的素线。 (1)投影分析。 圆锥体的投影如图 3.11 所示。 H 面投影为一圆,它是圆锥底面和圆锥面的重合投影。 V 面投影为一等腰三角形,三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影,三角形的腰 s′a′和 s′b′分别是圆锥面上最左边素线 SA 和最右边素线 SB 的 V 面投影;三角形框是圆锥面前半部分和后半部分(SA 和 SB 将圆锥面分为前后两部分)的重合投影,前半部分可见,后半部分不可见。 W 面投影亦为一等腰三角形,三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影,三角形的腰 s″c″和s″d″分别是圆锥面上最前边素线 SC 和最后边素线 SD 的 W 面投影;三角形框是圆锥面左半部分和右半部分(SC 和 SD 可将圆锥面分为左右两部分)的重合投影,左半部分可见,右半部分不可见。 (2)作图步骤。 ①用点画线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线。 ②画出底面圆的三面投影。 ③依据圆锥的高度画出圆锥体顶点 S 的三面正投影。 ④画出圆锥体轮廓线的三面正投影,即连接等腰三角形的腰。 (3)求圆锥表面上点的投影。 根据圆锥表面的结构特点,当求圆锥表面上点的投影时,要根据给定的条件,分析点是位于底平面,还是位于圆锥面。 若点位于底平面,则要利用底平面是特殊位置平面,其投影图形有积聚性的特点去求得点的投影;若点位于圆锥面,由于圆锥表面的投影图没有积聚性,则要用辅助素线法或者辅助圆法去求得点的投影。 3.圆球体 圆球体是由圆球面所围成的。 由于通过球心的直线都可作旋转轴,所以圆球面的旋转轴可以根据需要确定。 (1)投影分析。 圆球体的投影如图 3.13 所示,圆球体的三面投影都是大小相等的圆,是球体在三个不同方向的轮廓线的投影,其直径与圆球体球径相等。 V 面投影的圆 a 是球体前半部分球面与后半部分球面的重合投影,前半部分可见,后半部分不可见,圆周 a 是球面上平行于 V面的最大圆 A 的投影。 H 面投影的圆 b 是球体上半部分的球面与下半部分球面的重合投影,上半部分可见,下半部分不可见,圆周 b 是球面上平行于 H 面的最大圆 B 的投影。 W 面投影的圆 c 是球体左半部分球面与右半部分球面的重合投影,左半部分可见,右半部分不可见,圆周 c是球面上平行于 W 面的最大圆 C 的投影。 球面上 A、B、C 三个大圆的其他投影均与相应的中心线重合,这三个大圆分别将球面分成前后、上下、左右六部分。 (2)作图步骤。 ①用点画线画出圆球体各投影的中心线。 ②以球的直径为直径画出三个等大的圆,如图 3.13(d)所示。 (3)求圆球表面上点的投影。 由圆球投影图形特征可知,圆球表面的三个投影图形都没有积聚性,可利用辅助圆法求圆球表面上点的投影。 (三)基本立体的尺寸标注 物体的视图,只能表达物体的形状及各部分的相互位置关系,但不能确定其真实大小。 物体的真实大小,必须由尺寸来确定。 1.平面立体 对于平面立体,一般应标注其底面尺寸和高度尺寸。 当底面为正多边形时,可标注其外接圆直径;当底面为正方形时,可直接标注其对边距。平面立体的尺寸标注如图 3.14 所示。 2.曲面立体 在标注曲面立体的尺寸时,一般应标注其轴向尺寸和径向(直径)尺寸。 其中,径向尺寸具有双向尺寸功能,这不仅可以减少一个方向的尺寸,还可以省略一个投影。 圆柱、圆锥、圆台在直径数字前加注符号“∅”,而圆球在直径数字前加注符号“S∅”。 曲面立体的尺寸标注如图 3.15所示。 Part 2. 切割体和相贯体的投影 一、切割体的投影 (一)截交线 基本立体被平面截切后的部分,称为切割体,截切基本立体的平面称为截平面,基本立体被截切后的切面称为截切面,截平面与基本立体表面的交线称为截交线,如图 3.16 所示。 所有的截交线都具有以下基本性质。 (1)共有性。 截交线是截平面与立体表面的共有线,既在截平面上,又在立体表面上,是截平面与立体表面共有点的集合。 (2)封闭性。 由于立体表面是有范围的,所以截交线一般是封闭的平面图形(平面多边形或曲线)。 由平面立体截切得到的切割体,叫作平面切割体。求作平面立体上的截交线,可以归纳为以下两种方法。 (1)交点法。 交点法即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点,然后将各点依次连接起来,即得截交线。 连接各交点有一定的原则:只有两点在同一个表面上时才能连接,可见棱面上的两点用实线连接,不可见棱面上的两点用虚线连接。 (2)交线法。 交线法即求出平面立体的各表面与截平面的交线。 一般常用交点法求截交线的投影。 两种方法不分先后,可配合运用。 1.棱柱上的截交线 作五棱柱的截交线如图 3. 17 所示,首先作五棱柱被正垂面 PV 截切后的投影图,如图 3.17(a)所示。 分析:截平面与五棱柱的五个侧棱面均相交,与顶面不相交,故截交线为五边形。 作图: (1)由于截平面为正垂面,故截交线的 V 面投影为 a′b′c′d′e′,于是截交线的 H 面投影abcde亦确定。 (2) 运用交点法,依据主、左视图“高平齐” 的投影对应关系,作出截交线的 W 面投影为a″b″c″d″e″。 (3)五棱柱截去左上角,截交线的 H 面和 W 面投影均可见。 截去的部分,棱线不再画出;在 W 面投影中,被遮挡的侧棱线应画为虚线。 (4)检查、整理、描深图线,完成全图,如图 3.17(b)所示。 2.棱锥上的截交线 作四棱锥的截交线如图 3.18 所示。 分析: (1)截平面 P 与四棱锥的四个棱面都相交,截交线是一个四边形。 (2)截平面 P 是一个正垂面,其正面投影具有积聚性。 (3)截交线的正面投影与截平面的正面投影重合,即截交线的正面投影已确定,只需求出水平投影。 作图: (1)因为正垂面 PV 具有积聚性,所以正垂面 PV 与 s′a′、s′b′、s′c′和 s′d′的交点 1′、2′、3′和 4′,即为空间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的正面投影。 (2)利用从属关系,向下引铅垂线求出相应的点 1、2、 3 和 4。 (3)四边形 1234 为截交线的水平投影。 线段 1′2′3′4′为截交线的正面投影。 各投影均可见。 (4)检查、整理、描深图线,完成全图,如图 3.18(b)所示。 (三)回转切割体的投影 由曲面立体截切得到的切割体,叫作回转切割体。 1.圆柱切割体 平面与圆柱面相交,根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同,所得的截交线有三种情况。 (1)当截平面垂直于圆柱的轴线时,截交线为一个圆。 (2)当截平面倾斜于圆柱的轴线时,截交线为椭圆,此椭圆的短轴平行于圆柱的底圆平面,短轴的长度等于圆柱的直径;椭圆长轴与短轴的交点(椭圆中心)落在圆柱的轴线上,长轴的长度随截平面相对轴线的倾角不同而变化。 (3)当截平面经过圆柱的轴线或平行于轴线时,截交线为两条素线。 如图 3.19 所示为正垂面与圆柱相交的切割体,作正垂面与圆柱的截交线。 2.圆锥切割体 当平面与圆锥相交时,根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同,可产生 5 种不同形状的截交线。 (1)当截平面垂直于圆锥的轴线时,截交线必为一个圆。 (2)当截平面倾斜于圆锥的轴线,并与所有素线相交时,截交线必为一个椭圆。 (3)当截平面倾斜于圆锥的轴线,但与一条素线平行时,截交线为抛物线。 (4)当截平面平行于圆锥的轴线,或者倾斜于圆锥的轴线但与两条素线平行时,截交线必为双曲线。 (5)当截平面通过圆锥的轴线或锥顶时,截交线必为两条素线。 (2)PV面与圆锥最左、最右素线的交点,即为椭圆长轴的端点Ⅰ、Ⅳ,即椭圆长轴平行于 V面,椭圆短轴垂直于 V 面,且平分椭园长轴。 (3)截交线的 V 面投影重合在 PV上,H 面投影、W 面投影仍为椭圆,截交线椭圆的长、短轴投影仍为椭圆投影的长、短轴。 如图 3.20 所示为正垂面与圆锥的截交线,作截交线的投影及实形。 分析: (1)因为截平面 P 是正垂面,P 面与圆锥的轴线之间有倾斜角度并与所有素线相交,所以截交线为椭圆。 作图: (1)求长轴端点。 (2)求短轴端点。 (3)求最前、最后素线与 P 面的交点Ⅱ和Ⅲ。 (4)求一般点Ⅶ、Ⅷ。 (5)连接各点并判别可见性。 (6)求截面的实形(略)。 (7)检查、整理、描深图线,完成全图,如图 3.20(b)所示。 3.圆球切割体 球体上的截平面不论其角度如何,所得截交线的形状都是圆,称为截交圆。 截平面距球心的距离决定截交圆的大小,经过球心的截交圆是最大的截交圆。 例 3.4 半圆球切口的截交线如图 3.21 所示,画出其投影。 分析:该半圆球是被三个截平面截切,其位置是两个左右对称的侧平面和一个水平面。 两个截平面各截得一段平行于侧面的圆弧,而水平面截得前后各一段水平的圆弧,截平面之间的交线为正垂线。 作图:(1)画出 1 / 2 圆球原始形状的投影,如图 3.21(a)所示。 (2)以 R2 为半径作出两个侧截平面的截交线的侧面投影(两平面重合),它与水平截平面交于 d″(g″)c″(f ″),如图 3.21(c)所示。 再根据其 d′(g′) c′(f′)和 d″(g″) c″(f ″)分别作出两侧截切面的水平面积聚投影。 (3)以 R1 为半径作出水平截平面 CDGF 的截交线的水平投影,如图 3.21(b)所示。 在球侧面投影的转向轮廓线中,处在两侧截切面以上的部分为被切掉部分,不必画出。 在水平截平面的侧面投影中,处在点 d″、c″之间的直线被半部分球面挡住,故画虚线。 作图结果如图 3.21(d)所示。 (四)切割体的尺寸标注 当切割体被截平面截切时,往往会出现切口和穿孔的结构。 因此,除标注切割体的基本立体的尺寸以外,还应标注截平面的位置尺寸。 截交线的尺寸不必标注,因为基本立体与截平面的相对位置一旦确定,切割体的形状与大小也就完全确定下来了。 1.带斜面和切口的基本立体 这类形体除标注基本立体的尺寸以外,还要标注确定斜面和截平面位置的尺寸。 因为切口交线是由截平面位置确定的,是截平面截断形体而产生的截交线,所以不需要标注其尺寸。 若标注其尺寸,则属于错误尺寸。 带斜面和切口的基本立体及尺寸标注如图 3.22所示。 2.带凹槽和穿孔的基本立体 这类形体除标注基本立体的尺寸以外,还须标注槽和孔的大小和位置尺寸。 带凹槽和穿孔的基本立体及尺寸标注如图 3.23 所示。 二、相贯体的投影 (一)相贯体和相贯线 在机件上常见到两个基本立体相交(或称相贯),其表面会产生交线。 相交的基本立体称为相贯体,它们表面的交线称为相贯线,如图 3.24 所示。 由于相贯体的几何形状、大小和相对位置不同,所以相贯线的形状也不相同,但相贯线具有共同的基本性质。(1)共有性。(2)封闭性。 (二)利用积聚性作相贯线 因为相贯线是相交两基本立体表面的共有线,所以它既从属于一个基本立体的表面,又从属于另一个基本立体的表面。 如果基本立体的投影有积聚性,则相贯线的投影一定积聚于该基本立体有积聚性的投影上。 利用积聚性作相贯线如图 3.25 所示,已知相交两圆柱直径不等,且轴线垂直正交,求作其相贯线。 分析: 两圆柱轴线垂直相交为正交,这是一个铅垂小圆柱与水平大圆柱正交。 其相贯线的水平投影积聚在铅垂小圆柱的水平投影上;相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱的侧面投影圆上的 3″1″7″这段弧上,如图 3.25(b)所示。 得知相贯线两面投影后,即可求出其正面投影。 作图: (1)求特殊点。 由相贯线的已知投影,找出相贯线的特殊位置点。 (2)求一般位置点。 利用相贯线的积聚性,求一般位置点的正面投影。 (3)连点并判别可见性。 将所求各点按分析出的对称性、可见性,依次光滑连线,即得相贯线的正面投影,如图 3.25(d)所示。 (三)两曲面体相贯的特殊情况 在一般情况下,两曲面回转体的相贯线是空间曲线,但在特殊情况下,也可能是平面曲线。 当两个回转体具有公共轴线时,其相贯线为圆,该圆的正面投影为一直线段,水平投影为圆,如图 3.27 所示。 当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥相交,且公切于一个球面时,相贯线为两个垂直于 V 面的椭圆,椭圆的正面投影积聚为直线段,如图 3.28 所示。 (四)相贯体的尺寸标注 因为相贯体是由两基本立体相交得到的,所以只有在相交的两基本立体的形状、大小及相对位置确定以后,相贯体的形状、大小及相对位置才能完全确定下来。 同时,除标注相交的两基本立体的尺寸以外,还应标注两基本立体相对位置的尺寸,但不必标注相贯线的尺寸。 相贯体的尺寸标注如图 3.29 所示。 谢谢大家 $$