专题提升Ⅸ 电磁感应中的能量和动量问题-2024-2025学年高二物理同步讲练（人教版2019选择性必修第二册）

专题提升Ⅸ 电磁感应中的能量和动量问题 （1）掌握电磁感应中的能量与动量的计算问题。 知识点一　电磁感应中的能量问题 【重难诠释】 1．电磁感应现象中的能量转化 安培力做功 2．焦耳热的计算 (1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt. (2)感应电流变化，可用以下方法分析： ①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安． ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量． [例题1] （2023秋•天河区期末）有一边长l＝0.1m、质量m＝10g的正方形导线框abcd，由高度h＝0.2m处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止。已知匀强磁场的磁感应强度B＝1T，匀强磁场区域的高度也是l，g取10m/s2，则线框（　　） A．电阻R＝0.4Ω B．进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量q＝0.2C C．穿越磁场的过程产生的焦耳热Q＝0.02J D．穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变 [例题2] （2023秋•宁波期末）如图甲所示，光滑水平导轨的间距为L＝1m，其左右两侧各接有阻值R＝2Ω的电阻，整个装置处于磁感应强度大小为B＝1T，方向竖直向下的匀强磁场中。一质量m＝1kg，电阻r＝1Ω的金属棒MN在外力F的作用下，由静止开始沿导轨向右运动，棒中电流I随其位移x变化图像如图乙所示。导轨电阻不计，则棒从静止向右运动x＝2m的过程中（　　） A．金属棒做匀加速直线运动 B．x＝2m时棒两端电压大小为2V C．流过左边电阻R的电荷量为1C D．金属棒中所产生的焦耳热为0.5J [例题3] （2023秋•朝阳区期末）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。已知线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框在进和出磁场的两过程中电流方向相同 B．线框在进和出磁场的两过程中所用时间相等 C．线框在进和出磁场的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 D．线框在进磁场过程中产生的焦耳热小于出磁场过程中产生的焦耳热 [例题4] （多选）（2024•肥城市模拟）如图所示，CN、DQ是两条足够长水平固定放置的阻值可忽略的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，水平导轨所在区域存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨的左端与一段半径为r的光滑圆弧轨道平滑连接，水平导轨的右端接入阻值为R的电阻。一质量为m、长度为L、电阻为R的导体棒a静置于水平轨道最左端，将另一个与导体棒a完全相同的导体棒b从圆弧轨道上h（h＜r）高处由静止释放，b与a发生完全非弹性碰撞（粘连一起），运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．b棒刚到达圆弧底端时对轨道的压力大小为3mg B．两棒最终停在CD右侧处 C．整个过程中，通过b棒的电荷量为 D．整个过程中，电阻R上产生的焦耳热为 [例题5] （2024•开福区校级模拟）如图所示，水平面上有相距L的两平行足够长固定轨道M和N，轨道的电阻不计。两根长度均为L的导体棒ab和cd紧靠横放于轨道上，质量分别为2m和m，电阻分别为3R和R，与轨道间的动摩擦因数均为μ，两棒始终与两导轨保持良好接触。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现垂直于ab棒施加F＝4μmg的水平恒力，ab棒从静止开始运动，经时间t1后cd棒即将开始运动，测得t1时间内两棒之间的距离为x。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 （1）求cd棒即将开始运动时ab棒的速度v； （2）求t1时间内cd棒产生的电热Q； （3）在cd棒即将开始运动时撤去力F，此时cd棒仍然静止，若在ab棒以后的运动过程中，流过cd棒的电量为q，求此过程经历的时间t2。 知识点二　电磁感应中的动量问题 【重难诠释】 1.动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便． 2.动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析： (1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动． (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒． (3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和． 类型1.动量定理在电磁感应中的应用 [例题6] （2024•岳麓区校级模拟）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　） A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加 B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的 C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 [例题7] （多选）（2024春•安徽期中）如图所示，在绝缘的光滑水平面上有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为s的区域内，磁感应强度为B。有一个边长为d（d＜s）的正方形均匀导线框abce，以初速度2v0垂直磁场边界进入磁场，当导线框的ce边刚进入磁场时线框速度为v0。已知线框的质量为m，下列说法正确的是（　　） A．ab边刚进入磁场时，c、e间电压为 B．ce边刚进入磁场时，a、b间的电压为 C．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为 D．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动量减少量的大小为mv0 [例题8] （多选）（2024春•龙岩期末）我国自主设计建造的航空母舰“福建舰”采用了世界上最先进的电磁弹射技术。图甲为飞机在航空母舰甲板上起飞的电磁弹射装置，其工作原理可简化为如图乙所示，足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器相连，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上，开关S掷于1位置后，飞机向右加速到速度为v时与牵引杆ab脱离并起飞。已知两金属轨道电阻不计，间距为L，磁感应强度大小为B，ab杆质量为m0、电阻为R，飞机质量为m，不计飞机与甲板之间的摩擦和空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．飞机起飞过程做匀加速直线运动 B．飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动 C．飞机起飞过程中通过ab杆的电荷量为 D．飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，ab杆能再向前运动的最大距离为 [例题9] （2024春•滨州期末）如图所示，平行光滑金属双导轨P1Q1M1和P2Q2M2，其中P1Q1和P2Q2为半径r＝0.9m的光滑圆轨道，O1和O2为对应圆轨道的圆心。Q1、Q2在Q1、Q2正下方且为圆轨道和水平轨道平滑的连接点，Q1M1和Q2M2为足够长的水平轨道。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1T，导轨间距L＝1m。两导体棒a、b始终垂直于两导轨且与导轨接触良好，a、b的质量均为m＝1kg，电阻均为R＝1Ω，导轨电阻不计。初始时刻，将a从与圆心等高的P1P2处由静止释放，b锁定在水平导轨上。当a到达圆轨道底端Q1Q2位置时受到轨道的支持力大小为20N，此时b解除锁定，a、b在以后运动过程中不会发生碰撞，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）棒a到达Q1Q2位置时通过棒b的电流强度大小； （2）整个过程中通过导体棒b的电荷量； （3）整个过程中棒a、b产生的焦耳热。 [例题10] （2024春•沙坪坝区校级月考）在水平面上固定有两光滑平行金属导轨，如图（a）所示。虚线MN左侧存在着竖直向下的匀强磁场，导体棒a、b、c垂直静止在导轨上且接触良好，导体棒b、c用轻质绝缘杆相连，三根导体棒的长度以及导轨宽度均为L＝0.6m。现固定导体棒b、c，对导体棒a施加一个与其垂直的力F，使导体棒a做匀加速直线运动，F随导体棒a的速度v的变化图像如图（b）所示，经时间t＝3s撤去拉力，同时释放导体棒b、c。经过一段时间三根导体棒运动状态达到稳定，此时a棒仍未出磁场，导体棒a、b间的距离xm，已知三根导体棒质量相同，均为m＝0.1kg，电阻相同，均为r＝0.2Ω，其余电阻不计。求： （1）磁场的磁感应强度和撤去拉力时导体棒a的速度； （2）从撤去F到运动状态达到稳定过程中导体棒b上产生的焦耳热； （3）导体棒b穿出磁场瞬间的速度和此时轻杆对导体棒b拉力的大小（忽略磁场的边界效应）。 类型2.动量守恒定律在电磁感应中的应用 [例题11] （2024•青羊区校级开学）如图所示，质量为0.2kg的方形铝管静置在足够大的光滑绝缘水平面上，现使质量为0.3kg的条形磁铁（条形磁铁横截面比铝管管内横截面小）以v＝5m/s的水平初速度自左向右穿过铝管，忽略一切摩擦，不计管壁厚度。则关于磁铁穿过铝管的过程中，下列说法正确的是（　　） A．从左往右看，图示时刻铝管中的感应电流沿逆时针方向 B．铝管可能先做加速运动后做匀速运动 C．磁铁减少的动能等于铝管增加的动能 D．铝管获得的速度可能等于2m/s [例题12] （多选）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B，两根金属杆间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，已知两金属杆质量均为m，电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，现将杆1以初速度v0向右滑向杆2，在运动过程中两杆始终不碰撞，则（　　） A．杆1将做匀减速运动，杆2将做匀加速运动 B．杆1、杆2最终均以速度0.5v0做匀速运动 C．杆1上总共产生的热量 D．通过杆2上的电荷量为 [例题13] （多选）如图所示，ab和cd是两条竖直放置的、间距为l的长直光滑金属导轨，MN和PQ是两根用轻质绝缘细线连接的金属杆，其质量分别为2m和m，杆MN受到竖直向上的恒力F作用，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触，两杆的总电阻为R，整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g，金属杆和导轨始终接触良好，现将细线烧断，则有（　　） A．两金属杆运动过程中产生感应电流的方向为逆时针方向 B．运动过程中MN杆与PQ杆的加速度始终大小相等、方向相反 C．MN杆能达到的最大速度为 D．PQ杆能达到的最大速度为 [例题14] 如图所示，两根足够长的光滑水平金属导轨固定在同一水平面上，间距为L，导轨左端与开关S、电池（电动势为E，内阻为r）相连，导轨间的矩形窄区abcd（图中的虚线框）的左、右两侧存在磁感应强度大小均为B、方向均竖直向上的匀强磁场（未画出），窄区内无磁场且宽度不计。有两根长度均为L、电阻均为r的金属棒AB、CD，CD垂直放在窄区内的导轨上，AB垂直放在窄区左侧的导轨上。闭合开关S，AB由静止开始运动，一段时间后做匀速运动，断开S时AB与CD发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知AB、CD的质量分别为4m、m，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： （1）碰前瞬间AB的速度大小v0； （2）开关S由闭合到断开的这段时间内，通过AB某横截面的电荷量q； （3）碰后瞬间AB的速度大小v以及从碰后到最终状态过程中AB中产生的焦耳热Q。 [例题15] （2023秋•鹿城区校级月考）如图所示，倾角为θ＝30°、间距L＝0.5m、电阻不计的金属轨道固定放置，沿轨道建立x轴，边界OO′与坐标原点O在一条直线上且垂直x轴。x＜0区域：B1＝1T，垂直轨道平面向下；x≥0区域：B2＝0.6+0.8x，垂直轨道平面向上。一质量为m1＝0.3kg、边长均为L＝0.5m的U形框由金属棒de（阻值R1＝0.2Ω）和两绝缘棒cd、ef组成。另有质量为m2＝0.1kg、边长L＝0.5m、阻值R2＝0.2Ω的金属棒ab在离cf一定距离处获得沿斜面向下的冲量后向下运动。金属棒ab及U形框与轨道间的动摩擦因数。 （1）ab棒释放后的短时间内比较c、f两点的电势高低； （2）若棒ab从某处释放，同时U形框解除锁定，为使棒ab与U形框碰撞前框保持静止，则释放时所加的初速度满足的条件； （3）若棒ab在x＝﹣0.32m处释放，且初速度为v0＝4m/s，同时U形框解除锁定，求棒ab与框发生完全非弹性碰撞后ed棒的最大位移。 1. （2024春•安徽期中）如图所示，圆形线圈的面积为S，匝数为N，线圈电阻不计，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO'以角速度ω匀速转动，产生交变电流，外电路总电阻为R，则线圈由图示位置开始，转动一个周期（　　） A．电流的有效值I B．电阻R上产生的热量Q C．电阻R上产生的热量Q D．通过电阻R的电荷量q 2. （2024春•重庆期末）如图所示，竖直向上的匀强磁场中水平放置两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有电容器，不计电阻的金属棒ab静止在导轨上，棒与导轨垂直。t＝0时，棒在恒定的水平拉力F作用下开始向右运动，t＝t0时，撤去拉力。则棒的速度大小v、电容器所带的电荷量q、棒中安培力的冲量大小I、棒克服安培力做的功W与时间t的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 3. （2024•新郑市校级开学）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，L1静止，L2以初速度v0向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（　　） A．导体棒L2最终停止运动，L1以某一速度匀速运动 B．导体棒L1的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 4. （2023秋•江苏月考）如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨，导轨间距为L且电阻不计，质量为m、电阻为R的金属杆ab与导轨垂直且始终与导轨接触良好，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落时间t1后闭合开关S，再经一段时间t2后匀速下落。不计空气阻力，重力加速度为g，金属杆在t1+t2运动时间内，下列说法正确的是（　　） A．闭合开关后流过杆的感应电流方向从b到a B．闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动 C．杆所受安培力的冲量大小为 D．杆下落的高度小于 5. （多选）（2023春•万州区校级期中）如图所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在同一水平面上，其间距为L＝1m，左端通过导线连接一个R＝1.5Ω的定值电阻。整个导轨处在磁感应强度大小B＝1T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。质量m＝0.2kg、长度L＝1m、电阻r＝0.5Ω的均质金属杆垂直于导轨放置，且与导轨接触良好，在杆的中点施加一个垂直于金属杆的水平拉力F，使其由静止开始运动。金属杆运动后，拉力F的功率P＝8W保持不变，当金属杆的速度稳定后，撤去拉力F。下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力F前，金属杆稳定时的速度为16m/s B．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，通过金属杆的电荷量为0.8C C．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，金属杆前进的距离为1.6m D．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，金属杆上产生的热量为1.6J 6. （多选）如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静放着两根质量为m、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路（ab、cd与导轨接触良好），导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B．现给cd一个初速度v0，则（　　） A．ab将向右做匀加速运动 B．ab、cd最终具有相同的速度 C．ab能够获得的最大速度为v0 D．回路产生的焦耳热为 7. （多选）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根质量均为m，电阻均为R（其余部分电阻不计）的导体棒ab和cd，构成矩形回路．在整个导轨平面内都有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，如图所示，设两导体棒均可沿导轨无摩擦滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动过程中始终不接触，则（　　） A．棒ab、cd在运动过程中，回路中一定有感应电流 B．当棒ab、cd的运动稳定后，棒ab、cd有共同速度v C．在运动过程中，产生的焦耳热最多为Q D．在运动过程中，安培力对棒cd做的功数值上等于回路中的电能 8. （2024春•福州期末）如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面上宽度为2L的矩形区域内存在垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一边长为L、电阻为R、质量为m的单匝正方形线框efgh从距离磁场上边缘为d处由静止开始沿斜面下滑。已知线框进、出磁场均做变速运动且gh边进、出磁场时速度相等，d＞L，重力加速度为g。求： （1）gh边刚进入磁场时受到的安培力大小FA； （2）线框穿越磁场全过程产生的焦耳热Q； （3）线框进入磁场所经历的时间t。 9. （2024春•重庆期末）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；导轨上P、Q两点连线与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动。M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。 （1）求初始时刻杆N受到的安培力大小； （2）若M、N在PQ左侧未相撞，N到达边界PQ时速度大小为，求此时M的速度大小； （3）在（2）的条件下，若M到达边界PQ时速度大小为，求M、N最终速度大小。 10. （2024秋•天心区校级月考）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角θ＝37°，在其顶端与阻值为2R的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'间是绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为B1＝0.5T的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为B2＝1T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离AA'足够远，导体棒2静置于水平轨道上。已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5，R＝1Ω。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不计金属棒1经过AA'时的机械能损失。求： （1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小； （2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量。 11. （2024秋•杭州月考）如图甲所示，水平面内有两条间距为L＝0.5m的不计电阻的平行金属直导轨，左端接一个原本不带电的电容器，电容C＝0.2F。导轨在G、H两处被不计长度的绝缘材料分隔开。一根长度也为L、质量m＝0.1kg、电阻R＝1Ω的金属棒ab跨放在GH左侧足够远处。另有质量M＝0.2kg、电阻为6R＝6Ω的均匀金属丝制成的一个半径也为L的刚性圆环，水平放在GH右侧某处，其圆心到两直导轨的距离相等。仅在两导轨之间的区域内有一个竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。现给金属棒ab一个水平向右的初速度v0（大小未知），已知ab棒经过GH时速度为v1＝5m/s，不计任何摩擦，且所有金属部件的接触处均连接良好，无接触电阻。 （1）金属棒ab刚经过GH后的瞬间，a点电势 　大于　b点电势（选填“大于”或“小于”），并求ab两端的电压大小U； （2）求电容器的最终带电量Q以及ab棒的初速度v0； （3）如图乙，撤去原磁场、金属棒ab和电容C，在轨道右侧固定一个形状完全等同圆弧EF的绝缘挡板IJ，并仅在曲线图形EFJI区域内加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B2＝2.4T。同时在两导轨的P、N处也由不计长度的绝缘材料分隔开；EP＝FN＝L，，金属环触碰到挡板即被锁定不动。现给金属环一个水平向右的初速度v＝5m/s，方向与导轨平行。求金属环在整个运动过程中产生的焦耳热，以及通过金属环的K部位处横截面的电荷量。（K位于圆弧EF之间） 12. （2024•福建模拟）如图所示，在光滑水平面上放置一矩形线框abcd，ab边的长度为L1＝2m，bc边的长度为L2＝1m，线框的质量为m＝1kg，电阻为r＝1Ω，线框通过细线绕过光滑的定滑轮与重物相连，滑轮的质量不计，重物的质量为M＝2kg；水平面上ef和gh是有界匀强磁场的边界，边界与水平面的底边平行，ef和gh间距为L＝3m，磁场方向垂直于水平面向下，磁感应强度为B＝1T，开始时cd边与ef边界的距离为x＝1m。现由静止释放重物，线框恰好能匀速穿过边界gh，线框运动过程中cd边始终与水平面的底边平行，设水平面足够长，矩形线框abcd不会与滑轮接触，重力加速度为g＝10m/s2。求： （1）线框穿过gh边界时速度的大小v； （2）线框进入磁场过程中通过线框的电量q； （3）线框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提升Ⅸ 电磁感应中的能量和动量问题 （1）掌握电磁感应中的能量与动量的计算问题。 知识点一　电磁感应中的能量问题 【重难诠释】 1．电磁感应现象中的能量转化 安培力做功 2．焦耳热的计算 (1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt. (2)感应电流变化，可用以下方法分析： ①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安． ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量． [例题1] （2023秋•天河区期末）有一边长l＝0.1m、质量m＝10g的正方形导线框abcd，由高度h＝0.2m处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止。已知匀强磁场的磁感应强度B＝1T，匀强磁场区域的高度也是l，g取10m/s2，则线框（　　） A．电阻R＝0.4Ω B．进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量q＝0.2C C．穿越磁场的过程产生的焦耳热Q＝0.02J D．穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变 【解答】解：A.线框由高度h＝0.2m处自由下落，根据运动学公式有 v2＝2gh 线框在磁场中做匀速运动，根据平衡条件有 mg＝BIl 根据电磁感应定律 E＝Blv 根据闭合电路的欧姆定律 代入数据联立解得 R＝0.2Ω，故A错误； B.线框进入匀强磁场的过程流过线框的电荷量 ，故B错误； C.根据克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热，线框穿越匀强磁场的过程产生的焦耳热 Q＝2mgl 代入数据解得 Q＝0.02J，故C正确； D.根据右手定则可知，线框进入磁场和出离磁场时感应电流的方向相反；根据左手定则可知，穿越磁场的过程安培力的方向没有变化，总是竖直向上，故D错误。 故选：C。 [例题2] （2023秋•宁波期末）如图甲所示，光滑水平导轨的间距为L＝1m，其左右两侧各接有阻值R＝2Ω的电阻，整个装置处于磁感应强度大小为B＝1T，方向竖直向下的匀强磁场中。一质量m＝1kg，电阻r＝1Ω的金属棒MN在外力F的作用下，由静止开始沿导轨向右运动，棒中电流I随其位移x变化图像如图乙所示。导轨电阻不计，则棒从静止向右运动x＝2m的过程中（　　） A．金属棒做匀加速直线运动 B．x＝2m时棒两端电压大小为2V C．流过左边电阻R的电荷量为1C D．金属棒中所产生的焦耳热为0.5J 【解答】解：A.根据电路分析可得电路中的总电阻为 根据闭合电路的欧姆定律，在导体棒运动过程中产生的感应电流为 E＝BLv I 解得：I 可知电流大小与速度成正比，根据图乙I﹣x图像的表达式为 可知I与x成正比，所以导体棒的速度与位移大小成正比，根据匀变速直线运动规律 v2＝2ax 可知若金属棒做从0开始的匀加速直线运动应该是导体棒的速度的平方与位移成正比，所以金属棒做的不是匀加速直线运动，故A错误； B.x＝2m时，根据乙图可得金属棒中电流为 I2＝1A 故x＝2m时金属棒切割磁感线产生的电动势为 E2＝I2R总＝1×2V＝2V 棒两端电压为路端电压，即 ，故B错误； C.流过左边电阻R的电荷量为 又 根据闭合电路的欧姆定律有 根据电磁感应定律 联立解得 q＝0.5C，故C错误； D.在纯电阻电路中，电路中所产生的总焦耳热等于克服安培力所做的功，根据功能关系结合乙图像的面积关系有 代入数据解得 Q＝1J 因为导体棒电阻等于左右两侧并联电阻之和，所以导体棒上产生的热量 ，故D正确。 故选：D。 [例题3] （2023秋•朝阳区期末）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。已知线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框在进和出磁场的两过程中电流方向相同 B．线框在进和出磁场的两过程中所用时间相等 C．线框在进和出磁场的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 D．线框在进磁场过程中产生的焦耳热小于出磁场过程中产生的焦耳热 【解答】解：A.根据右手定则线框在进磁场的过程中电流方向为逆时针，线框在出磁场的过程中电流方向为顺时针，故A错误； B.线框在进和出磁场的两过程中，安培力做负功，线框做减速运动，则线框在进磁场的过程中的平均速度大于线框在出磁场的过程中的平均速度，线框在进和出磁场的两过程中所用时间不相等，故B错误； C.线框在进和出磁场的两过程中通过导线横截面的电荷量为 线框在进和出磁场的两过程中磁通量变化量相同，线框在进和出磁场的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故C正确； D.线框进和出磁场过程中产生的焦耳热大小等于线框克服安培力所做的功，即 线框中的感应电流为 线框在进磁场的过程中的平均速度大于线框在出磁场的过程中的平均速度，则线框在进磁场过程中产生的焦耳热大于出磁场过程中产生的焦耳热，故D错误。 故选：C。 [例题4] （多选）（2024•肥城市模拟）如图所示，CN、DQ是两条足够长水平固定放置的阻值可忽略的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，水平导轨所在区域存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。水平导轨的左端与一段半径为r的光滑圆弧轨道平滑连接，水平导轨的右端接入阻值为R的电阻。一质量为m、长度为L、电阻为R的导体棒a静置于水平轨道最左端，将另一个与导体棒a完全相同的导体棒b从圆弧轨道上h（h＜r）高处由静止释放，b与a发生完全非弹性碰撞（粘连一起），运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．b棒刚到达圆弧底端时对轨道的压力大小为3mg B．两棒最终停在CD右侧处 C．整个过程中，通过b棒的电荷量为 D．整个过程中，电阻R上产生的焦耳热为 【解答】解：A．b导体棒下滑过程由机械能守恒定律得 解得 在底端根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，b棒刚到达圆弧底端时对轨道的压力大小为 故A错误； D．b与a发生完全非弹性碰撞，以向右为正方向，根据动量守恒定律有 mv＝2mv1 解得 根据能量守恒定律，回路总产热 电阻R上产生的焦耳热为 故D正确； BC．对两棒碰后，以向右为正方向，根据动量定理 解得 ① 通过b棒的电荷量为 根据电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律和电荷量定义 ，，q＝IΔt 联立得 ② 联立①②两式解得 所以两棒最终停在CD右侧处。故B正确，C错误。 故选：BD。 [例题5] （2024•开福区校级模拟）如图所示，水平面上有相距L的两平行足够长固定轨道M和N，轨道的电阻不计。两根长度均为L的导体棒ab和cd紧靠横放于轨道上，质量分别为2m和m，电阻分别为3R和R，与轨道间的动摩擦因数均为μ，两棒始终与两导轨保持良好接触。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现垂直于ab棒施加F＝4μmg的水平恒力，ab棒从静止开始运动，经时间t1后cd棒即将开始运动，测得t1时间内两棒之间的距离为x。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 （1）求cd棒即将开始运动时ab棒的速度v； （2）求t1时间内cd棒产生的电热Q； （3）在cd棒即将开始运动时撤去力F，此时cd棒仍然静止，若在ab棒以后的运动过程中，流过cd棒的电量为q，求此过程经历的时间t2。 【解答】解：（1）在cd棒即将开始运动时，ab棒的速度为v，则电路中的电动势：E＝BLv 电路中的电流为： cd棒受的安培力为：F安＝BIL 由题意有：F安＝μmg 由以上各式解得： （2）设在t1时间内，ab棒产生的电热为Q1，由焦耳定律可知： 可求得到：Q1＝3Q 对整个系统由功能关系： 由以上各式可求得： （3）对ab棒以后的运动过程，以向左方向为正，由动量定理有： 流过cd棒的电量为： 由以上各式可求得： 答：（1）cd棒即将开始运动时ab棒的速度v为； （2）求t1时间内cd棒产生的电热Q为； （3）此过程经历的时间t2为。 知识点二　电磁感应中的动量问题 【重难诠释】 1.动量定理在电磁感应中的应用 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便． 2.动量守恒定律在电磁感应中的应用 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析： (1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动． (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒． (3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和． 类型1.动量定理在电磁感应中的应用 [例题6] （2024•岳麓区校级模拟）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　） A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加 B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的 C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 【解答】解：A、线框在进入磁场的过程中，受到向左的安培力而做减速运动，线框受到的安培力大小为，可知，随着速度减小，线框受到的安培力减小，加速度减小，因此线框在进入磁场的过程中，做加速度逐渐减小的变减速直线运动，速度随时间非均匀减小，故A错误； B、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 其中 解得：，可知另类加速度A不变，故B错误； CD、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 线框穿出磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 联立解得：，故C正确，D错误。 故选：C。 [例题7] （多选）（2024春•安徽期中）如图所示，在绝缘的光滑水平面上有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为s的区域内，磁感应强度为B。有一个边长为d（d＜s）的正方形均匀导线框abce，以初速度2v0垂直磁场边界进入磁场，当导线框的ce边刚进入磁场时线框速度为v0。已知线框的质量为m，下列说法正确的是（　　） A．ab边刚进入磁场时，c、e间电压为 B．ce边刚进入磁场时，a、b间的电压为 C．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为 D．ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动量减少量的大小为mv0 【解答】解：A．ab边刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有 E＝2Bdv0 设线框的电阻为R，则ce边上的电压为 故A正确； B．ce边刚进入磁场时，回路中电流为0，a、b间的电压为Bdv0，故B错误； CD．线框进入磁场时，安培力的冲量为 IBdt 由于进入磁场与离开磁场的过程中，线框磁通量的变化大小相同，所以安培力的冲量大小相等；又根据动量定理有 所以ce边从进入磁场与离开磁场的过程，线框动量大小的减小量为mv0，ce边离开磁场时速度变为零，ce边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为，故C错误、D正确。 故选：AD。 [例题8] （多选）（2024春•龙岩期末）我国自主设计建造的航空母舰“福建舰”采用了世界上最先进的电磁弹射技术。图甲为飞机在航空母舰甲板上起飞的电磁弹射装置，其工作原理可简化为如图乙所示，足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器相连，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上，开关S掷于1位置后，飞机向右加速到速度为v时与牵引杆ab脱离并起飞。已知两金属轨道电阻不计，间距为L，磁感应强度大小为B，ab杆质量为m0、电阻为R，飞机质量为m，不计飞机与甲板之间的摩擦和空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．飞机起飞过程做匀加速直线运动 B．飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动 C．飞机起飞过程中通过ab杆的电荷量为 D．飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，ab杆能再向前运动的最大距离为 【解答】解：AB、飞机起飞过程向右加速，金属杆ab切割磁感线产生反电动势，随着速度的增大，感应电流减小，飞机受到的向左的安培力减小，加速度减小，所以飞机起飞过程做加速度减小的加速直线运动，故A错误，B正确； C、飞机起飞过程中，对金属杆与飞机，取向右为正方向，由动量定理得 又 联立可得通过ab杆的电荷量为 ，故C错误； D、飞机起飞瞬间，开关S自动掷于2位置，对金属杆，取向右为正方向，由动量定理得 ﹣∑BiLt＝0﹣m0v 又 则有 解得ab杆能再向前运动的最大距离为，故D正确。 故选：BD。 [例题9] （2024春•滨州期末）如图所示，平行光滑金属双导轨P1Q1M1和P2Q2M2，其中P1Q1和P2Q2为半径r＝0.9m的光滑圆轨道，O1和O2为对应圆轨道的圆心。Q1、Q2在Q1、Q2正下方且为圆轨道和水平轨道平滑的连接点，Q1M1和Q2M2为足够长的水平轨道。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1T，导轨间距L＝1m。两导体棒a、b始终垂直于两导轨且与导轨接触良好，a、b的质量均为m＝1kg，电阻均为R＝1Ω，导轨电阻不计。初始时刻，将a从与圆心等高的P1P2处由静止释放，b锁定在水平导轨上。当a到达圆轨道底端Q1Q2位置时受到轨道的支持力大小为20N，此时b解除锁定，a、b在以后运动过程中不会发生碰撞，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）棒a到达Q1Q2位置时通过棒b的电流强度大小； （2）整个过程中通过导体棒b的电荷量； （3）整个过程中棒a、b产生的焦耳热。 【解答】解：（1）设棒a到达Q1Q2位置时的速度大小为v0，根据牛顿第二定律有 解得：v0＝3m/s 此时金属棒a产生的感应电动势大小为 E1＝BLv0 通过棒b的电流强度为 联立解得：I＝1.5A （2）棒a到达Q1Q2过程产生的平均电动势为 平均电流为 棒a到达Q1Q2位置前通过b棒的电荷量q1为 a棒进入水平轨道后受到向左的安培力而减速，b棒受到向右的安培力而加速，当两棒速度相同时，回路不再产生感应电流。 当导体棒a、b稳定时，取向右为正方向，由动量守恒定律得 mv0＝（m+m）v1 对导体棒b，取向右为正方向，由动量定理得 棒a进入水平轨道后通过b棒的电荷量q2为 则整个过程中，通过导体棒b的电荷量q为 q＝q1+q2 联立解得：q＝1.95C （3）由能量守恒定律可得 解得整个过程棒a、b产生的焦耳热Q为 Q＝6.75J 答：（1）棒a到达Q1Q2位置时通过棒b的电流强度大小为1.5A； （2）整个过程中通过导体棒b的电荷量为1.95C； （3）整个过程中棒a、b产生的焦耳热为6.75J。 [例题10] （2024春•沙坪坝区校级月考）在水平面上固定有两光滑平行金属导轨，如图（a）所示。虚线MN左侧存在着竖直向下的匀强磁场，导体棒a、b、c垂直静止在导轨上且接触良好，导体棒b、c用轻质绝缘杆相连，三根导体棒的长度以及导轨宽度均为L＝0.6m。现固定导体棒b、c，对导体棒a施加一个与其垂直的力F，使导体棒a做匀加速直线运动，F随导体棒a的速度v的变化图像如图（b）所示，经时间t＝3s撤去拉力，同时释放导体棒b、c。经过一段时间三根导体棒运动状态达到稳定，此时a棒仍未出磁场，导体棒a、b间的距离xm，已知三根导体棒质量相同，均为m＝0.1kg，电阻相同，均为r＝0.2Ω，其余电阻不计。求： （1）磁场的磁感应强度和撤去拉力时导体棒a的速度； （2）从撤去F到运动状态达到稳定过程中导体棒b上产生的焦耳热； （3）导体棒b穿出磁场瞬间的速度和此时轻杆对导体棒b拉力的大小（忽略磁场的边界效应）。 【解答】解：（1）设导体棒a任意时刻速度为v，根据法拉第电磁感应定律有：E＝BLv，根据欧姆定律，电流为：， 设a棒的加速度为a1，根据牛顿第二定律有：F﹣BIL＝ma1，整理得：， 结合图（b）有：0.2N＝ma1，解得：，B＝0.5T， 则t＝3s时导体棒a的速度：v1＝a1t，解得：v1＝6m/s； （2）设导体棒撤去拉力后达到的稳定状态时速度为v2，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv1＝3mv2，解得：v2＝2m/s； 回路中产生的总焦耳热为Q，根据功能关系有：，解得：Q＝1.2J， 导体棒b上产生的焦耳热：，代入得：Qb＝0.2J； （3）把导体棒b、c看成一根棒，设导体棒b穿出磁场时速度为v3，a穿出磁场后，在任意极短时间Δt内， 对导体棒b、c根据动量定理有：， 对从a穿出磁场到b穿出磁场整个过程有：，解得：v3＝1m/s 此时导体棒切割磁感线产生的电动势：Ec＝BLv3，解得：Ec＝0.3V， 电流：，代入得：IC＝1A，对导体棒b、c整体设加速度为a2，则：BIcL＝2ma2， 轻杆对导体棒b的拉力：F′＝ma2，解得：F′＝0.15N。 答：（1）磁场的磁感应强度为0.5T，导体棒a的速度为6m/s； （2）导体棒b上产生的焦耳热为0.2J； （3）导体棒b穿出磁场瞬间的速度为1m/s，轻杆对导体棒b的拉力大小为0.15N。 类型2.动量守恒定律在电磁感应中的应用 [例题11] （2024•青羊区校级开学）如图所示，质量为0.2kg的方形铝管静置在足够大的光滑绝缘水平面上，现使质量为0.3kg的条形磁铁（条形磁铁横截面比铝管管内横截面小）以v＝5m/s的水平初速度自左向右穿过铝管，忽略一切摩擦，不计管壁厚度。则关于磁铁穿过铝管的过程中，下列说法正确的是（　　） A．从左往右看，图示时刻铝管中的感应电流沿逆时针方向 B．铝管可能先做加速运动后做匀速运动 C．磁铁减少的动能等于铝管增加的动能 D．铝管获得的速度可能等于2m/s 【解答】解：A．图示时刻穿过铝管的磁通量向左增大，根据楞次定律，铝管中感应电流产生的磁场方向向右，再根据安培定则，从左往右看铝管中的感应电流为顺时针方向。故A错误； B．根据磁铁向右穿过了铝管，因此磁铁的速度一直大于铝管的速度；根据楞次定律铝管和磁铁间的安培力将阻碍磁铁和铝管之间的相对运动，铝管对磁铁的安培力一直水平向左，磁铁对铝管的安培力一直水平向右，且安培力的大小随相对速度的减小而减小，故磁铁做加速度减小的减速运动，铝管做加速度减小的加速运动。故B错误； C．磁铁穿过铝管的过程中，铝管中将产生感应电流，会产生热量，根据能量守恒定律，磁铁减少的动能等于铝管增加的动能和产生的热量之和。故C错误； D．假设铝管足够长，取向右为正方向，最后铝管和磁铁的速度相等，根据动量守恒定律可得 mv＝（M+m）v共 解得 v共＝3m/s 因铝管最终未与磁铁共速，所以铝管获得的速度小于3m/s，故D正确。 故选：D。 [例题12] （多选）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B，两根金属杆间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，已知两金属杆质量均为m，电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，现将杆1以初速度v0向右滑向杆2，在运动过程中两杆始终不碰撞，则（　　） A．杆1将做匀减速运动，杆2将做匀加速运动 B．杆1、杆2最终均以速度0.5v0做匀速运动 C．杆1上总共产生的热量 D．通过杆2上的电荷量为 【解答】解：A、杆1向右做切割磁感线运动，产生感应电流，受到向左的安培力而做减速运动，杆2受到向右的安培力而向右做加速运动，回路产生的总的感应电动势减小，感应电流减小，两棒受到的安培力减小，加速度减小，所以杆1将做变减速运动，杆2将做变加速运动。故A错误。 B、最终杆1、杆2一起以相同的速度匀速运动，设共同速度为v。因两杆组成的系统合外力为零，所以系统的动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得 mv0＝2mv，解得 v＝0.5v故B正确。 C、杆1上总共产生的热量为：Q（•2mv2）．故C正确。 D、由动量定理，对杆2有：Bdt＝mv﹣0， 通过杆2的电荷量为：qt，联立解得：q；故D正确。 故选：BCD。 [例题13] （多选）如图所示，ab和cd是两条竖直放置的、间距为l的长直光滑金属导轨，MN和PQ是两根用轻质绝缘细线连接的金属杆，其质量分别为2m和m，杆MN受到竖直向上的恒力F作用，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触，两杆的总电阻为R，整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g，金属杆和导轨始终接触良好，现将细线烧断，则有（　　） A．两金属杆运动过程中产生感应电流的方向为逆时针方向 B．运动过程中MN杆与PQ杆的加速度始终大小相等、方向相反 C．MN杆能达到的最大速度为 D．PQ杆能达到的最大速度为 【解答】解：A、细线烧断后，PQ在重力作用下下落，穿过回路的磁通量向里增加，所以感应电流产生的磁场向外，根据右手螺旋定则可知，感应电流的方向为逆时针方向，故A正确； B、细线烧断前，由平衡条件可知：F＝3mg；由于两杆中电流相等，受到的安培力大小相等，设为F安， MN所受安培力向下，故合力大小为F1＝3mg﹣F安﹣2mg＝mg﹣F安； PQ所受安培力向上，故合力大小为F2＝mg﹣F安； 可得两者的合外力大小相等，因质量不相等，由牛顿第二定律可知，二者的加速度大小并不相同，故B错误； CD、细线烧断后，MN向上做加速运动，PQ向下做加速运动，由于速度增加，感应电动势增加，MN和PQ所受安培力增加，所以加速度在减小。当MN和PQ的加速度减为零时，速度最大，之后做匀速直线运动。 设MN、PQ杆能达到的最大速度分别为v1、v2，MN和PQ组成的系统合外力为零，满足动量守恒定律，则有： 2mv1＝mv2 对PQ受力平衡：BIl＝mg I E＝Blv1+Blv2 联立解得：，v2，故C正确，D错误 故选：AC。 [例题14] 如图所示，两根足够长的光滑水平金属导轨固定在同一水平面上，间距为L，导轨左端与开关S、电池（电动势为E，内阻为r）相连，导轨间的矩形窄区abcd（图中的虚线框）的左、右两侧存在磁感应强度大小均为B、方向均竖直向上的匀强磁场（未画出），窄区内无磁场且宽度不计。有两根长度均为L、电阻均为r的金属棒AB、CD，CD垂直放在窄区内的导轨上，AB垂直放在窄区左侧的导轨上。闭合开关S，AB由静止开始运动，一段时间后做匀速运动，断开S时AB与CD发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知AB、CD的质量分别为4m、m，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： （1）碰前瞬间AB的速度大小v0； （2）开关S由闭合到断开的这段时间内，通过AB某横截面的电荷量q； （3）碰后瞬间AB的速度大小v以及从碰后到最终状态过程中AB中产生的焦耳热Q。 【解答】解：（1）碰撞前AB匀速运动，电流为零，所以切割磁感应线产生的感应电动势为E， 根据E＝BLv0可得： v0； （2）对AB棒根据动量定理可得：B4mv0﹣0 其中通过AB某横截面的电荷量q 联立解得：q； （3）AB和CD碰撞过程中动量守恒，则有： 4mv0＝4mv+mv1， 根据能量守恒定律可得：44mv2， 联立解得：v，v1； 最后二者都匀速运动，根据动量守恒定律可得4mv0＝5mv共， 解得v共， 根据能量守恒定律可得：Q总45mv共2， 所以AB中产生的焦耳热QQ总。 答：（1）碰前瞬间AB的速度大小为； （2）开关S由闭合到断开的这段时间内，通过AB某横截面的电荷量为； （3）碰后瞬间AB的速度大小为，从碰后到最终状态过程中AB中产生的焦耳热为。 [例题15] （2023秋•鹿城区校级月考）如图所示，倾角为θ＝30°、间距L＝0.5m、电阻不计的金属轨道固定放置，沿轨道建立x轴，边界OO′与坐标原点O在一条直线上且垂直x轴。x＜0区域：B1＝1T，垂直轨道平面向下；x≥0区域：B2＝0.6+0.8x，垂直轨道平面向上。一质量为m1＝0.3kg、边长均为L＝0.5m的U形框由金属棒de（阻值R1＝0.2Ω）和两绝缘棒cd、ef组成。另有质量为m2＝0.1kg、边长L＝0.5m、阻值R2＝0.2Ω的金属棒ab在离cf一定距离处获得沿斜面向下的冲量后向下运动。金属棒ab及U形框与轨道间的动摩擦因数。 （1）ab棒释放后的短时间内比较c、f两点的电势高低； （2）若棒ab从某处释放，同时U形框解除锁定，为使棒ab与U形框碰撞前框保持静止，则释放时所加的初速度满足的条件； （3）若棒ab在x＝﹣0.32m处释放，且初速度为v0＝4m/s，同时U形框解除锁定，求棒ab与框发生完全非弹性碰撞后ed棒的最大位移。 【解答】解：（1）根据右手定则，可知ab棒上的感应电流为a到b，f点的电势高。 （2）金属棒ab向下运动时，由于 m2gsin30°＝μm2gcos30° 重力沿斜面的分力与摩擦力等大反向，则释放金属棒ab后，在安培力作用下金属棒ab做加速度减小的减速运动，ab受到的安培力为 由左手定则可知，U形框受到安培力的方向沿导轨平面向上，大小为 其中B2＝0.6T+0.8×0.5T＝1T 因此获得冲量的瞬间，U形框受到的安培力最大，最容易发生滑动。为使U形框静止，此时U形框受到的摩擦力沿导轨平面向下为最大静摩擦力，大小为 fm＝μm1gcos30° U形框静止有 F安≤fm+m1gsin30° 金属棒ab释放时所加的初速度满足的条件为 v0≤4.8m/s （3）金属棒ab初速度为v0＝4m/s，则金属棒ab在安培力作用下做加速度减小的减速运动，而U形框在碰撞前始终处于静止。设到达cf时速度为v1，以沿导轨平面向下为正方向，由动量定理得 其中 解得 v1＝2m/s 金属棒ab与U形框发生完全非弹性碰撞，由动量守恒得 m2v1＝（m1+m2）v2 因此碰撞后U形框速度为 v2＝0.5m/s 同理，其重力沿导轨平面向下的分力与滑动摩擦力等大反向，合力等于安培力，当U形框速度为v时，其感应电流为 其中Bde、Bab分别为de边和ab边处的磁感应强度，电流方向为顺时针方向，受到总的安培力为 其中Bde﹣Bab＝0.8L＝0.8×0.5T＝0.4T 由动量定理得 金属棒ab与框发生完全非弹性碰撞后ed棒的最大位移 1. （2024春•安徽期中）如图所示，圆形线圈的面积为S，匝数为N，线圈电阻不计，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO'以角速度ω匀速转动，产生交变电流，外电路总电阻为R，则线圈由图示位置开始，转动一个周期（　　） A．电流的有效值I B．电阻R上产生的热量Q C．电阻R上产生的热量Q D．通过电阻R的电荷量q 【解答】解：A．线圈在转动过程产生的电动势的最大值为 Em＝NBSω 电动势的有效值为 电流的有效值为 故A错误； BC．线圈转动的周期为 电阻R上产生的热量为 故B错误，C正确； D．通过电阻R的电荷量为 故D错误。 故选：C。 2. （2024春•重庆期末）如图所示，竖直向上的匀强磁场中水平放置两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有电容器，不计电阻的金属棒ab静止在导轨上，棒与导轨垂直。t＝0时，棒在恒定的水平拉力F作用下开始向右运动，t＝t0时，撤去拉力。则棒的速度大小v、电容器所带的电荷量q、棒中安培力的冲量大小I、棒克服安培力做的功W与时间t的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设重物质量m0，导体棒质量m，则在任意时刻，对导体棒和重物的整体，根据牛顿第二定律有 m0g﹣BIL＝（m+m0）a 在极短一段时间Δt内，导体棒中的感应电流 Δq＝CΔU 在Δt时间内，有 ΔU＝ΔE＝BLΔv 联立上式可得 则在重物落地之前导体棒一直做匀加速运动，重物落地后，因导体棒两端的电压等于电容器两板间的电压，则导体棒将匀速运动； A．由以上分析可知，导体棒先做匀加速运动，后做匀速运动，故A正确； B．电容器所带的电荷量，开始时 q＝CU＝CBLat 随时间逐渐增加，当重物落地后导体棒匀速运动时，电容器两板间电压保持不变，故B错误； C．棒中安培力的冲量大小 则在重物落地之前，棒中安培力的冲量随时间均匀增加，故C错误； D．安培力的功 则在重物落地之前W﹣t图像为抛物线，重物落地后安培力为零，则安培力的功为零，故D错误。 故选：A。 3. （2024•新郑市校级开学）如图所示，水平面上固定的两光滑平行长直导轨，间距为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，两质量都为m、电阻都为R的导体棒L1、L2垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，L1静止，L2以初速度v0向右运动，运动过程中两棒不发生相碰。不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则（　　） A．导体棒L2最终停止运动，L1以某一速度匀速运动 B．导体棒L1的最大加速度为 C．两导体棒的初始距离最小为 D．回路中产生的总焦耳热为 【解答】解：A.根据楞次定律，导体棒L1、L2最终以相同的速度匀速直线运动，设共同速度为v1，取水平向右为正方向，由动量守恒定律可得 mv0＝2mv1 解得 两导体最终都以的速度匀速运动，故A错误； B.L2以初速度v0向右运动时两导体棒加速度最大，由法拉第电磁感应定律可得 E＝BLv0 由闭合电路欧姆定律可得 由牛顿第二定律可得 BIL＝ma 解得 故B正确； C.当导体棒L1、L2速度相等时距离为零，则两棒初始距离最小，设最小初始距离为l，则通过导体棒横截面的电量为 对导体棒L1，取向右为正方向，由动量定理得 即 BLq＝mv1 解得 故C错误； D.设导体棒L1、L2在整个过程中产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律可得 解得 故D错误。 故选：B。 4. （2023秋•江苏月考）如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨，导轨间距为L且电阻不计，质量为m、电阻为R的金属杆ab与导轨垂直且始终与导轨接触良好，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落时间t1后闭合开关S，再经一段时间t2后匀速下落。不计空气阻力，重力加速度为g，金属杆在t1+t2运动时间内，下列说法正确的是（　　） A．闭合开关后流过杆的感应电流方向从b到a B．闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动 C．杆所受安培力的冲量大小为 D．杆下落的高度小于 【解答】解：A、根据右手定则可知，闭合开关后流过杆的感应电流方向从a到b，故A错误； B、闭合开关时，杆的速度为 v1＝gt1 回路中电流为 杆所受安培力大小为 因为不知安培力和重力关系，所以杆不一定加速运动，故B错误； C．全过程对金属杆，取竖直向下为正方向，根据动量定理有 mv2﹣0＝mg（t1+t2）﹣IA 杆匀速运动时，有 解得杆所受安培力的冲量大小为 ，故C正确； D、根据，解得闭合开关后杆下落高度，还有自由落体下降高度，故D错误。 故选：C。 5. （多选）（2023春•万州区校级期中）如图所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在同一水平面上，其间距为L＝1m，左端通过导线连接一个R＝1.5Ω的定值电阻。整个导轨处在磁感应强度大小B＝1T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。质量m＝0.2kg、长度L＝1m、电阻r＝0.5Ω的均质金属杆垂直于导轨放置，且与导轨接触良好，在杆的中点施加一个垂直于金属杆的水平拉力F，使其由静止开始运动。金属杆运动后，拉力F的功率P＝8W保持不变，当金属杆的速度稳定后，撤去拉力F。下列说法正确的是（　　） A．撤去拉力F前，金属杆稳定时的速度为16m/s B．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，通过金属杆的电荷量为0.8C C．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，金属杆前进的距离为1.6m D．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，金属杆上产生的热量为1.6J 【解答】解：A．对金属杆受力分析，当金属杆速度稳定时，根据平衡条件有F＝F安 根据法拉第电磁感应定律：E＝BLv 由欧姆定律： 由安培力F安＝BIL 由瞬时功率公式P＝Fv 联立可得v＝4m/s 故A错误； BC．撤去拉力后，由动量定理： 通过金属杆的电荷量 平均速度 解得q＝0.8C，x＝1.6m 故BC正确； D．由动能定理 则电阻产生的热量 解得QR＝1.2J 故D错误。 故选：BC。 6. （多选）如图所示，两根水平固定的足够长平行光滑金属导轨上，静放着两根质量为m、电阻为R的相同导体棒ab和cd，构成矩形回路（ab、cd与导轨接触良好），导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B．现给cd一个初速度v0，则（　　） A．ab将向右做匀加速运动 B．ab、cd最终具有相同的速度 C．ab能够获得的最大速度为v0 D．回路产生的焦耳热为 【解答】解：A、根据法拉第电磁感应定律可知，只有在两棒速度不相等时回路中才有感应电流，感应电流使两个帮都产生加速度，然而受到发生变化，有效电动势发生变化，感应电流、安培力、加速度也随之变化，所以ab不可能向右做匀加速运动。故A错误； B、当两棒速度相等后，穿过回路的磁通量不变，回路中将不再有感应电流，ab、cd最终具有相同的速度。故B正确； C、根据题意最终两棒的速度相等，选向右的方向为正，由动量守恒定律应有： mv0＝（m+m）v， 解得：vv0，故C错误。 C、根据能量守恒定律，在运动过程中产生的热量为： Q．故D正确。 故选：BD。 7. （多选）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根质量均为m，电阻均为R（其余部分电阻不计）的导体棒ab和cd，构成矩形回路．在整个导轨平面内都有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，如图所示，设两导体棒均可沿导轨无摩擦滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动过程中始终不接触，则（　　） A．棒ab、cd在运动过程中，回路中一定有感应电流 B．当棒ab、cd的运动稳定后，棒ab、cd有共同速度v C．在运动过程中，产生的焦耳热最多为Q D．在运动过程中，安培力对棒cd做的功数值上等于回路中的电能 【解答】解：A、根据法拉第电磁感应定律可知，只有在两棒速度不相等时回路中才有感应电流，当两棒速度相等后，穿过回路的磁通量不变，回路中将不再有感应电流，所以A错误。 B、根据题意最终两棒的速度相等，由动量守恒定律应有：m（m+m）v，解得v，故B正确。 C、根据能量守恒定律，在运动过程中产生的热量为Q，解得Q，故C正确。 D、根据动能定理可知，安培力对cd棒做的功等于cd棒增加的动能，即W，而回路中的电能应等于产生的热量Q，所以D错误。 故选：BC。 8. （2024春•福州期末）如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面上宽度为2L的矩形区域内存在垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一边长为L、电阻为R、质量为m的单匝正方形线框efgh从距离磁场上边缘为d处由静止开始沿斜面下滑。已知线框进、出磁场均做变速运动且gh边进、出磁场时速度相等，d＞L，重力加速度为g。求： （1）gh边刚进入磁场时受到的安培力大小FA； （2）线框穿越磁场全过程产生的焦耳热Q； （3）线框进入磁场所经历的时间t。 【解答】解：（1）设线框gh边刚进入磁场时的速度为v1。对gh边进入磁场前线框的运动过程，由机械能守恒定律有 gh边刚进入磁场时回路中的感应电流为 gh边此时受到的安培力大小 FA＝BIL 解得：FA （2）设线框全部进入磁场时速度为v，从线框全部进入磁场到gh边刚出磁场的过程，由机械能守恒定律有 线框穿越磁场的全过程，由能量守恒定律有 解得：Q＝2mgL （3）对于线框进入磁场的过程，取沿斜面向下为正方向，根据动量定理有 线框进入磁场过程中产生的电动势为 线框中的电流为 解得： 9. （2024春•重庆期末）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；导轨上P、Q两点连线与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动。M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。 （1）求初始时刻杆N受到的安培力大小； （2）若M、N在PQ左侧未相撞，N到达边界PQ时速度大小为，求此时M的速度大小； （3）在（2）的条件下，若M到达边界PQ时速度大小为，求M、N最终速度大小。 【解答】解：（1）初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0水平向右运动，则M产生的感应电动势 E＝BLv0 闭合回路中的电流为 则初始时刻杆N受到的安培力大小 （2）若M、N在PQ左侧未相撞，在这个过程中M、N所受安培力大小相等、方向相反，M、N组成的系统所受合外力为零，故M、N组成的系统动量守恒，N到达边界PQ时速度大小为，取向右为正方向，根据动量守恒定律，可得 解得 （3）设M进入PQ右侧时，N的速度为vN，从N进入PQ右侧到M进入PQ右侧的过程中，对M分析，取向右为正方向，由动量定理有 对N分析，取向右为正方向，由动量定理有 M、N所受安培力均水平向左，且大小相等，则 ΔIM＝ΔIN 解得 M到达边界PQ右侧后，M、N所受安培力大小相等、方向相反，M、N组成的系统所受合外力为零，故M、N组成的系统动量守恒，若两金属杆不发生碰撞，最终两金属杆会达到共同的速度，共同向右运动；若在运动过程中两金属杆发生碰撞，系统动量同样守恒，由于两金属杆质量相等，碰撞后运动方向不会发生改变，最终两金属杆会达到共同的速度，共同向右运动，取向右为正方向，则可列动量守恒 解得 即M、N最终速度大小为。 答：（1）初始时刻杆N受到的安培力大小为； （2）若M、N在PQ左侧未相撞，N到达边界PQ时速度大小为，则此时M的速度大小为； （3）在（2）的条件下，若M到达边界PQ时速度大小为，则M、N最终速度大小为。 10. （2024秋•天心区校级月考）如图所示，间距L＝1m的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角θ＝37°，在其顶端与阻值为2R的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长且在AA'处平滑连接，AA'至DD'间是绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为B1＝0.5T的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为B2＝1T的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m＝0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。初始时刻，导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离AA'足够远，导体棒2静置于水平轨道上。已知倾斜轨道与导体棒1间的动摩擦因数μ＝0.5，R＝1Ω。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不计金属棒1经过AA'时的机械能损失。求： （1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小； （2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量。 【解答】解：（1）设导体棒1在倾斜轨道上做匀速运动时的速度为v1，由平衡条件可得：mgsinθ﹣μmgcosθ﹣B1I1L＝0 由法拉第电磁感应定律可得：E1＝B1Lv1 由欧姆定律可得： 联立解得：v1＝2.4m/s 导体棒1滑到DD′的瞬间，设导体棒中的电流为I2，则有： 由牛顿第二定律可得：B2LI2＝ma 联立代入数据解得：a＝12m/s2； （2）导体棒1、2最终以相同的速度一起做匀速直线运动，对1、2组成的系统，以v1方向为正方向，由动量守恒定律可得：mv1＝2mv2 对导体棒2，由动量定理可得： 又，，联立解得：q＝0.12C。 答：（1）导体棒1滑至DD'瞬间，导体棒2的加速度大小为12m/s2； （2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为0.12C。 11. （2024秋•杭州月考）如图甲所示，水平面内有两条间距为L＝0.5m的不计电阻的平行金属直导轨，左端接一个原本不带电的电容器，电容C＝0.2F。导轨在G、H两处被不计长度的绝缘材料分隔开。一根长度也为L、质量m＝0.1kg、电阻R＝1Ω的金属棒ab跨放在GH左侧足够远处。另有质量M＝0.2kg、电阻为6R＝6Ω的均匀金属丝制成的一个半径也为L的刚性圆环，水平放在GH右侧某处，其圆心到两直导轨的距离相等。仅在两导轨之间的区域内有一个竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。现给金属棒ab一个水平向右的初速度v0（大小未知），已知ab棒经过GH时速度为v1＝5m/s，不计任何摩擦，且所有金属部件的接触处均连接良好，无接触电阻。 （1）金属棒ab刚经过GH后的瞬间，a点电势 　大于　b点电势（选填“大于”或“小于”），并求ab两端的电压大小U； （2）求电容器的最终带电量Q以及ab棒的初速度v0； （3）如图乙，撤去原磁场、金属棒ab和电容C，在轨道右侧固定一个形状完全等同圆弧EF的绝缘挡板IJ，并仅在曲线图形EFJI区域内加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B2＝2.4T。同时在两导轨的P、N处也由不计长度的绝缘材料分隔开；EP＝FN＝L，，金属环触碰到挡板即被锁定不动。现给金属环一个水平向右的初速度v＝5m/s，方向与导轨平行。求金属环在整个运动过程中产生的焦耳热，以及通过金属环的K部位处横截面的电荷量。（K位于圆弧EF之间） 【解答】解：（1）根据右手定则可知感应电流由a点流向b点，故a点电势大于b点电势； 导体棒切割磁感线产生的电动势为 E＝BLv1 根据题意，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路可知，外电阻为 等效电源的内阻为 r＝R 所以ab刚越过GH时，ab两端的电压大小为 代入数据解得 （2）稳定时，电容器两极板的电压 U＝BLv1 根据电容的定义式 所以电容器的最终带电量为 Q＝CBLv1 代入数据解得 Q＝0.5C 对金属棒ab，取向右为正方向，由动量定理有 其中 即 BLQ＝mv0﹣mv1 代入数据得ab棒的初速度为 v0＝7.5m/s （3）对金属环，到达PN之前 取向右为正方向，由动量定理得 过了PN之后 取向右为正方向，由动量定理得 通过金属环的K部位处横截面的电荷量 代入数据得 q＝0.35C 金属环碰撞前的末速度 由能量守恒得 代入数据得金属环在整个运动过程中产生的焦耳热 Q′＝1.659J 故答案为：（1）大于，；（2）0.5C，7.5m/s；（3）1.659J，0.35C。 12. （2024•福建模拟）如图所示，在光滑水平面上放置一矩形线框abcd，ab边的长度为L1＝2m，bc边的长度为L2＝1m，线框的质量为m＝1kg，电阻为r＝1Ω，线框通过细线绕过光滑的定滑轮与重物相连，滑轮的质量不计，重物的质量为M＝2kg；水平面上ef和gh是有界匀强磁场的边界，边界与水平面的底边平行，ef和gh间距为L＝3m，磁场方向垂直于水平面向下，磁感应强度为B＝1T，开始时cd边与ef边界的距离为x＝1m。现由静止释放重物，线框恰好能匀速穿过边界gh，线框运动过程中cd边始终与水平面的底边平行，设水平面足够长，矩形线框abcd不会与滑轮接触，重力加速度为g＝10m/s2。求： （1）线框穿过gh边界时速度的大小v； （2）线框进入磁场过程中通过线框的电量q； （3）线框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q。 【解答】解：（1）因为线框恰好能匀速穿过gh边界，则线框穿过gh边界时受力平衡，水平方向受力如图所示 对重物，根据平衡条件可得：F＝Mg 对线框根据平衡条件可得：F＝BIL1 由欧姆定律得： 导线切割产生的电动势为：E＝BL1v 联立解得：v＝5m/s； （2）研究线框进入磁场过程，根据电荷量的计算公式可得： qt 解得：q＝2C； （3）研究线框由静止释放到刚好全部穿出磁场的全过程，以线框和重物组成的系统为研究对象，由能量守恒定律，得： 代入数据解得：Q＝62.5J。 答：（1）线框穿过gh边界时速度的大小为5m/s； （2）线框进入磁场过程中通过线框的电量2C； （3）线框穿过磁场过程中产生的焦耳热62.5J。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$