5.1.2 导数的概念及其几何意义课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义（1） 问题1：高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2：抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——瞬时变化率 复习引入 思考1：解决这两类问题时有什么共性？ 这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法. 探究：平均变化率 思考2： 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化 率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处的瞬时变化率吗？ 追问1：为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化 率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？ 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量Δx（可以是正值，也可以是负值，但不为 0）.计算自变量x从x0变化到 x0+Δx 这个过程中函数值的平均变化率. 追问2：函数 y＝f (x) 的自变量 x 从 x0 变化到x0+Δx 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？ 自变量 x ： 函数值 y ： 函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. 归纳总结 追问3：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何 表示呢？ 无限趋近于 无限趋近于 无限趋近于 探究2：导数的概念 取极限 导数的概念 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 归纳总结 说明： 1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——瞬时变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——平均变化率 思考3 ：根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运 动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，比如效率、国内生产总值的增长率等. 例1： 例题 解： 为了便于计算，我们可以按下述步骤进行： 解： 课本P65 （1）求函数值的增量: （2）求平均变化率: （3）取极限，得导数: 反思归纳 简记：一差、二比、三极限. 求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤: 1.设函数f(x)在x0处可导,则 =(　　) A.f′(x0)　　 B.f′(-x0)　　 C.-f′(x0)　　 D.-f′(-x0) 解析： 练习 选C. 解： 课本P66 例题 例2 ：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为 . 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2) 和 f′(6). 课本P65 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 一般地，f'(x0) (0≤x0≤8) 反映了原油温度在时刻x0附近 的变化情况. f'(x0)为负，体现了下降的变化趋势； f'(x0)为正，体现了上升的变化趋势. 追问： 和 在这个实际问题中的意 义是什么？ 在例2中，计算第3 h与第5 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解： 在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第5 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率上升. 练习 课本P66 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6). 例3：一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6 m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s； 在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 例题 课本P66 1. 一质点A沿直线运动，位移y(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 练习 课本P66 2. 设函数f(x)=x2-1. 求: (1) 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； (2) 函数在x=1处的导数. 课本P66 随堂检测 1.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则 等于（ ） A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2 2.已知f(x)＝ ，且f′(m)＝－ ，则m的值等于（ ） A.－4 B.2 C.－2 D.±2 4.已知函数f(x)＝ ，则f′(1)＝____. 5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义. f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. 2.由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)； (2) 求平均变化率 （3）求极限 课堂小结 1.导数的定义： 课外作业 《选择性必修第二册》 “复习巩固”2； “综合运用”8；“拓广探索”11； “复习巩固”6. $$