专题提升Ⅲ 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-2024-2025学年高二物理同步讲练（人教版2019选择性必修第二册）

专题提升Ⅲ 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）掌握带电粒子在有界匀强磁场的运动分析方法与思路 知识点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 类型1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示． [例题1] （2023秋•李沧区校级月考）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 [例题2] （2024春•重庆期末）如图所示，在xOy平面的0≤y＜a的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子数占总数的50%，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为（　　） A． B． C． D． [例题3] （2024秋•浑南区校级月考）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷量为e），求： （1）它们从磁场中射出时相距多远？ （2）它们射出的时间差是多少？ 类型2．平行边界 [例题4] （多选）（2024春•武昌区期末）如图所示，矩形区域ABCD的空间中存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，点O为AD边的中点。一带电粒子由O点沿平行于上下边界的方向射入磁场中，然后从C点射出。若保持所有条件不变，在磁场区域再加上一电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后沿直线运动射出场区，已知AD＝2a，，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向为平行于左右边界向下 B．电场方向为平行于左右边界向上 C．则该粒子的比荷为 D．则该粒子的比荷为 [例题5] （2024春•河南期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（含边界），磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏（质子打到荧光屏上不再反弹），P、Q两点的坐标分别为P（0，0.4l）、Q（l，0.4l）。已知质子比荷k，sin53°＝0.8。求：（结果均可用分数表示） （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少； （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 [例题6] （2025•邯郸一模）如图所示，边长为L的正方形ABDC区域（含边界）内存在匀强电场，电场强度方向向下且与AC边平行。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从A点沿AB方向以初速度v0射入匀强电场，恰好能从D点飞出。不计粒子重力。 （1）求粒子在电场中运动的时间t及速度偏转角θ的正切值； （2）若将正方形区域内的匀强电场换成垂直纸面向外的匀强磁场，粒子仍以相同速度v0从A点进入磁场，粒子以相同偏转角θ从BD边飞出。求磁感应强度与电场强度的比值。 类型3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示． (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示． [例题7] （2024春•南宁期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画出）反向射出，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该点电荷在磁场中的运动时间为 C．该点电荷的比荷为 D．若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 [例题8] （多选）（2024秋•武汉月考）半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P是直径上一点，且。如图所示，质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电粒子从P点垂直射入磁场，已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成θ＝30°角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t1，从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t2，则（　　） A． B． C． D． [例题9] （2024春•宁德期末）某磁防护装置截面如图所示，以O点为圆心内外半径分别为R、的环形区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，板上有一小孔C。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子以速度v0从C孔沿CO方向射入磁场，恰好不进入内圆，粒子每次与绝缘薄板碰撞后以原速率反弹且电荷量不变。不计粒子重力，求： （1）粒子在磁场中运动的轨迹半径r； （2）磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子从射入C孔到离开C孔所需的时间t。 类型4．三角形边界磁场 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示． [例题10] （2024春•临沂期末）如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．时，带电粒子垂直于AC边射出磁场 C．若粒子从BC边射出磁场，则 D．若粒子从AC边射出磁场，则 [例题11] （2023秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d；，现垂直于AB边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 [例题12] （2024春•开封期末）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t＝0时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求： （1）粒子的荷质比； （2）粒子第一次到达c点的时刻。 知识点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 【重难诠释】 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长． (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长． [例题13] （多选）（2024•博望区校级模拟）如图所示，Oxy平面（纸面）第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小B2＝7B1、方向垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于（0，3L）处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A．速度大小为的离子不能进入区域Ⅱ B．速度大小为的离子在磁场中的运动时间为 C．恰能到达x轴的离子速度大小为 D．恰能到达x轴的离子速度大小为 [例题14] （2023秋•东湖区校级月考）如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形ABCD所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方形区域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外 B．电子在磁场中做圆周运动的半径为2a C．磁场的最小面积为 D．磁场的最小面积为πa2 [例题15] （2024秋•浑南区校级月考）如图，真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的正电荷粒子（不计重力）沿着与MN夹角为60°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速度大小为 B．粒子射入磁场的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 [例题16] （多选）（2024•龙岗区校级三模）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边ac长度为L，磁感应强度大小为B。在c点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为+q的粒子，所有粒子不计重力、速度大小均为v0。其中从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场。关于粒子运动下列说法正确的是（　　） A．粒子速度v0的大小满足 B．从ac射出的粒子在磁场中的运动时间都相同 C．从a点射出磁场的粒子在c点的速度方向与bc夹角为60° D．所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动的最短时间为 1. （2023秋•市南区校级月考）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域的半径为R，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，下列判定正确的有（　　） A．这些粒子的电荷量与质量之比为 B．这些粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若射入的速率为0.5v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布区小于六分之一圆周 D．若射入的速率为0.5v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布区大于六分之一圆周 2. （2023秋•如皋市月考）如图所示，相同的带正电的粒子①、②先后以相同的速度平行射入圆形匀强磁场区域，O点为磁场圆的圆心，不计粒子的重力，则（　　） A．两粒子离开磁场时的速度反向延长线均过 O点 B．两粒子一定从同一点离开磁场 C．粒子①在磁场中运动的时间比粒子②的长 D．粒子①在磁场中运动的偏转角比粒子②的小 3. （多选）（2023秋•天山区校级月考）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子带负电 B．速度v1小于速度v2 C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长 D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大 4. （多选）（2024春•厦门期末）如图所示，边长为L的等边三角形ABC区域内外分别有垂直平面向外和垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。从AB的中点M处以某一速度沿MC方向发射一粒子，粒子射出后第三次经过磁场边界时的位置为BC中点N，且速度方向垂直于BC。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，则粒子（　　） A．做圆周运动的半径为 B．运动速度的大小为 C．第一次经过N时的速度沿NA方向 D．从发射到第一次经过N点的时间为 5. （2024春•蓟州区期末）在以坐标原点O为中心、边长为l的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在处有一个粒子源，可以连续不断地沿+x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒子间的相互作用。求： （1）粒子所带的电性； （2）从E点射出的粒子的速度大小v； （3）若粒子以速度射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。 6. （2024•成都开学）如图，面积为S＝0.5m2、匝数为n＝10的圆形线圈内有垂直于线圈平面向里的磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律为B1＝（2+0.5t）T。电路中平行板电容器MNEF的板长和板间距均为L＝1m，板间四分之一圆MNF（N为磁场圆圆心）区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B2＝2T 的匀强磁场。一带负电的微粒从电容器M点水平向右射入（与极板不接触）磁场后做匀速圆周运动，恰能从下极板E点射出电容器。定值电阻R1＝1Ω，R2＝4Ω，其余电阻不计，重力加速度大小取g＝10m/s2。求： （1）带电微粒的比荷； （2）带电微粒射入磁场的速度大小v（结果可用根号表示）。 7. （2024秋•开福区校级月考）某离子发动机简化结构如图甲所示，其横截面半径为R的圆柱腔分为Ⅰ、Ⅱ两个工作区：Ⅰ区为电离区，其内有沿轴向分布的匀强磁场，磁感应强度的大小，其中，m为电子质量，e为电子电荷量。Ⅱ区为加速区，其内电极P、Q间加有恒定电压U，形成沿轴向分布的匀强电场。在Ⅰ区内离轴线处的C点垂直于轴线持续射出一定速率范围的电子，过C点的圆柱腔横截面如图乙所示（从左向右看），电子的初速度方向与OC的连线成α角（0＜α＜90°）。 （1）向Ⅰ区注入某种稀薄气体，电子要电离该气体，电子的速率至少应为v0。电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，其电离气体的效果越好。为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向（按图乙说明是“垂直于纸面向外”或“垂直于纸面向里”）； （2）不考虑电子间的碰撞及相互作用，电子碰到器壁即被吸收。在取得好的电离效果下，当α＝30°时，求从C点射出的电子速率v的最大值； （3）Ⅰ区产生的离子以接近0的初速度飘入Ⅱ区，被加速后形成离子束，从右侧喷出。已知气体被电离成质量为M的1价正离子，且单位时间内飘入Ⅱ区的离子数目为定值n，求推进器获得的推力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提升Ⅲ 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）掌握带电粒子在有界匀强磁场的运动分析方法与思路 知识点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 类型1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示． [例题1] （2023秋•李沧区校级月考）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 【解答】解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如下图所示， 粒子运动过程中与x轴的最大距离为a，可得粒子的轨道半径r与a的关系为： 由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 联立解得： 根据左手定则，可知粒子带负电。故ACD错误，B正确。 故选：B。 [例题2] （2024春•重庆期末）如图所示，在xOy平面的0≤y＜a的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子数占总数的50%，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据洛伦兹力提供向心力可得 可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的50%，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围有 则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得，能从上边界射出的电子的发射角度在，设轨迹半径为 R，则由几何关系知 R+Rsin45°＝a 解得 故ABD错误，C正确。 故选：C。 [例题3] （2024秋•浑南区校级月考）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷量为e），求： （1）它们从磁场中射出时相距多远？ （2）它们射出的时间差是多少？ 【解答】解：（1）根据左手定则，可知正电子向右方偏转，负电子向左方偏转； 由洛伦兹力提供向心力可知：，解得：，两种电子只有电性不同，故其运动半径相同； 由几何关系可知，负电子的射出位置P与射入位置O的距离为：xOP＝r，正电子的射出位置：xOQ＝r， 故两种电子的距离为：； （2）电子做圆周运动的周期为：，正电子在磁场中的运动时间为：，负电子在磁场中运动的时间为：， 化简得：，，它们射出的时间差为：。 答：（1）它们从磁场中射出时相距； （2）它们射出的时间差为。 类型2．平行边界 [例题4] （多选）（2024春•武昌区期末）如图所示，矩形区域ABCD的空间中存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，点O为AD边的中点。一带电粒子由O点沿平行于上下边界的方向射入磁场中，然后从C点射出。若保持所有条件不变，在磁场区域再加上一电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后沿直线运动射出场区，已知AD＝2a，，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电场方向为平行于左右边界向下 B．电场方向为平行于左右边界向上 C．则该粒子的比荷为 D．则该粒子的比荷为 【解答】解：AB、粒子受洛伦兹力方向向下，可知粒子带负电，加电场后粒子沿直线运动，可知粒子受向上的电场力，则电场方向为平行于左右边界向下，故A正确，B错误； CD、加电场后粒子做直线运动，根据平衡条件有：qE＝Bqv 粒子在磁场中运动时，作出其运动轨迹，如图所示， 由几何关系可知： 整理解得：r＝2a 根据牛顿第二定律有： 联立可得：，故C正确，D错误。 故选：AC。 [例题5] （2024春•河南期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（含边界），磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成α＝53°角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏（质子打到荧光屏上不再反弹），P、Q两点的坐标分别为P（0，0.4l）、Q（l，0.4l）。已知质子比荷k，sin53°＝0.8。求：（结果均可用分数表示） （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少； （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 【解答】解：（1）质子在磁场中做匀速圆周运动，质子能打到y轴上时其轨迹圆心角最大，在磁场中运动的时间最长，如图1所示： 由洛伦兹力提供向心力得：qvB 质子圆周运动的周期为：T 由几何关系可知图1中的θ＝2（90°﹣α） 粒子在磁场中运动的最长时间为：tm （2）当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为v1。由几何关系得：R+Rcosα＝0.4l 由洛伦兹力提供向心力得： 解得： 当粒子运动轨迹与磁场右边界相切时，如图2所示，设此时初速度大小为v2，轨迹半径为R′。 由几何关系可得：R′+R′sinα＝l 同理得： 解得 综上可得质子初速度大小的取值范围为： 答：（1）质子在磁场中运动的最长时间是； （2）质子初速度大小的取值范围是。 [例题6] （2025•邯郸一模）如图所示，边长为L的正方形ABDC区域（含边界）内存在匀强电场，电场强度方向向下且与AC边平行。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从A点沿AB方向以初速度v0射入匀强电场，恰好能从D点飞出。不计粒子重力。 （1）求粒子在电场中运动的时间t及速度偏转角θ的正切值； （2）若将正方形区域内的匀强电场换成垂直纸面向外的匀强磁场，粒子仍以相同速度v0从A点进入磁场，粒子以相同偏转角θ从BD边飞出。求磁感应强度与电场强度的比值。 【解答】解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由运动学公式可知 位移偏转角为α，则有 速度偏转角的正切值 tanθ＝2tanα＝2 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 由几何关系可知 rsinθ＝L 且 由牛顿第二定律可知 解得 粒子在匀强电场中运动过程有 且 ，L＝v0t 解得 磁感应强度与电场强度的比值为 答：（1）粒子在电场中运动的时间t为，速度偏转角θ的正切值为2； （2）磁感应强度与电场强度的比值为。 类型3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示． (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示． [例题7] （2024春•南宁期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画出）反向射出，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该点电荷在磁场中的运动时间为 C．该点电荷的比荷为 D．若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 【解答】解：A.因点电荷射入磁场时初速度方向不是沿半径方向，则该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线也不会通过O点，故A错误； B．粒子在磁场中的运动轨迹如图 由几何关系可知，该点电荷在磁场中的运动半径为 则运动时间为 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力得 解得该点电荷的比荷为 故C正确； D．若磁场反向，粒子运动轨迹如图 设粒子在磁场中运动圆弧所对的圆心角为2θ，则由正弦定理可知 解得 故，该点电荷在磁场中运动的时间 故D错误。 故选：C。 [例题8] （多选）（2024秋•武汉月考）半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P是直径上一点，且。如图所示，质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电粒子从P点垂直射入磁场，已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成θ＝30°角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t1，从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t2，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：AB．从直径边界射出的粒子在磁场中的运动轨迹如图1所示 图1 根据洛伦兹力提供向心力有 qvB＝m 又 T 联立解得 T 由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为 α＝2π﹣2θ 则粒子的运动时间为 t1T 解得 故A错误；B正确； CD．粒子恰好不从圆弧边界射出的粒子运动轨迹如图2所示 图2 由几何关系可知 α'＝π﹣2θ 粒子在磁场中偏转α'角所用的时间为 t 解得t 从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为 故C正确；D错误。 故选：BC。 [例题9] （2024春•宁德期末）某磁防护装置截面如图所示，以O点为圆心内外半径分别为R、的环形区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，板上有一小孔C。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子以速度v0从C孔沿CO方向射入磁场，恰好不进入内圆，粒子每次与绝缘薄板碰撞后以原速率反弹且电荷量不变。不计粒子重力，求： （1）粒子在磁场中运动的轨迹半径r； （2）磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子从射入C孔到离开C孔所需的时间t。 【解答】解：（1）由题图，当轨迹恰与内圆相切时， 根据几何关系可知： 整理解得：r＝R （2）根据洛伦兹力提供向心力有：qv0B 联立解得： （3）设粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为θ，由几何关系得： 所以解得： 粒子在磁场中运动的周期为：T 粒子从C点到第一次与绝缘薄板碰撞所需时间为： 解得：t 由几何关系可得粒子在危险区运动时总共与绝缘薄板发生5次碰撞，所用时间为：t＝6t 答：（1）粒子在磁场中运动的轨迹半径r为R； （2）磁场的磁感应强度大小B为； （3）粒子从射入C孔到离开C孔所需的时间t为。 类型4．三角形边界磁场 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示． [例题10] （2024春•临沂期末）如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．时，带电粒子垂直于AC边射出磁场 C．若粒子从BC边射出磁场，则 D．若粒子从AC边射出磁场，则 【解答】解：A、当粒子从BC边射出时，其轨迹恰好为半圆，所以最长时间t，故A错误； B、当v时，根据半径公式可得：r＝L，粒子从D点出发做圆周运动的圆心在C点，由几何关系可知，当粒子经过AC边时，速度方向垂直于CA，故B正确； CD、从BC边射出的粒子，临界条件为轨迹与AC相切，如图所示， 由几何关系有：CE2r1 而CE+ED＝CD＝L，即：2r1+r1＝L 从而得到：r1 由洛伦兹力提供向心力：qvB 联立解得：v，即当粒子的速度小于v，从BC边射出，故C错误； D、若要使粒子从AC边射出，则该粒子从O点入射的最大半径为：r＞r1 代入相关数据得：v，故D错误。 故选：B。 [例题11] （2023秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d；，现垂直于AB边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 【解答】解：A、垂直于AC边射出，可知速度偏转角为，则对应的圆心角也等于，依题意有 解得：T＝4t0，故A错误； B、根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有： 变形后可得：，故B错误； C、在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，依题意其运动轨迹如图所示， 因磁场中运动的时间为时间为时，对应的圆心角为，即： 根据几何关系有： 代入三角函数的值上式即： 变形后解得：，故C正确； D、根据带电粒子在匀强磁场中圆周运动的轨道半径公式，依题意有： 解得：，故D错误。 故选：C。 [例题12] （2024春•开封期末）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t＝0时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求： （1）粒子的荷质比； （2）粒子第一次到达c点的时刻。 【解答】解：（1）粒子在磁场中运动轨迹如图 根据牛顿第二定律得 根据等边三角形得 解得 （2）在磁场中的运动时间为 圆周运动的周期为 在磁场外运动的时间为 粒子第一次到达c点的时刻为 t＝t1+t2 解得 答：（1）粒子的荷质比； （2）粒子第一次到达c点的时刻。 知识点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 【重难诠释】 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长． (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长． [例题13] （多选）（2024•博望区校级模拟）如图所示，Oxy平面（纸面）第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小B2＝7B1、方向垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于（0，3L）处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A．速度大小为的离子不能进入区域Ⅱ B．速度大小为的离子在磁场中的运动时间为 C．恰能到达x轴的离子速度大小为 D．恰能到达x轴的离子速度大小为 【解答】解：AB．当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，如图1 则有 r1cos60°＝r1﹣L 根据牛顿第二定律有 解得 在磁场中运动的周期 所有速度小于v1的离子都未进入Ⅱ区，速度偏转角都为120°，运动时间都为 故AB正确； CD．根据提议B2＝7B1，则离子进磁场Ⅱ后顺时针偏转，离子恰到x轴时速度与x轴平行，如图2 取水平向右为正方向，根据水平方向由动量定理有 qB1L﹣qB2L＝m（﹣v）﹣mvcos60° 解得 故C正确，D错误。 故选：ABC。 [例题14] （2023秋•东湖区校级月考）如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形ABCD所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方形区域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外 B．电子在磁场中做圆周运动的半径为2a C．磁场的最小面积为 D．磁场的最小面积为πa2 【解答】解：A．由于电子要在ABCD平面内从C点射出，由左手定则可以判断磁场必须垂直平面向里，故A错误； B．根据从A点入射的电子，从C点射出磁场，其轨迹恰好为四分之一圆周，可知电子在磁场中做圆周运动的半径为a，故B错误； CD．磁场的最小面积是一个以B点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆和以D点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆的公共范围，如图所示 由几何关系得最小面积为S 故C正确；D错误。 故选：C。 [例题15] （2024秋•浑南区校级月考）如图，真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的正电荷粒子（不计重力）沿着与MN夹角为60°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速度大小为 B．粒子射入磁场的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【解答】解：AB．粒子到达PQ边界时速度方向与边界线相切，如图所示 则根据几何关系可知 l＝r+rsin 3 0° 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得，故AB错误； CD．由粒子运动轨迹可知粒子转过的圆心角为240°，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 ，故C正确，D错误。 故选：C。 [例题16] （多选）（2024•龙岗区校级三模）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边ac长度为L，磁感应强度大小为B。在c点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为+q的粒子，所有粒子不计重力、速度大小均为v0。其中从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场。关于粒子运动下列说法正确的是（　　） A．粒子速度v0的大小满足 B．从ac射出的粒子在磁场中的运动时间都相同 C．从a点射出磁场的粒子在c点的速度方向与bc夹角为60° D．所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动的最短时间为 【解答】解：A．根据题意，从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场，如图甲所示，由几何关系可知，a点为圆心，洛伦兹力提供向心力，有 且r＝L 解得 故A正确； B．对于从ac射出的粒子，初速度方向不同，则在磁场中的轨迹对应的圆心角不同，故在磁场中的运动时间不同，故B错误； C．粒子从a点射出磁场，根据题意，粒子的运动轨迹如图乙所示，由于粒子在磁场中轨迹半径r＝L，则三角形aOc为等边三角形，故有∠Oca＝60°，即粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°，故C正确； D．由题意可知，所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动，当弦长最短时，即弦与ab垂直时，在磁场中运动的时间最短，则最短时间的运动轨迹为弧线cd，如图丙所示，根据几何关系可知 根据几何关系解得 对应圆心角θ＜45° 可得 故D错误。 故选：AC。 1. （2023秋•市南区校级月考）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域的半径为R，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，下列判定正确的有（　　） A．这些粒子的电荷量与质量之比为 B．这些粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若射入的速率为0.5v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布区小于六分之一圆周 D．若射入的速率为0.5v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布区大于六分之一圆周 【解答】解：A、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据粒子在磁场中的轨迹如图所示： 由图可知：粒子在磁场中的轨道半径恰好是半圆时，即图中加粗线的半圆轨迹时，其出射点Q离P最远； 由几何关系可知：，，解得：； 由洛伦兹力提供向心力可知：，解得：，故A错误； B、由A选项分析可知，，解得：，在磁场中的运动时，时间， 恰从Q点出射的粒子，在磁场中运动的角度α＝π，在磁场中的时间为：； 在磁场中的轨迹为优弧时，角度α＞π，则时间t2＞t1，故B错误； CD、若v＝0.5v1，由洛伦兹力提供向心力可得：，解得：， 由A选项的图可知，若最远距离与P点和磁场围成的圆心角为2β，则， 而，即β＜30°，圆心角2β＜60°，即出射点分布小于六分之一圆周，故C正确，D错误。 故选：C。 2. （2023秋•如皋市月考）如图所示，相同的带正电的粒子①、②先后以相同的速度平行射入圆形匀强磁场区域，O点为磁场圆的圆心，不计粒子的重力，则（　　） A．两粒子离开磁场时的速度反向延长线均过 O点 B．两粒子一定从同一点离开磁场 C．粒子①在磁场中运动的时间比粒子②的长 D．粒子①在磁场中运动的偏转角比粒子②的小 【解答】解：画出两个粒子做匀速圆周运动的轨迹， AB、根据几何关系可知，正对圆心射入的②离开磁场时的速度反向延长线过O点，而①因为没有正对圆心射入，如果轨迹半径等于磁场圆半径会在同一点离开（磁聚焦），但题目没有这个条件，所以不会从同一点离开磁场，故AB错误； CD、相同的带正电的粒子①、②先后以相同的速度平行射入圆形匀强磁场区域： 而周期为： 运动半径相同，由上图可以看出粒子①在磁场中运动的偏转角比粒子②的大，周期相同，运动时间：，所以粒子①在磁场中运动的时间比粒子②的长，故D错误，C正确。 故选：C。 3. （多选）（2023秋•天山区校级月考）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子带负电 B．速度v1小于速度v2 C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长 D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大 【解答】解：A．根据左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据图中轨迹可知，R1＜R2，则有 v1＜v2 故B正确； C．粒子在磁场中的运动周期为 运动时间为 由图可知运动轨迹为PN对应的圆心角大于运动轨迹为PM对应的圆心角，故粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确； D．粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为 F＝qvB v1＜v2，则粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。 故选：BC。 4. （多选）（2024春•厦门期末）如图所示，边长为L的等边三角形ABC区域内外分别有垂直平面向外和垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。从AB的中点M处以某一速度沿MC方向发射一粒子，粒子射出后第三次经过磁场边界时的位置为BC中点N，且速度方向垂直于BC。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，则粒子（　　） A．做圆周运动的半径为 B．运动速度的大小为 C．第一次经过N时的速度沿NA方向 D．从发射到第一次经过N点的时间为 【解答】解：A．根据题意，作出粒子的运动轨迹 根据几何关系可得 解得做圆周运动的半径为 故A正确； B．根据洛伦兹力提供向心力 运动速度的大小为 故B错误； C．根据粒子的运动轨迹可知，第一次经过N时的速度沿AN方向，故C错误； D．粒子在磁场中的运动周期为 从发射到第一次经过N点的时间为 故D正确。 故选：AD。 5. （2024春•蓟州区期末）在以坐标原点O为中心、边长为l的正方形EFGH区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在处有一个粒子源，可以连续不断地沿+x方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒子间的相互作用。求： （1）粒子所带的电性； （2）从E点射出的粒子的速度大小v； （3）若粒子以速度射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。 【解答】解：（1）粒子能从磁场的上边界射出，说明粒子在A点受到的洛伦兹力向上，根据左手定则可知，粒子带负电； （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得 根据题意得 解得： （3）若粒子以速度 射入磁场，根据牛顿第二定律得 解得粒子的轨迹半径为：r′＝l 根据三角函数得 解得：θ＝60° 其运动轨迹如图所示。 粒子在磁场中运动的时间t为 而周期为 解得： 6. （2024•成都开学）如图，面积为S＝0.5m2、匝数为n＝10的圆形线圈内有垂直于线圈平面向里的磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律为B1＝（2+0.5t）T。电路中平行板电容器MNEF的板长和板间距均为L＝1m，板间四分之一圆MNF（N为磁场圆圆心）区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B2＝2T 的匀强磁场。一带负电的微粒从电容器M点水平向右射入（与极板不接触）磁场后做匀速圆周运动，恰能从下极板E点射出电容器。定值电阻R1＝1Ω，R2＝4Ω，其余电阻不计，重力加速度大小取g＝10m/s2。求： （1）带电微粒的比荷； （2）带电微粒射入磁场的速度大小v（结果可用根号表示）。 【解答】解：（1）由电磁感应知识可知线圈产生的感应电动势为 电容器两极板间的电压 电容器两极板间电场的场强大小 微粒做匀速圆周运动有mg＝qE' 联立解得 （2）微粒在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 所以 由牛顿第二定律有 解得 答：（1）带电微粒的比荷5C/kg； （2）带电微粒射入磁场的速度大小。 7. （2024秋•开福区校级月考）某离子发动机简化结构如图甲所示，其横截面半径为R的圆柱腔分为Ⅰ、Ⅱ两个工作区：Ⅰ区为电离区，其内有沿轴向分布的匀强磁场，磁感应强度的大小，其中，m为电子质量，e为电子电荷量。Ⅱ区为加速区，其内电极P、Q间加有恒定电压U，形成沿轴向分布的匀强电场。在Ⅰ区内离轴线处的C点垂直于轴线持续射出一定速率范围的电子，过C点的圆柱腔横截面如图乙所示（从左向右看），电子的初速度方向与OC的连线成α角（0＜α＜90°）。 （1）向Ⅰ区注入某种稀薄气体，电子要电离该气体，电子的速率至少应为v0。电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，其电离气体的效果越好。为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向（按图乙说明是“垂直于纸面向外”或“垂直于纸面向里”）； （2）不考虑电子间的碰撞及相互作用，电子碰到器壁即被吸收。在取得好的电离效果下，当α＝30°时，求从C点射出的电子速率v的最大值； （3）Ⅰ区产生的离子以接近0的初速度飘入Ⅱ区，被加速后形成离子束，从右侧喷出。已知气体被电离成质量为M的1价正离子，且单位时间内飘入Ⅱ区的离子数目为定值n，求推进器获得的推力。 【解答】解：（1）根据左手定则，为取得好的电离效果，磁场方向是垂直纸面向里； （2）如图所示，当电子轨迹与横截面圆内切时，电子能到达的区域最大，电离效果最好。 根据几何关系OA＝R﹣r AC＝r 根据余弦定理 若α为30°时，解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）取向右为正方向，在Δt时间内，对飞出的离子根据动量定理可得F'0Δt＝nΔtMv1 根据动能定理可得 由牛顿第三定律可得F0＝F'0 联立得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$