专题02 从位移的合成到向量的加减法重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题02 从位移的合成到向量的加减法重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 向量的加法 题型二 向量减法的法则 题型三 向量减法的运算律 题型四 向量减法法则的几何应用 知识点一 向量的加法与减法 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：． 规定：零向量与任一向量，都有． 说明：①共线向量的加法： ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量. 作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . （1） （2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 3．向量的加法运算律： 交换律：． 结合律：． 4．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性质：；． 5．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示． 6．向量减法的法则： 已知如图有，，求作． （1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则． 说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）． （2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，， 则． 【经典例题一 向量的加法】 【例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【经典例题二 向量减法的法则】 【例2】（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）定义：已知两个向量，，求满足这样的运算叫作 ．记为，称为 之差． 如图，，，是的三边，记，，由于． 因此，．也可以由，经过加法得到．    3．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 【经典例题三 向量减法的运算律】 【例3】（22-23高一下·辽宁·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 3．（21-22高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【经典例题四 向量减法法则的几何应用】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 .平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 . 3．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·陕西延安·期末）下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（    ） A．6 B．7 C．8 D． 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 8．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 9．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）以下四个选项中，正确的有（    ） A．若向量，则 B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形 C．若四边形满足，且，则四边形为矩形 D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形 10．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 11．（22-23高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 12．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 13．（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为 ． 14．（23-24高一下·福建福州·期中）计算 ． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 16．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 18．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 19．（2023高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 20．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 从位移的合成到向量的加减法重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 向量的加法 题型二 向量减法的法则 题型三 向量减法的运算律 题型四 向量减法法则的几何应用 知识点一 向量的加法与减法 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：． 规定：零向量与任一向量，都有． 说明：①共线向量的加法： ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量. 作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . （1） （2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 3．向量的加法运算律： 交换律：． 结合律：． 4．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性质：；． 5．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示． 6．向量减法的法则： 已知如图有，，求作． （1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则． 说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）． （2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，， 则． 【经典例题一 向量的加法】 【例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论. 【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且， 所以由可得，所以充分性成立； 对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 1．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 2．（23-24高一下·全国·课前预习）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 【答案】 平行四边形法则 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 【经典例题二 向量减法的法则】 【例2】（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加减的运算法则可解. 【详解】对于A,,不满足题意； 对于B,,满足题意； 对于C,,不满足题意； 对于D,具体不知. 故选：B. 1．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课前预习）定义：已知两个向量，，求满足这样的运算叫作 ．记为，称为 之差． 如图，，，是的三边，记，，由于． 因此，．也可以由，经过加法得到．    【答案】 向量的减法 与 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用平面向量加、减法法则即可得出答案. 【详解】（1）； （2）. 【经典例题三 向量减法的运算律】 【例3】（22-23高一下·辽宁·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量加法和减法运算求解即可. 【详解】． 故选：A． 1．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、减法运算求解即可. 【详解】 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 3．（21-22高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【答案】 【分析】求出的值，利用平面向量的线性运算化简向量，即可求得的值. 【详解】解：在矩形中，，， 则， 因为，，， 则， 因此，. 【经典例题四 向量减法法则的几何应用】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 .平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 2．（22-23高一下·陕西延安·期末）下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法及运算性质，即可得到答案. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：D． 3．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（    ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】转化条件得，根据球的特征求解即可. 【详解】是以为球心，半径为2的球面上的四点，， . 当点和、、中其一重合时得到 （极限状态，不能重合）， 当平面时,， A不可能. 故选：A. 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可. 【详解】 如图所示：对选项A，， 故A错误； 对选项B， ， 故B正确； 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量. 因为， 所以为的平分线， 又因为为的中线，所以， 如上图所示：在的投影为， 所以是在的投影向量，故选项C正确； 对选项D， 如上图所示： 因为在上，即三点共线， 设，.   又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确； 故选：BCD 8．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量线性运算性质判断AB，根据向量不能比较大小判断C，根据向量共线性质判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因为向量不能比较大小可得C错误， 对于D，取，则对与任意的向量都有，故不一定成立，D错误. 故选：ACD. 9．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）以下四个选项中，正确的有（    ） A．若向量，则 B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形 C．若四边形满足，且，则四边形为矩形 D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形 【答案】CD 【分析】当时，无法确定的方向，即可判断A；当共线时，即可判断B；由，可得且，再根据结合平面向量的减法的三角形法则即可判断C；根据，可得，即可判断D. 【详解】对于A，当时，无法确定的方向，故不能判断是否平行，故A错误； 对于B，若非零向量满足，则， 当共线时，则表示的有向线段不可以构成三角形，故B错误； 对于C，若四边形满足，则且， 则四边形为平行四边形， 因为，即， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为，所以，即， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故D正确. 故选：CD. 10．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项； 根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确； 设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错. 故选：BC. 11．（22-23高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可； 【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以， 所以， 所以 ，，故． 故答案为： 12．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 【答案】2 【分析】先利用向量加减法化简，进而求得的值. 【详解】，，均为平面单位向量，夹角为120°，则 则． 故答案为：2 13．（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值． 【详解】解：点在圆上，， ， 的最大值为． 故答案为：． 14．（23-24高一下·福建福州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】根据向量加减法运算，即可化简． 【详解】， 故答案为：． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【答案】1 【分析】根据平面向量的加减运算即可求解. 【详解】. 故答案为:1. 16．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 18．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 19．（2023高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 20．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$