5.1.2导数的概念及其几何意义课件（2）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义（2） 1.导数（瞬时变化率）定义： 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 ，并把这个确定的值叫做 (也称为 )，记作 或 ，即 复习引入 y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 y ＝ f (x) 在x ＝ x0处的导数 瞬时变化率 探究1：导数的几何意义 思考1：观察函数 y＝f (x) 的图象，平均变化率 表示什么？ 瞬时变化率 表示什么？ P0 x y O y＝f (x) f (x0+Δx) f (x0) x0 x0+Δx f (x0+Δx)-f (x0) Δx T P 割线P0P 的斜率 切线P0T 的斜率 x y O y＝f (x) f (x0) x0 T P0 P 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) ，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. 切线的定义： 思考2：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 5 圆的切线定义并不适用于一般的曲线. 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线.所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质. 思考3： 我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么? 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0) 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 导数f ′(x0)的几何意义 导数的几何意义： 归纳总结 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0， 即 即 P x y O T 注：切点 既在曲线 上，也在切线上. 曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处 的切线方程为 8 例1：求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程． 例题 求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思归纳 练习 课本P70 思考4：图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？ x y O y＝f (x) f (x0) x0 T P0 P 在点P0附近的曲线可以用点P0处的切线P0T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法—以直代曲. t1 h t0 O • • t2 • t 例2： 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. 例题 在t0, t1, t2 附近的曲线 在t=t0, t1, t2处的切线 近似代替 斜率刻画 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢 以直代曲 分析： 课本P68 t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1 的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线 下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2 的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线 下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小 于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. （1）函数的导数、曲线的陡峭程度与图象的变化快慢之间的关系： 反思归纳 函数的导数的绝对值越大 切线的斜率的绝对值越大 曲线的陡峭程度越大 图象变化得越快. （2） f′(x0) 的符号反映了函数f(x)的变化情况. 若f′(x0) >0,则说明f(x)在x=x0处附近呈上升趋势； 若f′(x0) <0,则说明f(x)在x=x0处附近呈下降趋势. 注意： 若f′(x0) <0，且|f′(x1) |>|f′(x2) |，则f′(x1) <f′(x2) . 例3：下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 课本P69 例题 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看, 它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切 线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似 值. 作t=0.8处的切线, 并在切线上取两点, 如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 则该切线的斜率 t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的 瞬时变化率 下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值. 1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(t3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升, 即函数h(t)在t=t3附近单调递增. (3)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t4)>0. 这时,在t=t4附近曲线上升,即函数h(t)在t=t4附近也单调递增. 从图中可以看出, 直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快. 练习 课本P69 x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ) (A) f'(1)>f'(2)>f'(3)>0 (B) f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 (C) 0<f'(1)<f'(2)<f'(3) (D) f'(1)>f'(2)>0>f'(3) 课本P70 解析：如图，因为函数 f(x)的图象 是上升的，所以f'(1)>0，f'(2)>0， f'(3)>0 .又因为随着自变量的增大， 曲线在各个点处的切线斜率在逐渐 减小，所以f'(1)>f'(2)>f'(3)>0.答案：A 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数 ( 简称导数). 探究2：导函数的概念 导函数的概念 y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 归纳总结 说明：（1）函数 f(x)在点x0处的导数 f′(x0) 就是导函数 f′(x) 在x=x0处的函数值,即 .这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一. （2）求函数y=f(x)的导数的步骤： 练习 随堂检测 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A. 0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 3.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 4.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标 分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 的值为 ________ . 解析：由导数的概念和几何意义知, =f′(1)=kAB= =-2. 解1： 解2： 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 课堂小结 课外作业 . 2.用定义求导数的步骤： （1）求函数的增量 ； （2）求平均变化率 ； （3）取极限，得导数 . 《选择性必修第二册》 “复习巩固”5，6； “综合运用”10；“拓广探索”12. $$