第六章 反比例函数 中考复习讲义 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

（北师大版）九年级复习资料《第六章 反比例函数》 一、反比例函数： 1、 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 （k为常数，k 0）的形式，那么 是 的反比例函数。 2、若已知y与x-1成反比例，则可写成 注意：成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。例如y= 表示y与x²成反比例关系，但y不是x的反比例函数。 3、反比例函数表达式的特点： （1）反比例函数的自变量取值范围 （2）反比例函数有三种表达式： ① ② ③ 例1、下面是一些关于x的函数，请找出所有的反比例函数，并在后面写出常数k是多少？ ①y= ②y= - ③xy=1 ④y= ⑤y= - ⑥y= -3 ⑦y=（π-3.14） ⑧y= +1 2、下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A、y= B、y= C、y= D、y=1- 3、下列函数中，哪个表示y是x的反比例函数（ ） A、y= B、y= C、y= +2 D、y= - 4、若y=（m-1） 是反比例函数，则m的值是 5、函数y=（m²-m）是反比例函数，则m满足的条件是 6、函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值是 7、若函数y= 是反比例函数，则k= 8、若y=是反比例函数，则m的满足条件是 9、若y=（n是常数）是反比例函数，则n= 10、函数y= 中，自变量x的取值范围是 11、函数y= 中，自变量x的取值范围是 12、 已知y与2x+1成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0时，y= 13、 已知y是x的反比例函数，且当x=0.3时，y=10. （1） 写出y与x之间的函数表达式。 （2） 当x=-6时，求y的值。 例2、 已知函数y=（5m-3） +（m+n） （1） 当m、n为何值时，为一次函数？ （2） 当m、n为何值时，为正比例函数？ （3） 当m、n为何值时，为反比例函数？ 例3、 设面积为20cm²的平行四边形的一边长为acm，这条边上的高为hcm。 （1） 求h关于a的函数表达式以及自变量a的取值范围。 （2） h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请写出比例系数。 （3） 当a=25时，求这条边上的高。 二、反比例函数图象与性质： 例1：画反比例函数y= 、y= 、y= - 的图象。 注意：画函数的图象步骤一般分为： 列表 ------ 描点 ------ 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0. （一）列表： 注意： （1） 反比例函数的图象不是直线，所以不能用“两点法”作图，在画反比例函数的图象时，取点越多，画出的图象越准确。 （2） 连线时一定要用光滑的曲线，不能用折线，双曲线的两个分支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永不与坐标轴相交。 1、 反比例函数的图象： 反比例函数的图象是由 组成的，通常称为 2、 反比例函数图象的性质： （1） 当k＞0时，两支曲线分别位于第 象限内。 当k＜0时，两支曲线分别位于第 象限内。 （2）对反比例函数y= （k≠0） 当k＞0时，在每个象限内，y值随x值的增大而 当k＜0时，在每个象限内，y值随x值的增大而 （3）反比例函数图象的对称性： 轴对称：对称轴为 中心对称：对称中心是 （4）k的绝对值越大，图像离原点越远。 （5）当x的绝对值无限增大时，反比例函数图象的两个分支都无限 接近于 轴；当x的绝对值无限接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近于 轴；但永远不会与x轴和y轴 。 （6）k的值决定反比例函数图象的位置与增减性，反之，由双曲线的位置和增减性也可以推断出k的符号。 例1、 已知反比例函数y= ，当x=100，y= -25，那么k等于 1、在同一直角坐标系中，函数y = - 与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（ ） 2、在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为（ ） 3、若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y= 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） 4、函数y= （a≠0）与y=a（x+1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） 5、在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y= （k≠0）的图象大致是（ ） 例2、已知反比例函数y= 的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（ ） A、m＞5 B、0＜m＜1 C、m＞1 D、m＜1 总结：先根据图象性质判断出比例系数的 1、反比例函数y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A、m＜0 B、m＞0 C、m＞-1 D、m＜-1 2、若函数y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A、m＜-2 B、m＜0 C、m＞-2 D、m＞0 3、下列关于反比例函数y= 的图象的说法正确的是（ ） A、 图象在第一、三象限 B、图象在第二、四象限 C、图象在第一、二象限 D、图象在第三、四象限 4、下列关于反比例函数y= 的图象的说法正确的是（ ） A、图象在第一、三象限 B、图象在第二、四象限 C、图象在第一、二象限 D、图象在第三、四象限 5、已知反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是 6、若点A（1,3）在反比例函数y= 的图象上，则k的值为 7、平面直角坐标系xoy中，若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 例3、已知某个反比例函数的图象经过点（ ，1），求该函数的解析式。 求解过程为： 设解析式----代入数值----求解参数，还原解析式。 1、已知点（2, 3）是反比例函数y= 图象上的点，求反比例函数的解析式。 2、 已知反比例函数y= 图象经过点（-1， ），求反比例函数的解析式。 例4、如图，点P（2,1）是反比例函数y= 的图象上一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（ ） A、x＜2 B、x＞2 C、x＜2 且x≠0 D、x＞2或x＜0 总结：反比例函数的图象有 个分支，分析范围的时候都要考虑。 1、 若点P1（-1，m），P2（-2，n）在反比例函数y= （k＞0）的图象上，则m n。 A、＞ B、＜ C、＝ D、不确定 2、已知两点P1（x1，y1）P2（x2，y2）在函数y= 的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ） A、0＜ y1＜y2 B、0＜y2＜y1 C、y1＜ y2＜0 D、y2＜ y1＜0 3、已知点A（x1，y1）B（x2，y2）是反比例函数y= （k＜0）的图象上的两点，若x1＜0＜x2时，则有（ ） A、 y1＜0＜y2 B、y2＜0＜y1 C、y1＜ y2＜0 D、y2＜ y1＜0 4、点A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）都在反比例函数y= 的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2，y3的大小关系是（ ） A、y3＜ y1＜y2 B、y1＜y2＜y3 C、y3＜ y2＜y1 D、y2＜ y1＜y3 总结：看到函数中的比大小问题就 二、K的几何意义 （一）同一反比例函数在同一象限内的三角形面积 （二）同一反比例函数在两个象限内的三角形面积 例1、如图，点A 是双曲线y= 在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点。若四边形ABCD的面积为8，则k的值为（ ） A、-1 B、1 C、2 D、-2 1、反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，点M是该函数图象上的一点，MN垂直于x轴，垂足为点N，若S△MON=2，则k的值为（ ） A、2 B、-2 C、4 D、-4 2、反比例函数y= 的图象上一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C，求矩形ABOC的面积。 3、反比例函数y= 与y= 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交反比例函数于B、A两点，交x轴于点H，连接OA、OB，则△AOB的面积为 4、反比例函数y= 的图象上一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，则矩形ABOC的面积为 5、双曲线y= - 与y= - 在第二象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的线段分别交双曲线于B、A两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为 6、反比例函数y= - 的图象经过点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则△AOB的面积为 7、点P是反比例函数y= 的图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴引垂线，垂足分别为A（x0，0），B（0，y0），若S矩形OAPB=3，则此函数表达式为 8、如图，点A、B是反比例函数y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若阴影部分面积为2，则S1+S2= 三、反比例函数的应用 （一）、反比例函数与一次函数图象的交点问题：（求交点，要联立） 1、在同一平面直角坐标系内，反比例函数y=与正比例函数y=k2x图象的交点，求两个函数图象有交点，即两个函数表达式组成的方程组有解，而其解就是两函数图象的交点坐标。 a、 ⇒ 两图象有两个交点 联立方程组 ⇒求解 ⇒ 两交点坐标 ⇒ 关于原点对称 b、 ⇒ 两图象没有交点 联立方程组 ⇒无解 2、求直线y=k1x+b（k1≠0）和双曲线y=（k2≠0）交点坐标就是求方程组 y=k1x+b ① y= ② 的解，交点个数是由方程①与②联立得到的一元二次方程 ax²+bx+c=0的解的情况决定的。 （1） 当b²-4ac＞0时，直线与双曲线有两个交点。 （2） 当b²-4ac＝0时，直线与双曲线有一个交点。 （3） 当b²-4ac＜0时，直线与双曲线没有交点。 例1、 已知反比例函数y= 的图象经过点A(3,1) (1) 求反比例函数的表达式 (2) 若正比例函数y=mx的图象经过点A，且与反比例函数y= 的图象的另一个交点为B，求点B的坐标。 (3) 若一次函数y=ax+6（a≠0）的图象与反比例函数y= 的图象只有一个交点，求一次函数的表达式。 例2、已知反比例函数y= 和一次函数y=-x-6. （1）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？ （2）当k=9时，求反比例函数和一次函数的交点坐标？ 例3、如图所示，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于 M（2，m），N（-1，-4）两点。 （1） 求反比例函数和一次函数的表达式。 （2） 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。 例4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+的图象与反比例函数y= 的 图象在第一象限内交于点A，与x轴交于点C，AB垂直于x轴，垂足为B， 且S△AOB=1. （1）求m的值。 （2）求S△ABC的值。 作 业 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A.y=2x B.y= C.y= D.y=-x 2.函数y=（m-1）xm²-2是反比例函数，则m的值是 3.函数y=和一次函数y=-ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能 是（ ） 4. 在同一直角坐标系中，函数y=2x+a与y=(a≠0)的图象是（ ） 5. 反比例函数y=的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 6. 在反比例函数y=的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）。若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ） A. y3＞y1＞y2 B.y3＞y2＞y1 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2 7.点A（x，y）在某反比例函数的图像上，xy=4，则此函数的表达式为 8.如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点， 点B、C、D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点， 若四边形ABCD的面积是8，则k的值为 9.如图，在平面直角坐标系中，一个正方形的中心在原点O处，且一组对边与y轴平行，点A（2a，-5a）是反比例函数y=的 图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于25， 则k的值为 10.对于反比例函数y=，其图象在每个象限内y的值都随x值的增大而减小，则m的取值范围是 11.已知反比例函数的图象过点M（-1，2），则此反比例函数的表达式为 12.如图，反比例函数y=的图象经过点M，则此反比例函数的解析式为 第12题图 第13题图 第15题图 13.如图，已知点P为反比例函数y=上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为 14.下列函数中，y随x的增大而减小的有 （填序号） ①y=（x＞0）②y=x-2③y=-3x+1④y=⑤y=（x＜0） 15.如图，正比例函数y=ax与反比例函数y=的图象相交于点A，B，若点A的坐标为（-2，3），则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ，点B的坐标为 16.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数图像上，如果 点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为 17.已知y=y1+y2,y1与x-1成反比例，y2与x成正比例，且当x=2时，y1=4，y2=-2. （1）求y关于x的函数表达式； （2）求当x=3时的函数值。 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 点A（a，-2），B两点。 （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标。 （2）当时，直接写出自变量x的取值范围。 19. 如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）.直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C. （1） 求一次函数与反比例函数的表达式； （2） 求△ABC的面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$