5.1.1变化率问题课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1） 复习引入 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念. 莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 导数的本质是什么？ 在必修第一册中，我们知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多. 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 探究：平均速度与瞬时速度 问题1 高台跳水运动员的速度 追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？ 追问2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？ （1）运动员在这段时间里是静止的吗? （2）平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内 里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 追问3：计算运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 思考2： 瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？ 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度v(t0) 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0 Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 给出Δt更多的值，计算 -4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951 -5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049 因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s. 思考3: (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； 思考3: (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度， 记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 归纳总结 例题 例：火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 练习 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 课本P61 2. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 课本P62 随堂检测 2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（ ） A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析：该物体在1≤t≤3时的平均速度是 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 3.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是_____. 乙 5.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均速度为 即a＝2. 1.本节课收获了哪些知识？ 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 课堂小结 课外作业 在物理中，运动物体的位移 与所用时间 的比，称为 , 记作 . 《选择性必修第二册》 “复习巩固”1，3，4. $$