5.2.1基本初等函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1 基本初等函数的导数 复习引入 1.导函数的概念 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数 ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 . 根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当∆x→0时，无限趋近的那个定值. 曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率k0 即 若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一 直处于静止状态. x y y=c O 探究：一些常见函数的导数 1. 函数y=f(x)=c的导数 也就是说任意一个常数的导数是0. 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 2. 函数y=f(x)=x的导数 即 3. 函数y=f(x)=x2的导数 若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. y′= 2x表示函数y=x2的图象上点(x, y) 处切线的斜率为2x, 说明随着x的变 化, 切线的斜率也在变化. y′= 2x表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. x y y=x2 O 即 4. 函数y=f(x)=x3的导数 y′= 3x2表示函数y=x3的图象上点(x, y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. x y y=x3 O 即 5. 函数y=f(x)= 的导数 思考：画出函数 的图象，根 据图象，描述它的变化情况，并求 出曲线在点(1, 1)处的切线方程. x y O 表示函数 的图象上点(x, y)处切线的斜率为 , 说明随着x的变化, 切线的斜率也在变化. 表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越大， 减少得越来越快； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越小， 减少得越来越慢. 思考：画出函数 的图象，根 据图象，描述它的变化情况，并求 出曲线在点(1, 1)处的切线方程. x y O 即   归纳总结 一些常见函数的导数： 基本初等函数的导数公式 探究：基本初等函数的导数公式 例1：求下列函数的导数: 解： 例题 课本P75 练习 例2：假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解： 例题 课本P75 变式：假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 解: 练习 20 例3:（1）已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 例题 （2）求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程． 求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤： (1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参数). (2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．　 归纳总结 解： 练习 随堂检测 2.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 (　　) 解析 ：因为(sinx)′=cosx, 所以直线l的斜率k1=cosx,所以-1≤k1≤1, 所以直线l的倾斜角α1的范围是α1∈ 选A. 3.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为 . 解：y′=ex,设切点为(x0,y0),则y0= , 则切线方程为y- = (x-x0), 由于原点在切线上, 则- = (-x0)⇒x0=1,y0= =e, 即切点为(1,e). 答案:(1,e) 基本初等函数的导数公式： 课堂小结 特别地，x=1 ；(x2)=2x ；(x3 )=3x2； 课外作业 1.求下列函数的导数: 解： 课本P75 解： 1.求下列函数的导数: 课本P75 2.求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P75 解： 课本P75 解： 课本P75 2.求函数 的导数的一般步骤： （1）求函数值的增量 ； （2）求平均变化率 ； （3）取极限，得导数 . 3.导数的几何意义：函数 在 处的导数 就是 ，即 . 曲线 在点 处的切线方程为 . 4. 位移函数 的导数的物理意义： 物体在时刻 的瞬时速度是 ，即 . (5)因为y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sin x， 所以y′＝(sin x)′＝cos x. (2) y′＝(eq \r(3,x))′＝ (3)y′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y′＝(log2x)′＝eq \f(1,xln 2). 求下列函数的导数： (1) ；(2)y＝eq \r(3,x)；(3)y＝2x；(4)y＝log2 x； (5)y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)). 解：(1) 1．给出下列结论： ①(cos x)′＝sin x；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,6)))′＝cos eq \f(π,6)；③若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x)；④ .其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(cos x)′＝－sin x，所以①错误；sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，[来源而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))′＝0，所以②错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝eq \f(0－（x2）′,x4)＝eq \f(－2x,x4)＝ －2x－3，所以③错误； ，所以④正确．答案：B 4．已知曲线y＝eq \r(x)，求： (1)与直线y＝2x－4平行的曲线的切线方程； (2)求过点P(0，1)且与曲线相切的切线方程． 解：(1)设切点坐标为(x0，y0)， 由y＝eq \r(x)，得y′|x＝x0＝eq \f(1,2\r(x0)) . 因为切线与y＝2x－4平行，所以eq \f(1,2\r(x0))＝2， 所以x0＝eq \f(1,16)，所以y0＝eq \f(1,4). 则所求切线方程为y－eq \f(1,4)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,16)))， 即16x－8y＋1＝0. (2)设切点P1(x1，eq \r(x1))，则切线斜率为y′|x＝x1＝eq \f(1,2\r(x1))， 所以切线方程为y－eq \r(x1)＝eq \f(1,2\r(x1))(x－x1)． 又切线过点P(0，1)，所以1－eq \r(x1)＝eq \f(1,2\r(x1))(－x1)， 即eq \r(x1)＝2，x1＝4. 所以切线方程为y－2＝eq \f(1,4)(x－4)， 即x－4y＋4＝0. 5.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的距离的最小值． 解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点 (x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，则在点 (x0，y0)处的切线斜率为1，即＝1. 因为y′＝(ex)′＝ex，所以 ， 得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)． 利用点到直线的距离公式得距离为eq \f(\r(2),2). 《选择性必修第二册》 “练习”1，2，3，4. $$