第一章空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．设向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 6．如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 7．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知构成空间的一个基底，则下列向量构成基底是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（   ） A．异面直线与所成角的余弦值是 B．点到平面的距离是 C．三棱锥的体积为 D．四面体外接球的表面积是 11．如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（   ）    A．当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B．当，，时，存在点，使得 C．当，，时，存在唯一点，使得 D．当时，的最小值是 三、填空题 12．设、、，，，，且，，则 . 13．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 14．平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 四、解答题 15．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． (1)求证：平面ADE； (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17．在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 18．如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点. (1)证明：平面ACE； (2)求与平面ACE所成角的余弦值. 19．如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A D C A ABC ACD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 2．D 【分析】根据空间向量数量积的运算律判断即可. 【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，， 均成立，即A、B、C正确； 为与共线的向量， 为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误． 故选：D 3．B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 4．D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 5．A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 6．D 【分析】根据题意，连接，由向量的线性运算可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 连接， 由题意可得， 所以 ， 所以. 故选：D 7．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解． 【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 , 则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8．A 【分析】根据题意求得平面的法向量与直线的方向向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由，令，则， 所以两平面的交线的方向向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A． 【点睛】方法点睛：根据交线在两平面内，所以直线的方向向量与两平面的法向量互相垂直可求得直线的方向向量，利用线面角的向量求法，可求得线面角的正弦值. 9．ABC 【分析】由基底的概念逐个判断即可. 【详解】A选项：设， 则有， 所以显然该方程无解， 故可与，构成基底，故A正确； B选项：设，则，此方程组无解， 即，，构成基底，故B正确； C选项：设，则，此方程组无解， 即，，构成基底，故C正确； D选项：设，则， 则，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：ABC. 10．ACD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法可求点到平面的距离后可判断B的正误，求出的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误. 【详解】   建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 故， 故异面直线所成角的余弦值为，故A正确； 因为，设平面的法向量为， 则由可得，取， 而，故点到平面的距离是，故B错误； 又，设， 则 因为共线，所以，故，即， 故，且在轴上，故，故C正确； 设四面体外接球的球心为，则， 即； ； ， 整理得到：，故，故外接球半径为， 故外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题. 11．AC 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于D，先判断四点共面，利用“等积变换”求解即可. 【详解】建立如图所示直角坐标系，取为中点，交于点，    以，，，，， ， 由，所以， ，即， 当时，则，故，点在直线上， 所以点到直线的距离为1，三角形面积为， 又因为到平面的距离为， 所以是定值，故A正确； 当时，则， 则，， 因为，故，即， 即不存在点，使得，故B错误； 当时，则， 若，则， 解得 或，又因为，故存唯一点使得，故C正确； 若时，则四点共面， 当与平面垂直时，的最小， 利用等体积法，则， 则可求解到的距离为， ，则，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】由已知可得出，可求出的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量共线的坐标表示求出、的值，可得出向量的坐标，进而可求得的坐标，结合空间向量的模长公式即可得解. 【详解】因为、、，，，，且，， 则，解得，则， 由可得，解得，，则， 所以，因此. 故答案为：. 13．6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 14．5 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 15．(1)，，； (2) 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． （2）平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17．(1) (2)2 (3). 【分析】（1）先由为基底表示，再由求解； （2）先论证，，再利用线面垂直的判定地理证明平面，从而为到直线的距离求解； （3）设，由求解. 【详解】（1）如图所示：    由题知，， 因为，所以， ， 而， ， ， 所以，即的长度为. （2）因为，所以， 所以， 在中，， 所以，即，又因为，平面， 所以平面， 而平面，所以，即为到直线的距离， 而，所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设，则 ， 当时，这时的最小，且为. 18．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD和，设， 连接EO，则O为BD中点， 在中，因为F，G分别为和的中点， 所以，又因为在中，因为E为的中点， 所以，所以 又平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE． （2）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图： 设正方体的棱长为2， 则，，，， 所以，，， 设为平面ACE的一个法向量， 则，所以，取 设直线与平面ACE所成角为， 所以直线与平面ACE所成角的正弦值为： ． 所以与平面ACE所成角的余弦值为. 19．(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$