6.5相似三角形的性质 同步优生辅导训练题 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《6.5相似三角形的性质》 同步优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（  ） A． B．10 C．12 D．24 3．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 4．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 6．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形的边长为4，E是的中点，过点E作，交于点F，连接并延长，交的延长线于点G．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 8．如图，已知边长为4的正方形，E是边上一动点（与B、C不重合），连接，作交正方形的外角的平分线于点F，设，的面积为y，下列图像中，能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，与相似，则 ， ． 10．如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 11．如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ． 12．如图，正方形中，P为上一点，交的延长线于点E，交于点F，若，，则的长为 ． 13．如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交AB于点P，若，则的长为 ． 14．如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线上于点，四分之一，连接，若，，则的长度为 ． 15．如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上，设矩形铁皮的边，矩形的面积为，要使矩形面积的最大．则的取值为 ． 16．如图，在中，，的两边分别与函数、的图象交于B，A两点，若，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，正方形的边长为10，P是边上一点，以为对角线作正方形，连接．当正方形的面积为68时，求的长． 18．如图，在中，，动点P以的速度从点C出发，沿向点A移动，同时动点Q以的速度从点B出发，沿边向点C移动，当有一点到达终点时，两点停止运动．设P，Q两点同时移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，与相似； (2)当t为何值时，的面积为． 19．小明利用三角形截取正方形进行了以下操作，其中中，，下面帮小明进行计算：    (1)如图1，四边形为的内接正方形，求正方形的边长； (2)如图2，三角形内有并排的n个相同的正方形，它们组成的矩形内接于，求正方形的边长（用含n的代数式表示）． 20．如图，E为菱形的边上一点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)作于点H，，，，求的长． 21．如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 23．【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C C A C C 1．解：∵， ， 两相似三角形的相似比为， A．，故原说法错误，不符合题意； B．，故原说法错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．解：，， ∴ 相似比 故选：A 3．解：连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心， ∵平分， ∴， 又∵I为的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ， ∴，即， 故选：A． 4．解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 5．解：∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠A落在边上的点F上， ∴， ∴，，， 设，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， 故选：C． 6．解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．解：∵正方形的边长为4，E是的中点， ∴，，； ， ， ， ， ， ， ， ； ∵， ∴， ， ； 故选：C． 8．解：如图：过F作于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 9． 解：∵与相似，为钝角， ∴， ∴当时， ，即， ； 当时， ， ， 不存在此种情况， ． 故答案为：． 10．解：当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为 或， 故答案为： 或． 11．解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 13．解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， 解得， ． 故答案为：． 14．解：连接，连接并延长交圆于点， 四分之一，， ，， 是圆的切线， ， 是圆的直径，点在圆， ， ， 即， ， ，， ， 又 ， ， ，即， 得， ， ， ， 故答案为：． 15．解：过点作于点，交于点，则，，， ∴，， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为． 故答案为：15． 16．解：过点A，B作轴，轴，分别于C，D． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：2． 17．解：连接． 根据题意可得，和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 正方形的面积为， ． ，， （负值舍去）， ， ． 18．（1）解：∵， ∴， 由题意得：， 则， ∵， ∴与相似时， ∴或， ∴或， 解得：或 ∴当或时，与相似； （2）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或 ∵点从点到点用时，点从点到点用时， ∴， ∵ ∴舍， ∴， 即当时，的面积为． 19．（1）解：如图所示，作，交于点，交于点，    在中， ， ， 解得， ， ， ， 设正方形边长为， 则， ； （2）解：在图中，作，交于点，交于点，    ， ， ， 设每个正方形边长为， 则 ， ． 20．（1）解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接．   ， ， ． ，， ． ， ， ∴， ∴． 21．（1）解：连接，    ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线． ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 22．（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 24．解：（1）直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）①由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点， 令， 解得（舍或， 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 学科网（北京）股份有限公司 $$