空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题复习讲义 考点一 空间向量与立体几何：动点问题 1.动点的表示方法： （1）若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. （2）若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量. 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点， ∵底面是菱形，∴，且，互相平分． 又，∴，， 连接，交于点，连接， 则平面， ∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，． ∴，∴， ∴， ∴时，． ∵， ∴． （2）由（1）可得， ，， 设平面的法向量为， 则即 ∴，令，得， 则， 设与平面所成角为， 则， 化简得 解得或（舍去）． 所以. 2．（23-24高二上·福建·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．    (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在平行四边形中，因为，， 所以，故， 由E、F分别为的中点，得，所以， 因为底面，底面ABCD，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）    因为底面，，所以两两垂直， 分别以所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则， 所以，由已知， 即，所以 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，得， 所以， 化简得，故或（舍）. 所以. 3．（23-24高二上·山东泰安·期末）如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值是，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）分别为的中点，． 平面 平面，平面，， 是二面角的平面角，． ，为等边三角形， ． 平面， 平面， 又平面，. （2）设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，， ， ， 设平面的法向量为，则 即， 取，则， 设， ， 设与平面所成的角为，则 ， 解得或（舍） . 4．（23-24高二下·云南大理·期末）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，.    (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，则，即， 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 又因为，可得， 所以.    （2）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得. 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面为正方形，底面， 如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以； （2）因为， 所以， 所以，， 当为钝角时，， 化简得，解得， 显然不平行，所以； （3）因为，，显然， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 又平面的一个法向量为， 则有，解得， 又由已知，所以. 所以，， 由， 所以点到平面的距离为. 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在五面体中，已知，且，. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：且平面， 平面， 平面平面平面， 取的中点的中点，连接， ， 又平面，平面平面，平面平面， 平面， 又， 所以，且， 四边形为平行四边形，， 面，则平面， 又面，所以平面平面. （2）因为，则， 因为平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于， 设平面的法向量为， 由，取， 可得， 由题意可得， . 整理可得，解得或（舍去）， ，则， 综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于. 考点二 空间向量与立体几何：边长缺失问题 条件缺失型问题为近年常考问题，条件缺失型主要是指缺少边长问题或动点问题，导致无法在空间直角坐标系中表示点的坐标。 但此类问题经常会给出其他条件，通过翻译该条件可以求出几何体的所有边长或动点位置。 1．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，． 由余弦定理得 ， 所以，故， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）做交于点，所以四边形是长方形， 因为，，所以， 因为，所以， 由（1）知，互相垂直，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 解得，所以， 所以线段的长为． 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 所以平面平面. （2）取中点为，连接，， 则，即四边形为矩形，则， 又平面平面，显然两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 由点是的重心，得，则， 又，设平面的一个法向量， 则，取，得，设与平面所成角为， ，化简得， 解得或，即或，所以的长度为或. 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，平面，在平面的同侧，，，，. (1)若四点在同一平面内，求线段的长； (2)若，平面与平面的夹角为，求线段的长. 【答案】(1)1； (2) 【详解】（1），平面，平面，平面， ，则四点共面， 平面，平面，平面平面，，又，则四边形是平行四边形， ； （2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，， 设是平面的一个法向量， 由，得，令，可得， 可得， 设是平面的一个法向量， 由，得，令，可得， 可得， 依题意， 解得，. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 考点三 空间向量与立体几何：最值问题 求最值常见方法： （1）二次函数法：若，当时，有最值； （2）基本不等式法：若且，则，，当且仅当_____________取等号； （3）三角函数法：若，当__________时，有最大值，当__________时，有最小值； （4）利用二次方程根的判别式求最值 （5）函数的单调性 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点 (1)若是线段的中点，求证：平面 (2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）延长交于点，作直线，则直线即为直线， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 因为过的平面分别与棱交于， 所以； （2）因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是； 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是， 所以， 因为，所以， 由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 3．（23-24高二上·湖南·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)求长的最小值； (2)当的长最小时，求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为面面，又面面，，面，所以面，又， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 因为两个正方形的边长为1，则， 又，则，得到， 同理可得， 所以， 又，所以当时，的长最小，最小值为. （2）由（1）知，的长最小时，分别为正方形对角线和的中点，可得， 设平面的一个法向量为，又， 由，取，可得， 设平面的一个法向量为，又，， 由，取，可得， 则，所以， 因此，二面角的正弦值为. 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面.    (1)证明：； (2)若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）   取中点，连接， 由题可知正和，， ， 又∵，平面，∴平面，又平面， ∴； （2）因为侧面平面，侧面平面侧面，故平面, 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 设， ∴ ， ∴， 又，设面的法向量是， 则， 令，则， 又，设面的法向量是， 则，令，则， 设平面与平面夹角为， 故， 因为，开口向上，且对称轴为， 故的最小值为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题复习讲义 考点一 空间向量与立体几何：动点问题 1.动点的表示方法： （1）若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为______________. （2）若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量. 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 2．（23-24高二上·福建·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 3．（23-24高二上·山东泰安·期末）如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值是，求． 4．（23-24高二下·云南大理·期末）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，. (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值. 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在五面体中，已知，且，. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 考点二 空间向量与立体几何：边长缺失问题 条件缺失型问题为近年常考问题，条件缺失型主要是指缺少边长问题或动点问题，导致无法在空间直角坐标系中表示点的坐标。 但此类问题经常会给出其他条件，通过翻译该条件可以求出几何体的所有边长或动点位置。 1．（23-24高二下·广东广州·期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，点是的重心. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，平面，在平面的同侧，，，，. (1)若四点在同一平面内，求线段的长； (2)若，平面与平面的夹角为，求线段的长. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 考点三 空间向量与立体几何：最值问题 求最值常见方法： （1）二次函数法：若，当时，有最值； （2）基本不等式法：若且，则，，当且仅当_____________取等号； （3）三角函数法：若，当__________时，有最大值，当__________时，有最小值； （4）利用二次方程根的判别式求最值 （5）函数的单调性 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点 (1)若是线段的中点，求证：平面 (2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 3．（23-24高二上·湖南·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)求长的最小值； (2)当的长最小时，求二面角的正弦值. 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面平面. (1)证明：； (2)若点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$