6.5相似三角形的性质 同步练习题 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《6.5相似三角形的性质》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知，，若的面积为，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．如图，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点E在上，且，交对角线于点F，若，则为（　　） A．4 B．6 C．9 D． 6．如图，在中，，点在边上，连接并延长，交边的延长线于点，若，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D．5 8．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连、，交于点H．下列结论①；②；③；④正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 二、填空题 9．一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长180厘米的木条做一个与模型相似的三角形，木条无剩余，那么所制作的三角形的最短边长为 厘米． 10．如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 11．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为 ． 12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高 ． 13．如图，在中，E为边上一点且满足，过点A作的平行线且交延长线于点D，若，，则的长为 ． 14．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点且交线段于点，连接，，若，则的值为 ． 16．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造，连接，则的最小值为 ． 17．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ①问点P、Q同时出发， 秒后可使的长为？ ②问点P、Q同时出发， 秒后可使与相似？ 三、解答题 18．如图，在中，点、分别在边、上，，．若，求的长． 19．如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段表示站在路灯左侧的小明，线段表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长为，当小明步行至路灯右侧点处时，此时影长为，已知小明的身高为，则路灯的高为多少米？ 20．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，点E是上一点，射线与的延长线交于点P，与边交于点F，连接． (1)若，求证：； (2)若点D是中点，，求的长． 22．如图，是的直径，C，D是上两点，且，的半径为2，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，且与交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求阴影部分的面积． 23．如图，在直角中，，于点，平分交于点，交于点，交于．    (1)求证：； (2)已知， ①求的值； ②若，求的长． 24．矩形中． (1)①如图1，尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点O，交于点M，交于点N，连接（保留作图痕迹，不写画法）； ②求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件和结论下，如图2，过点C作，垂足为点Q，若，求的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B D B D A 1．解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：C ． 2．解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．解：A. ∵，， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； B.∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C.∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C不符合题意； D. 不等得到，故D符合题意； 故选D． 4．解：如图，过作交于， ， 设 则， ， 是的中线， ， ∴， ， ， 故选：B． 5．解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 6．解 ：∵四边形在， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：． 7．解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案：5． 8．解：∵是 由绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，故正确； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 即， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故正确； ∴正确， 故选：． 9．解：设所制作的三角形的三条边为厘米、厘米、厘米，其中， ∵该三角形与模型相似的三角形， ∴，则， 又∵所制作的三角形是以一根长180厘米的木条所制作的， ∴，同理：，， 即：所制作的三角形的最短边长为40厘米， 故答案为：40． 10．解： 于点， ∴， 又， ，， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．解：作，垂足为． 四边形是矩形， ． ． , ． 个小正方形大小相同， ． 又，， ， ． 过点作于，如图所示： 四边形是矩形． ，． ，， ． ， ． ． ． ． 在中，． 小正方形的边长为． 故答案为：5． 12．解：在中，，， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 13．解：过点A作的平行线且交延长线于点， ， ， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 15．解：过点C作垂直于于E， ， ， ， ∵C为中点， ∴ ， ， ∵C、D都在反比例函数图像上，且图象在第一象限 ， ∴ ， ∵C为中点， ∴和是等底同高的， ， ， ， 解得： ． 故答案为：4． 16．解：如图，延长交的延长线于点M，连交于点O， ∵， ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，, ∴， ∴， ∴当取最小值时，此时最小， 由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”知， 时，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．①解：设秒后, 可使的长为 则， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或 ， ∴2秒或秒后可使的长为 ； ②设秒后可使与相似，则 当时， 即' 解得：， 秒后可使 ， 当时，即 ， 解得 综上所述，满足条件的的值为秒或秒， 故答案为：2或；或． 18．解：∵，， ∴， 且， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19．解：设， 由题可知：，，都垂直于地面， ∴， ∴，， ∴， ∴ 解得： 答：路灯的高为． 20．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 21．（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 即 （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴ ∵，的半径为2， ∴ 则在中，； （3）解：， ， ， ，的半径为2， ， ， 如图，连接， 是的直径，， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； 23．（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知：，， 又，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， 又， ∴， ∴，即， ∴． 24．（1）解：①如图所示，即为所求垂直平分线； ②证明：如图所示：四边形为矩形， ∵， ， 垂直平分线段， ， 在和中，     ， ， 四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ， 在中，， 根据勾股定理，得， 四边形是菱形， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 即， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$