第5章 一元一次方程 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第5章 一元一次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第5章（一元一次方程）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程是一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、，是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算方法. 解这个方程需要去括号，然后移项、合并同类项最后系数化1可求出x的值． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选D． 3．下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； B、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； C、若，则，原式变形一定正确，符合题意； D、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； 故选：C． 4．已知关于x的方程的解为，则a的值是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：； 故选A． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有牧童人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有牧童人， 根据题意可列方程为：， 故选：． 6．如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程的解，再把x的值代入方程，解出a即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入中得：， 解得：． 故选：A． 7．小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解得定义是解题的关键．设被污染的数字为y，将代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值． 【详解】解：设被污染的数字为y． 将代入得：． 解得：． 故选：B． 8．已知：，且a，b，c为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除的应用，等式的性质，根据等式的性质可知：乘积相等，一个因数越大，另一个因数越小；先把除法化成乘法，比较数字因数的大小，再根据乘积相等，一个因数越大，另一个因数越小判断字母因数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， a，b，c中最小的数是b， 故选：． 9．小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“经过的时间相等”列方程求解． 【详解】解：设实际经过了小时， 则， 解得：， ， ∴此时小张的表是， 故选：D． 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．已知是关于x的方程的一个解，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟记“方程的解是使方程左右两边相等的量”是解题关键． 【详解】是关于x的方程的解， 故答案为：9． 12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 1 9 m 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：． 13．王强和张丽同时从甲村出发到乙村，张丽的速度为，王强的速度为，张丽比王强早到12分钟，则甲、乙两村的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲、乙两村的距离是，根据时间等于路程除以速度，结合张丽比王强早到12分钟列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两村的距离是， 由题意得，， 解得， ∴甲、乙两村的距离是， 故答案为：． 14．如图所示为一个计算程序： 若开始输入的数x为正整数，最后输出的结果为87，则满足条件的x的值为 ． 【答案】1，3，15． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据最后输出的结果为87，逆着运算顺序，列依次计算可解答． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当，解得， 当，解得：， 则满足条件的x的值为1，3，15． 故答案为：1，3，15． 15．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，求得的值，然后把的值代入中，最后解方程即可． 【详解】解：方程右边的项没有乘，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：， 方程为， 去分母，得， 解得：， 故答案为：，． 16．已知的取值与代数式的对应值如表： x … 0 1 2 3 … ax+b … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，得出了如下结论：①；②关于方程的解是；③|；④的值随着值的增大而减小．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据题意得：当时，，可得①正确；当时，，可得关于的方程的解是；故②正确；再由当时，，当时，，可得③错误；然后求出，可得当的值越大，越小，即也越小，可得④错误；即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，故①正确； 当时，， ∴关于的方程的解是；故②正确； 当时，， 当时，， ∵， ∴，故③错误； ∵，当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴当的值越大，越小，即也越小， ∴的值随着值的增大而减小，故④正确； 所以其中正确的是①②④． 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解二元一次方程组，不等式的性质，理解表格的意义是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解； （4）先去小括号，再去大括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为，得：． （2）解： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为，得：． （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得：． （4）解： 去括号得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为是解题的关键． 18．阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（A） 合并同类项，得．（B） 系数化为1，． （C） (1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________； (2)错误的原因：___________； (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)A，C (2)步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． 首先观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，即可解答（1），（2）；然后根据移项，合并同类项，系数化为1的过程解答（3）即可． 【详解】（1）解：观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误， 故答案为：A，C． （2）解：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了； 故答案为：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了． （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 20．某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 21．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 【答案】(1)不是“乘解方程”，理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （2）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）不是“乘解方程”， ， 解得：， ∴方程不是“乘解方程”； （2）由解得：． ∵关于x的一元一次方程是“乘解方程” ∴， 解得：， ∴a的值为． 22．我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)不是； (2)； (3)． 【分析】（）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和 不是“仁爱”方程， 故答案为：不是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 23．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图．在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的倍分点． 在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是4．点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点．则点对应的数______； (2)若点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值； (3)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是______； (4)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，则的值是______； (5)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，求出的值； 【答案】(1)1 (2)或5 (3)3 (4)1.6或0.4 (5)1或2或4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1）根据点到点、点的距离相等，结合数轴可得答案； （2）此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，再列出方程求解即可； （3）设点表示的数是，根据点是点关于点的“5倍分点”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由点的坐标及的长，可得出点表示的数是或8，分点表示的数是或点表示的数是8两种情况考虑，根据“倍分点”的定义，即可求出值； （5）根据题意可得，，，分四种情况：①当时；②当时；③当时；④时；根据“倍分点”的定义，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，． 依题意得， 解得：， 故答案为：1； （2）解：由，若存在点到点、点的距离之和为8，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． ①在点左侧，，， 依题意得， 解得：； ②在点右侧，，， 依题意得， 解得：； 故点对应的数的值是或5； （3）解：∵点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”， ∴， ∴， 解得：， 点表示的数是3， 故答案为：3； （4）解：点表示的数是，， 点表示的数是或8． ∵点是点关于点的“倍分点”， ∴, 当点表示的数是时，， 解得：； 当点表示的数是8时，， 解得：． 综上所述，的值为1.6或0.4． 故答案为：1.6或0.4． （5）解：点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ，，， ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：； ③当时， ， 解得：； ④时， 即， 解得：． 综上，的值为1或2或4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第5章（一元一次方程）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程是一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知关于x的方程的解为，则a的值是（　） A． B．2 C．3 D． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A． B． C． D． 6．如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知：，且a，b，c为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 9．小李的表每小时比标准钟慢3分钟，小张的表每小时比标准钟快3分钟．早上10点整两人把表对准．到下午某个时刻，小李的表是，小张的表是（　　） A． B． C． D． 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．已知是关于x的方程的一个解，则 ． 12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 1 9 m 13．王强和张丽同时从甲村出发到乙村，张丽的速度为，王强的速度为，张丽比王强早到12分钟，则甲、乙两村的距离是 ． 14．如图所示为一个计算程序： 若开始输入的数x为正整数，最后输出的结果为87，则满足条件的x的值为 ． 15．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 16．已知的取值与代数式的对应值如表： x … 0 1 2 3 … ax+b … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，得出了如下结论：①；②关于方程的解是；③|；④的值随着值的增大而减小．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（A） 合并同类项，得．（B） 系数化为1，． （C） (1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________； (2)错误的原因：___________； (3)请写出正确的解题过程． 19．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 20．某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 21．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 22．我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 23．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图．在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的倍分点． 在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是4．点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点．则点对应的数______； (2)若点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值； (3)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是______； (4)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，则的值是______； (5)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，求出的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$