安徽省2024-2025学年 八年级上学期期末数学专题复习轴对称图形与等腰三角形部分重难点专项练习

安徽省2024-2025学年度八年级上学期期末数学专题复习 轴对称图形与等腰三角形部分重难点专项练习 本资料以2023年安徽省各大市期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）已知点和点关于y轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．4047 D． 3．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在中，和的平分线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 8．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，，平分，，，垂足分别为点，．下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D．垂直平分 10．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 11．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，是的平分线，，交于点，，交于点．若，，则的面积是（    ）    A．22 B．28 C．14 D．16 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（     ）个． ①；②；③；④点G到各边的距离相等；⑤设，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 14．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰的一个外角是，则它的顶角度数为 ． 16．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，为的中点，于点，，则 ． 17．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，平分，，点是上的动点．若，则的长最小值是 ． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点B，C，D，E在同一直线上，点F在上，且，，若，则 ． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是边上的中线．    （1）若，则的度数是 ；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 20．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，点C，D在线段上（点C在点A，D之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为a，b，与交于点H，延长，交于点G，长为c．若四边形的周长与的周长相等，则a，b，c之间的等量关系 ．    21．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、． （1）的度数为 （用含的式子表示）； （2）探究：当的度数为 时，是等腰三角形． 22．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有 ． ①；②；③；④ 三、解答题 23．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)方格纸中画出关于x轴的对称图形； (2)写出、、的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小． 24．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，点D在边上，，平分，交于点E，点F在上，连接，且．求证：平分． 25．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 26．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且． (1)若，求证：． (2)求证：． (3)求证：． 27．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 28．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，和的平分线交于点，且，连接并延长交于点，以为边向左右两侧作等边和等边，分别与，交于点，连接． (1)求的度数． (2)请判断形状，并说明理由． (3)若，，，求的值（用含的代数式表示）． 29．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 30．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，． 探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请直接写出 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B 2．B 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点坐标的特点，掌握关于y轴对称的点的纵坐标不变、横坐标互为相反数成为解题的关键． 先根据关于y轴对称的点的坐标确定m、n的值，然后求和即可． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， ∴． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【详解】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进一步得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， 根据图中尺规作图的痕迹，可知， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．在上取，连接，先求出，则，证明，则，根据，，得到，则，再由三角形外角的性质求得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取，连接， ∵ ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，是的角平分线， ∴ ∴ ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明得到，可判断选项B；证明为等腰直角三角形得到可判断选项A、D；过D作于O，证明得到，，，进而可判断选项C． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴，则， 在和中， ∴， ∴，，故选项B正确； ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∴，故选项D错误； 过D作于O，则， ∵点E是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，故选项C正确， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，先根据三线合一定理和等边对等角得到，，，再由角平分线的性质得到，证明，得到，则垂直平分，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵中，，平分， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及对称性求最值、等边三角形性质等，根据对称性，利用动点最值问题-将军饮马模型，确定与关于对称，进而得到的周长最小值为线段即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：是的对称轴， ∴，即与关于对称， 周长为， ∴当三点共线时，最小值为线段， ∵，， ∴， ∴周长最小值， 故选：C． 11．B 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，由三角形面积公式代值求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤错误． 故选：B． 13． 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 14．/115度 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质．根据外角与相邻的内角的和为求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：∵一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ①当角是顶角时，它的顶角度数是， ②当角是底角时，它的顶角度数是， 综上所述，它的顶角度数是或． 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，连接 ，利用等边对等角得， 在 中，得，在 中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【详解】连接 ， ∵，，为的中点， ∴， 平分，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过作于， 当时最短，即的长度， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为． 故答案为：． 18．/60度 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据等边对等角得到，根据三角形外角性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角性质得到，根据，得到是等边三角形，即得． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 19． / 【分析】本题主要考查了三线合一定理，直角三角形的性质，轴对称最短路径问题： （1）根据三线合一定理得到，，再根据直角三角形两锐角互余可得； （2）连接，过点C作于点，由对称性得到，则当C，P，Q三点共线且时，的值最小，即为的长． ；利用等面积法求出，则的最小值是． 【详解】解：（1）是等腰三角形，，是边上的中线， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接，过点C作于点．    ∵所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 当C，P，Q三点共线且时，的值最小，即为的长． ， ， 的最小值是， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，由和是等边三角形，可得和是等边三角形，，，即知，，根据四边形的周长与的周长相等，有，故 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴和是等边三角形，，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， ∵四边形的周长与的周长相等， ∴， 整理得：， 故答案为： 21． 或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用． （1）先证是等边三角形得到，根据，，即可得出答案； （2）先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； （2）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又由（1）可知， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为：（1），（2）或或． 22．①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、角平分线的性质，根据已知得是等腰直角三角形，再根据平分，进而可得，根据则可判断①；利用得，进而可得，则可判断②；根据角平分线的性质及可得，进而可得，则可得，再由等腰三角形的性质可得，则可判断③；则可得不平行于，根据可得，进而可得，则可判断④，仔细分析图形并掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ，故①正确； ，， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 平分，， ，， ∴在与中， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形，H是边的中点， ，故③正确； 不平行于， ， ， ，故④错误； 则正确的是①②③， 故答案为：①②③． 23．(1)见解析 (2)、、 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C关于x轴对称的点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据（1）所作图形即可得到答案； （3）如图所示，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，、、． （3）解：如图所示，连接交x轴于点P，点P即为所求． 24．见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据题意证明，得，再根据等腰三角形的性质可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，，， ， ，     ， 平分（等腰三角形三线合一）． 25．(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【详解】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 26．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）过点A作交于点M．证明．得到，则，即可得到结论； （2）延长至点G，使，连接．证明即可得到结论； （3）根据全等三角形对应边相等线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点A作交于点M． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． （2）如图2，延长至点G，使，连接． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （3）由（2）可知，，， ∴． ∵，， ∴． 27．(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； （3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）证明：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 28．(1) (2)是等边三角形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线定义结合已知条件得到，利用三角形内角和定理即可得到答案； （2）利用角平分线的判定与性质得到为的平分线，再由等边三角形性质，利用两个三角形全等判定得到，利用全等性质及等边三角形的判定即可得到答案； （3）根据含的直角三角形性质，得到、，利用，由三角形面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由如下：过作，如图所示： ∵和的平分线交于点， ， ∴为的平分线， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）解：∵，， ∴， ∴， 同理，可得，， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及角平分线的定义、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 29．(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系． ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$