椭圆课件-2025届高三数学一轮复习

第36讲 椭圆 主要内容 一、聚焦重点 椭圆的标准方程,椭圆的几何性质. 二、廓清疑点 椭圆的基本量. 三、破解难点 椭圆中的最值问题. 聚焦重点:椭圆的标准方程 基础知识 2.方程形式 ⑴中间连接符号为“+”,右边常数为1, ⑵哪个变量下的数大,焦点就在哪个轴上. x y O A B F1 a b c 问题研究 如何求椭圆的标准方程? 经典例题1 思路分析 考虑不全! 思路分析 错误! 求解过程 求解过程 思路分析 思路一 所求椭圆的焦点坐标为( 4,0), 思路二 思路分析 又已知椭圆的两焦点为:F1(4,0),F2(-4,0) ,则 思路三 ∵2a表示椭圆上的点到两个焦点的距离的和. 思路分析 求解过程 以思路一为例. 回顾反思 (1)思想方法:方程思想; 回到定义去! (2)思维误区:不考虑焦点位置; 混淆长(短)轴长与长(短)半轴长. (3)思维定势:直接交换a与b的值. 先定焦,再定量! 聚焦重点:椭圆的几何性质 基础知识 方程 图形 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b 对称性 顶点 离心率 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2 关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) B1(0, -b), B2(0,b) A1(0, -a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0) 扁圆程度 问题研究 怎样研究椭圆几何意义? 经典例题2 思路分析 思路一 ∵ PF1F2是直角三角形,∴PF1⊥PF2. 怎样求PF1 PF2? ∴PF1 PF2=18, 这种情况不存在! 变量x,y的范围 >3 x y O F1 F2 P 思维定势! 思路分析 x y O F1 F2 P 思路二 设P(x0,y0),欲求P到x轴的距离,只需求出P点的坐标即可. ①先研究PF1⊥PF2. 思路分析 x y O F1 F2 P 求解过程 x y O F1 F2 P 求解过程 回顾反思 (1)思想方法:数形结合; 分类讨论; 整体思想. (2)解题策略: 代数特征;几何特征. (3)思维误区: 情况考虑不全; 忽视椭圆中变量x,y的范围. 廓清疑点:椭圆的基本量 基础知识 问题研究 怎样求椭圆的离心率的范围? 经典例题3 思路分析 如何表示条件F1M⊥F2M? 思路一 F1M2+F2M2=(2c)2, 欲求离心率的范围,则需要 列出一个关于e的不等式. 还有其他表示方法吗? 实质就是M在以F1F2为直径的圆上 思路分析 有怎样的不等关系? 椭圆上点的坐标的范围:-a≤x0≤a, -b≤y0≤b. 思路分析 思路二 X Y O A B F1 b c F2 M 要是F1M⊥F2M,就必须点M在以F1F2为直径的圆上. 即以F1F2为直径的圆与椭圆相交,其交点即点M. ∴c≥b. 需说明理由! 你能估算出e的大致范围? 思路分析 思路三 F1M2+F2M2=(2c)2, 联想椭圆的定义,F1M+F2M=2a, 能否构造关于a,c的不等式? 利用基本不等式. ∴2c2≥a2. 思考:若M是椭圆上一动点,何时F1M F2M取得最大值? 设MF1=r,则MF1 MF2=r (2a-r)=-(r-a)2+r2≤r2. 求解过程 以思路二为例 求解过程 回顾反思 思维误区 过分依赖图形,缺乏必要的理由. 解题策略 目标引领;回归定义. 数学思想 转化思想;整体思想. 破解难点:椭圆中的最值问题 问题研究 如何破解椭圆中的最值问题? 经典例题4 思路分析 思路一 何时椭圆的长轴长最短? 直线l与椭圆相切时,长轴长最短! 原点到直线l的距离等于长半轴长a? 没有理由! 何时直线l与椭圆相切? x y O F1 F2 思路分析 图译 需说明理由! x y O F1 F2 思路分析 思路三 设M(x,x+9) M点的坐标适合椭圆的方程, 求出a关于x的函数式,求其最值即可. 直译 运算量大 (a2-9)x2+a2(x+9)2=a2(a2-9) 思路分析 思路四 根据椭圆的定义,要使长轴最短,即需MF1+MF2最小. 设M(x,x+9), ∵椭圆焦点坐标为( 3,0), 困难! 思路分析 x y O F1 F2 P M 思路五 直线l同侧有两点F1、F2,在直线l上找一点M,使得MF1+MF2最小. 一个熟悉的问题! 求解过程 解 设F1关于直线l的对称点P(x,y), 即P(-9,6). 2a= 显然,当P、M、F2三点共线时, MF1+MF2 = MP+MF2 =PF2最小,即长轴最短. 此时 椭圆的方程为 则 解之得 直线PF2: x+2y-3=0与直线l: x-y+9=0的交点(-5,4)即点M. 垂直 平分 x y O F1 F2 P M l 回顾反思 解题策略 椭圆的定义特征;代数特征; 几何特征. 转化途径 直译 图译 熟悉化. 方法比较 思路一,推理错误;思路二,过于依赖 图形,理由不充分;思路三、四,直接 翻译,思路易得,适用范围广,计算较 繁;思路五,化归为一个熟悉问题,思 维强度大,运算量相对较小. 总结提炼 知识与内容 一、聚焦重点 椭圆的标准方程,椭圆的几何性质. 二、廓清疑点 椭圆的基本量. 三、破解难点 椭圆中的最值问题. 总结提炼 思想与方法 (2)数形结合; (3)整体思想; (1)方程思想; (4)待定系数法; (5)化归转化思想. 总结提炼 思维与策略 (1)以简驭繁,实施经济的解题策略; (2)目标引领,建立合理的解题程序; (3)规避误区,确立正确的解题方法. 同步练习 同步练习 参考答案 1. 2. 3. 5 4. 5. 1.椭圆的标准方程 焦点在x轴上:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,焦点坐标为( c,0); 焦点在y轴上:eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1,焦点坐标为(0, c). 其中a>b>0且a2=b2+c2. 例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2); (2)与椭圆eq \f(x2,41)+eq \f(y2,25)=1共焦点,且过点P(3,eq \f(12, 5)). (1)中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2); 思路一 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0), 则 ∴椭圆的方程为eq \f(x2,45)+eq \f(y2,5)=1. (1)中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2); 思路二 ①焦点在x轴, 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0), 可得椭圆的方程为eq \f(x2,45)+eq \f(y2,5)=1; ②焦点在y轴,同理可得椭圆的方程为eq \f(x2,5)+eq \f(y2,45)=1. 解 ①焦点在x轴上, 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0), 则 ∴椭圆的方程为eq \f(x2,45)+eq \f(y2,5)=1; ②焦点在y轴上,椭圆的方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0), 则 ∴椭圆的方程为eq \f(y2,85)+eq \f(9x2,85)=1. ∴所求椭圆方程为eq \f(x2,45)+eq \f(y2,5)=1或eq \f(y2,85)+eq \f(9x2,85)=1. (2)与椭圆eq \f(x2,41)+eq \f(y2,25)=1共焦点,且过点P(3,eq \f(12, 5)). 要求椭圆的方程,就需要列出关于a,b的两个方程. 由焦点为( 4,0),可以得到a2-b2=16 ①, 由椭圆过点P ,可得 ②. ①②组成方程组,解方程组即可. 其标准方程可以设成 (a>b>0). 设所求椭圆方程为 (k<25), 将P的坐标代入,求得k=16,从而得到所求椭圆方程. 与椭圆 (a>b>0)共焦点的椭圆方程 有何特点? 椭圆 (a>b>0)与 (k<b2)共焦点. 2a=PF1+PF2 =10 . 得到a=5. 再由 , 求得椭圆方程为 . 解:所求椭圆的焦点坐标为( 4,0), 设其标准方程可以设成 (a>b>0). 由焦点为( 4,0),可以得到a2-b2=16 ①, 又因为椭圆过点P ,所以, ②, 1 、②组成方程组,解之得a2=25,b2=9, ∴所求椭圆方程为 . eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0) eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0) 例2 椭圆 的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上, PF1F2是直角三角形,则P到x轴的距离 . 例2椭圆 的左右焦点分别 为F1,F2,点P在椭圆上, PF1F2是 直角三角形,则P到x轴的距离 . ∴ , , 即 ① ∵P在椭圆上,∴ ② 联立①②组成方程组,解方程组即可. ② PF1⊥x轴, 点P横坐标为 , 代入椭圆方程,求出P的纵坐标,即可. ③ PF2⊥x轴,同②可得. 例2椭圆 的左右焦点分别 为F1,F2,点P在椭圆上, PF1F2是 直角三角形,则P到x轴的距离 . 解① PF1⊥PF2 ,设P(x0,y0), ∴ , 即 ① ∵P在椭圆上,∴ ② ∴ (不合) ②PF1⊥x轴,将x0= 代入椭圆方程得y0= . ∴P到x轴的距离为 . ③ PF2⊥x轴,同②可得P到x轴的距离为 . ∴P到x轴的距离为 . a(长半轴长),b(短半轴长),c(半焦距), e(离心率),…… 例3 已知F1、F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆上存在一点M,使F1M⊥F2M,求椭圆离心率的范围. 设M(x0,y0),可得 例3 已知F1、F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆上存在一点M,使F1M⊥F2M,求椭圆离心率的范围. ∵M在椭圆上,∴ . 解方程组可以求出x0或y0, 从而列出关于a、b的不等式. 例3 已知F1、F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆上存在一点M,使F1M⊥F2M,求椭圆离心率的范围. F1M2+F2M2≥ =2a2. 或MF1 MF2≤ 解:设M(x0,y0),则由M1F⊥M2F, 可得: ,即 ∴ 解之,得 ∵ ,即 ∴c2-b2≥0,即a2≤2c2,∴ ∴ 例4 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点,过直线l:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求此时的椭圆方程. 例4 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点,过直线l:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求此时的椭圆方程. 思路二 当椭圆与直线l相切时,椭圆的长轴长最短. 椭圆的方程与直线l的方程组成方程组, 消去未知数y, 得到(a2+b2)x2+18a2x+81a2-a2b2=0, ∵直线l与椭圆相切,∴ =0, 又a2-b2=9,即可求得a,b. 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,a2-9)=1, 即eq \f(x2,a2)+eq \f((x+9)2,a2-9)=1, 例4 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点,过直线l:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求此时的椭圆方程. 例4 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点,过直线l:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求此时的椭圆方程. 例4 以椭圆的eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1焦点为焦点,过直线l:x-y+9=0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处?并求此时的椭圆方程. 1. ABC中,已知B,C的坐标分别为(-3,0)和(3,0), 且 ABC的周长是16,则顶点A的轨迹方程为 . 2.椭圆 的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于 x轴的直线与椭圆相交,一交点为P,则PF2等于 . 3.已知椭圆 上一点P(x,y),则x+y的最大值 为 . 4.椭圆 的焦点为F1,F2,点P为其上一点, 若∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围. 5.已知椭圆 内有一点M(2,1),F1,F2分别 是椭圆的左右焦点,设A是椭圆上的动点,求|AM|+|AF2| 的最大值. $$