考点40 直线的倾斜角与斜率（讲义）2025届高三中职数学一轮复习

专题十 平面解析几何 考点40 直线的倾斜角与斜率 【考纲要求】 ① 理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的倾斜角和斜率 【思维导图】 【知识清单】（结合思维导图） 1. 直线 （1） 倾斜角：一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 （2） 斜率： ①倾斜角为的直线没有斜率； ②若直线的倾斜角为，则斜率（倾斜角的正切） 注：当倾斜角增大时，斜率也随着增大；当倾斜角减小时，斜率也随着减小！ ③经过两点的直线的斜率 ④若直线的一般式方程为的斜率 （3） 倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 【基础过关】 1、若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2、直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 3、已知直线 上两点 与 ，且直线 的倾斜角为 ，则 的值是 A. B. C. D. 4、过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ） A． B．不存在 C． D． 5、已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 6、经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 . 【考点分类剖析】 考点一 倾斜角 【例1】直线 经过 与 ，则 的倾斜角是 A. B. C. D. 或 【练习1】若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例2】直线l的倾斜角120°，且该直线经过点(1，k)，(2，0)，则k＝(　　) A． －2　 B.　 C．2　 D．－ 【练习1】经过两点 ， 的直线的倾斜角为 ，则 A. 　 B. 　 C. 　 D. 【例3】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【练习1】直线的倾斜角是 度. 【例4】已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 【练习1】已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 考点二 斜率 【例5】直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【练习1】斜率为 ，在 轴上的截距为 的直线方程的一般式方程是 A. B. C. D. 【例6】经过，两点的直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D．3 【练习1】一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（    ）． A． B． C． D． 【练习2】若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【例7】若直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，而 ，则 的取值范围是  ． 【练习1】已知点 ，．若过点 的直线 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是 A. B. C. 或 D. 【例8】已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【练习1】若直线 的倾斜角是连接 ， 两点的直线倾斜角的 倍，则 的斜率是 A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题十 平面解析几何 考点40 直线的倾斜角与斜率 【考纲要求】 ① 理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的倾斜角和斜率 【思维导图】 【知识清单】（结合思维导图） 1. 直线 （1） 倾斜角：一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 （2） 斜率： ①倾斜角为的直线没有斜率； ②若直线的倾斜角为，则斜率（倾斜角的正切） 注：当倾斜角增大时，斜率也随着增大；当倾斜角减小时，斜率也随着减小！ ③经过两点的直线的斜率 ④若直线的一般式方程为的斜率 （3） 倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 【基础过关】 1、若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据即可求解出斜率，直线的斜率为， 故选：C． 2、直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 【解析】直线的斜率 ，设倾斜角为 ，则 ，故 ． 故选：A． 3、已知直线 上两点 与 ，且直线 的倾斜角为 ，则 的值是 A. B. C. D. 【解析】直线的斜率 ，又因为直线l过A、B两点，所以，解得x=0. 故选：C． 4、过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ） A． B．不存在 C． D． 【解析】结合点的位置，由直线的倾斜角和斜率的概念可得，已知和点，由两点横坐标相等，可知直线的倾斜角为，斜率不存在. 故选：B. 5、已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【解析】根据三点共线列方程，从而求得的值，由题可得，即，解得． 故选：B 6、经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 . 【解析】画出图形，利用斜率坐标公式，数形结合求出范围，直线的斜率，直线的斜率，而直线与线段总有公共点， 所以直线l斜率的取值范围为. 故答案为： 【考点分类剖析】 考点一 倾斜角 【例1】直线 经过 与 ，则 的倾斜角是 A. B. C. D. 或 【解析】直线斜率，又因为，且，所以倾斜角。 故选：B 【练习1】若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 【例2】直线l的倾斜角120°，且该直线经过点(1，k)，(2，0)，则k＝(　　) A．－2　 B.　 C．2　 D．－ 【解析】由题意可知直线的斜率kl＝－，代入两点，解得k＝。 故选：B. 【练习1】经过两点 ， 的直线的倾斜角为 ，则 A. 　 B. 　 C. 　 D. 【解析】由 ，得 ，所以 ． 故选：B. 【例3】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角. 直线的斜率为，故倾斜角为. 故选：D. 【练习1】直线的倾斜角是 度. 【解析】设直线的倾斜角为，由直线方程可知，，故答案为：. 故答案为： 【例4】已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 【解析】知道斜率，由倾斜角的取值范围，直接得出倾斜角的范围. ∵ ∴ 故答案为： 【练习1】已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【解析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 考点二 斜率 【例5】直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【解析】由直线的斜率为，求解即可. 由题意，直线的斜率为, 故选：C. 【练习1】斜率为 ，在 轴上的截距为 的直线方程的一般式方程是 A. B. C. D. 【解析】由直线的斜率为k==，且过点（2，0），只有C符合。 故选：C. 【例6】经过，两点的直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D．3 【解析】代入斜率公式求解即可.经过，两点的直线的斜率. 故选：. 【练习1】一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（    ）． A． B． C． D． 【解析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程. ，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即. 故选：D 【练习2】若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【解析】利用斜率公式即可求解. 过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 【例7】若直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，而 ，则 的取值范围是  ． 【解析】当 时，；当 时，．综上 ． 故答案为： 【练习1】已知点 ，．若过点 的直线 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是 A. B. C. 或 D. 【解析】过点 的直线可以看作绕 进行旋转运动，通过画图可求得 的取值范围．由已知直线 恒过定点 ，如图． 若 与线段 相交，则 ， 因为 ，，所以 ． 【例8】已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【解析】根据直线的斜率为，求出倾斜角，再根据直线的倾斜角比直线的倾斜角的关系，求出直线的倾斜角，即可进一步求出斜率 ∵直线的斜率为，则倾斜角为， ∴直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 则直线的倾斜角为， 则直线的斜率. 故选：C． 【练习1】若直线 的倾斜角是连接 ， 两点的直线倾斜角的 倍，则 的斜率是 A. B. C. D. 【解析】设经过 ，该两点的直线为m， 直线m斜率,该直线倾斜角为直线l斜率为， ，又因为 的倾斜角是直线m倾斜角的 倍 所以 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$