专题提升Ⅳ 带电粒子在组合场中的运动-2024-2025学年高二物理同步讲练（人教版2019选择性必修第二册）

专题提升Ⅳ 带电粒子在组合场中的运动 （1）掌握带电粒子在组合场中的运动分析。 （2）掌握“电偏转”与“磁偏转”的异同，以及解决实际问题的区别。 知识点一　带电粒子在组合场中的运动 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现． 【重难诠释】 1．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 类型1 磁场与磁场的组合 [例题1] （2024秋•东湖区校级月考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，0° D．2kBL，60° [例题2] （2024•广东三模）如图所示，在0＜y＜y0，0＜x＜x0区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0～y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．磁感应强度的大小为 B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场 C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大 D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50% [例题3] （2023秋•安徽期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，下半部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，大小为B1＝B，上半部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2B，SP与磁场的左右边界垂直。不计重力的离子从S处以某一速度v0射入，入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，离子的速度大小满足v0，已知离子的质量为m、电量为+q，离子恰好从P点射出，则（　　） A．v0 B．从S到P运动的时间为 C．离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度相同 D．若B1，离子射出点仍在P点 类型2 电场与磁场的组合 [例题4] （2024•东城区二模）水平放置的M、N两金属板，板长均为L，板间距为d，两板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，在两板左端点连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速v0紧靠M板从右端水平射入电场，随后从P点进入磁场，从Q点离开磁场（P、Q未画出）。不考虑粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．PQ间距离与E的大小无关 B．PQ间距离与v0的大小无关 C．P点的位置与粒子的比荷无关 D．带电粒子不可能打在N板上 [例题5] （2024春•沙坪坝区校级月考）空间中存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。两正电离子a、b分别从静止开始经电压为U0的电场加速后，垂直于EH射入磁场，其中a离子从EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出。已知正方形边界的边长为R，进入磁场时，两离子间的距离为0.3R，a离子的比荷为k，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．若增大U0，则a离子在磁场中的运动时间变大 B．磁场的磁感应强度 C．若b离子的比荷为k，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为0.1R D．若b离子的比荷为，则a、b两离子从同一点射出磁场区域 [例题6] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 知识点二　“电偏转”与“磁偏转”的比较 【重难诠释】 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ [例题7] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上放置一长度为2R的探测板CG，G和C分别为探测板的上下边缘，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．圆形区域内磁场的方向垂直于纸面向外 B．离子的发射速率 C．探测板CG上有离子打到的区域长度 D．从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间为 [例题8] （多选）（2024•黄陂区校级一模）如图所示，直线OA与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点平行于x轴射入电场，粒子经电场偏转并经过OA上的Q点进入一矩形匀强磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），并沿x轴负方向经过O点。已知O点到Q点的距离为6l，电场强度，不计粒子的重力，则（　　） A．O点到P点的距离7.2l B．粒子经过Q点时的速度2v0 C．匀强磁场的磁感应强度大小 D．矩形磁场区域的最小面积 [例题9] （多选）（2024•四川一模）在精密的电子仪器中常用磁场或电场来改变带电粒子的运动轨迹。如图所示，直线AE把纸面分成上下两部分，在纸面内有矩形ABCD，AB边长为L1，BC边长为 L2。一个不计重力的电子（其质量为m、电量为﹣e）从A点以初速度v0沿DA方向射入，第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C点；第二次保持AE上方的磁场不变，而将AE下方区域磁场改为沿AE方向匀强电场，电子仍通过C点，则（　　） A．匀强磁场的方向为垂直纸面向里 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．电子两次从A运动到C所用的时间相同 D．电子两次通过C点时速度的大小相同 1. （2024春•浏阳市期末）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方O′点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 2. （2023秋•东湖区校级月考）如图所示，在P点有一粒子源可发射，质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子，粒子从P点在纸面内沿着与PO垂直的方向向上射出。圆心为O、半径为r的圆形区域外存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。 （1）若OP＝4r，求能进入圆形区域的粒子的发射速度范围； （2）若，以某一速度发射粒子，粒子恰能沿半径方向进入圆内，求： ①该粒子的发射速度； ②该粒子再回到P点所经历的时间。 3. （2024•福建）如图，直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器C1、C2，其中C1垂直x轴放置，极板与x轴相交处存在小孔M、N；C2垂直y轴放置，上、下极板右端分别紧贴y轴上的P、O点。一带电粒子从M静止释放，经电场直线加速后从N射出，紧贴C2下极板进入C2，而后从P进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直x轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为m、带电量为q，O、P间距离为d，C1、C2的板间电压大小均为U，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： （1）粒子经过N时的速度大小； （2）粒子经过P时速度方向与y轴正向的夹角； （3）磁场的磁感应强度大小。 4. （2024春•鲤城区校级期末）如图所示，平面直角坐标系xOy面内，y轴右侧第一象限内存在竖直向上的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向内匀强磁场。一带电粒子以速度v0从y轴上的M点（0，L）垂直于y轴射入电场，从N点（未画出）进入第四象限，恰好不穿过y轴而再回到电场。已知粒子的质量为m，电荷量为q，匀强电场场强大小为，不计粒子重力，求： （1）N点的坐标； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M点开始到第三次到达x轴经历的时间。 5. （2024•五华区校级模拟）在xOy坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方向分别与x轴和y轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、电荷量为q的微粒在第二象限内的P（﹣L，L）点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，微粒在第四象限内运动后从x轴上的Q（L，0）点进入第一象限，重力加速度为g。求： （1）带电微粒运动到O点时的速度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间。 6. （2024•黑龙江三模）如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。y＜0区域，存在电场强度大小为E＝4×103N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10﹣9kg、带电量q＝5×10﹣5C的带正电粒子，以大小为的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 7. （2024春•厦门期末）某“双聚焦分析器”质谱仪工作原理如图所示，加速器中加速电压为U，静电分析器中有辐向电场，即与圆心O1等距各点的电场强度大小相同，方向指向圆心O1。磁分析器中以O2为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左边界O2S与静电分析器的右边界平行。离子源逸出初速度为0、质量为m、电荷量为q的正离子，经加速电场加速后，从M点垂直于O1M进入静电分析器，沿半径为R的圆弧轨道做匀速圆周运动，后从N点射出，然后离子由P点垂直于O2S射入磁分析器中，最后离子垂直O2T从Q点射出。已知O2Q＝d，，不计离子重力及离子间相互作用。 （1）求离子从加速器射出时速度v的大小； （2）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小； （3）若离子源逸出初速度为0、比荷不同的正离子，求能从磁场区域上边界O2T出射的离子比荷k的范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提升Ⅳ 带电粒子在组合场中的运动 （1）掌握带电粒子在组合场中的运动分析。 （2）掌握“电偏转”与“磁偏转”的异同，以及解决实际问题的区别。 知识点一　带电粒子在组合场中的运动 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现． 【重难诠释】 1．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识 类型1 磁场与磁场的组合 [例题1] （2024秋•东湖区校级月考）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，0° D．2kBL，60° 【解答】解：若离子通过下部分磁场第一次到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有 R＝L 由 解得 根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为 θ＝60° 两个磁场的磁感应强度大小均为B，当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，根据对称性有 根据洛伦兹力提供向心力，有 可得 此时出射方向与入射方向相同，出射方向与入射方向的夹角为 θ＝0° 可知当离子从下部分磁场射出时，需满足 此时出射方向与入射方向的夹角为 θ＝60° 当离子从上部分磁场射出时，需满足 （n＝1，2，3…） 此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B正确，ACD错误。 故选：B。 [例题2] （2024•广东三模）如图所示，在0＜y＜y0，0＜x＜x0区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0～y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．磁感应强度的大小为 B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场 C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大 D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50% 【解答】解：A．当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N点，则 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故A错误； B．若粒子从处射入，则水平方向有 x0＝v0t1 竖直方向有 联立解得 则粒子从N点下方进入磁场，故B错误； C．设粒子进入磁场中时速度方向与竖直方向的夹角为θ，粒子进入磁场中的速度大小为v，则 粒子在磁场中偏转距离为 d＝2rsinθ 解得 d＝y0 由此可知，粒子在磁场中偏转距离相等，故C错误； D．由以上分析可知，粒子在电场中的竖直位移为 所以从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场，且恰好经磁场偏转后打在M点，即只有0～范围内平行于x轴正方向射出的粒子能被接收器接收，所以接收器接收的粒子数占粒子总数的50%，故D正确。 故选：D。 [例题3] （2023秋•安徽期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，下半部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，大小为B1＝B，上半部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2B，SP与磁场的左右边界垂直。不计重力的离子从S处以某一速度v0射入，入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，离子的速度大小满足v0，已知离子的质量为m、电量为+q，离子恰好从P点射出，则（　　） A．v0 B．从S到P运动的时间为 C．离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度相同 D．若B1，离子射出点仍在P点 【解答】解：ABC．由洛伦兹力提供向心力可得 解得 则离子在下方磁场中运动半径范围为 上方磁感应强度是下方的2倍，离子在上方磁场中运动半径范围为 离子在磁场中运动轨迹如图 离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，由几何关系可知离子在上下磁场中运动的圆心角为60°，且 R上+R下＝L 解得 ， 则离子运动速度为 由周期公式可得 离子在上、下磁场中运动时间分别为 从S到P运动的时间为 离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度方向不同，故A正确，BC错误； D．若，离子在下方磁场中运动半径为 L 射出点不可能在P点，故D错误。 故选：A。 类型2 电场与磁场的组合 [例题4] （2024•东城区二模）水平放置的M、N两金属板，板长均为L，板间距为d，两板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，在两板左端点连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速v0紧靠M板从右端水平射入电场，随后从P点进入磁场，从Q点离开磁场（P、Q未画出）。不考虑粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．PQ间距离与E的大小无关 B．PQ间距离与v0的大小无关 C．P点的位置与粒子的比荷无关 D．带电粒子不可能打在N板上 【解答】解：C、粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的规律可得： 在水平方向上：L＝v0t 在竖直方向上： 根据牛顿第二定律可得加速度为： 联立解得：y 可知P点的位置与粒子的比荷有关，故C错误； AB、设粒子进入磁场时的速度大小为v，其方向与水平方向的夹角为θ，则有：v0＝vcosθ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如下图所示。 由洛伦兹力充当向心力得：，可得： 根据几何关系可得PQ间距离为s 可知PQ间距离与v0的大小有关，与E的大小无关，故A正确，B错误； D、若磁感应强度足够大，粒子在磁场中的运动半径足够小，可能出现如下图所示的情况，故带电粒子可能打在N板上，故D错误。 故选：A。 [例题5] （2024春•沙坪坝区校级月考）空间中存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。两正电离子a、b分别从静止开始经电压为U0的电场加速后，垂直于EH射入磁场，其中a离子从EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出。已知正方形边界的边长为R，进入磁场时，两离子间的距离为0.3R，a离子的比荷为k，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．若增大U0，则a离子在磁场中的运动时间变大 B．磁场的磁感应强度 C．若b离子的比荷为k，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为0.1R D．若b离子的比荷为，则a、b两离子从同一点射出磁场区域 【解答】解：A．设离子a的质量为m，电荷量为q，离子a在加速电场中，由动能定理可得 粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得a离子在磁场中的运动轨迹半径 若增大U0，则a离子在磁场中的运动轨迹半径将增大，做出a离子在磁场中运动的轨迹如图所示 由图可知，当a离子在磁场中的运动轨迹半径将增大时，其所对应的圆心角将减小，而离子在磁场中运动的周期 可知，离子在磁场中运动的周期不变，当所对应的圆心角减小时，粒子在磁场中运动的时间减小，故A错误； B．根据题意，当a离子垂直EH射入磁场时，从HG变垂直射出，则根据几何关系可得，此种情况下，a离子在磁场中运动的轨迹半径 即 解得磁场的磁感应强度 故B错误； C．根据 可知，比荷相同，则两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径相同，做出两离子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得，两离子在边界HG上的出射点间的距离为 故C正确； D．若b离子的比荷为，则根据a离子的半径 可得b离子的轨迹半径 则根据几何关系可得，b离子出射电在HG边上距H点的距离为 则a、b两离子不从同一点射出磁场区域，故D错误。 故选：C。 [例题6] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 【解答】解：A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有 洛伦兹力充当向心力，有 由几何关系可得 R＝d 综上可得 故A错误； B.粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 粒子从O运动到P的时间为 故B正确； CD.将粒子从M到N的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量vx、vy，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为 Fx＝qvyB，Fy＝qvxB 设粒子在最低点N的速度大小为v1，MN的竖直距离为y。取水平向右为正方向，水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 联立解得 ，y＝d 故C错误；D正确。 故选：BD。 知识点二　“电偏转”与“磁偏转”的比较 【重难诠释】 电偏转 磁偏转 偏转条件 只受恒定的静电力F＝qE v⊥E进入匀强电场 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB v⊥B进入匀强磁场 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝，T＝，t＝ [例题7] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上放置一长度为2R的探测板CG，G和C分别为探测板的上下边缘，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．圆形区域内磁场的方向垂直于纸面向外 B．离子的发射速率 C．探测板CG上有离子打到的区域长度 D．从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间为 【解答】解：A、从P点垂直于x轴发射的正离子恰好经过Q点进入第一象限，说明正离子在P点受到向右的洛伦兹力，由左手定则判断可得磁场方向垂直于纸面向外，故A正确； B、设离子在圆形区域的磁场中做匀速圆周运动的半径为r，从P点到Q点的运动轨迹恰好是圆周，易知：r＝R 根据洛伦兹力提供向心力得：，解得：，故B正确； C、因离子在圆形磁场中的轨迹半径均r＝R，满足磁发散模型的条件，故所有离子经过圆形磁场后均水平向右射出圆形磁场，之后穿过AC进入第一象限内的匀强磁场，离子在此磁场中的运动半径仍等于R。从C点进入第一象限的离子，恰好运动半个周期打到探测板的上边缘G点，如上图所示。 设从边界AC上的M点进入磁场的离子的轨迹恰好与探测板相切于D点，图中CF垂直于O2M，根据几何关系可得： ， 则探测板上有离子打到的区域长度为：，故C正确； D、设离子在两磁场中圆周运动的周期为T，则有： 离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，对应的运动瞬间为： 离子在两磁场之间做匀速直线运动的时间为： 离子在AC右侧的磁场中运动轨迹的圆心角为300°，对应的运动时间为： 则离子从发射到第二次经过边界AC所用的时间为：，故D错误。 故选：ABC。 [例题8] （多选）（2024•黄陂区校级一模）如图所示，直线OA与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点平行于x轴射入电场，粒子经电场偏转并经过OA上的Q点进入一矩形匀强磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），并沿x轴负方向经过O点。已知O点到Q点的距离为6l，电场强度，不计粒子的重力，则（　　） A．O点到P点的距离7.2l B．粒子经过Q点时的速度2v0 C．匀强磁场的磁感应强度大小 D．矩形磁场区域的最小面积 【解答】解：A．根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，垂直电场方向上有 6lsin60°＝v0t 沿电场方向，设O点到P点的距离为h，则有 ， 联立解得 h＝7.5l， 故A错误； B．根据题意可知，粒子经过Q点时的速度 设速度方向与x轴正方向的夹角为α，则有 解得 α＝60° 即速度方向为与x轴夹角为60°。 故B正确； C．根据题意，画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得 解得 r＝2l 由牛顿第二定律有 解得匀强磁场的磁感应强度大小 故C错误； D．带电粒子从Q点射入磁场，包含圆弧的最小矩形此场区域，如图中虚线所示，矩形区域长为 矩形区域宽为 b＝r﹣rsin30°＝l 所以该区域的最小面积为 故D正确。 故选：BD。 [例题9] （多选）（2024•四川一模）在精密的电子仪器中常用磁场或电场来改变带电粒子的运动轨迹。如图所示，直线AE把纸面分成上下两部分，在纸面内有矩形ABCD，AB边长为L1，BC边长为 L2。一个不计重力的电子（其质量为m、电量为﹣e）从A点以初速度v0沿DA方向射入，第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C点；第二次保持AE上方的磁场不变，而将AE下方区域磁场改为沿AE方向匀强电场，电子仍通过C点，则（　　） A．匀强磁场的方向为垂直纸面向里 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．电子两次从A运动到C所用的时间相同 D．电子两次通过C点时速度的大小相同 【解答】解：A．第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C点，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A正确； B．电子沿轨迹AGC从C点飞出时，则由几何关系可知 解得 根据 解得 故B正确； C．若加磁场时，电子从A到C的时间为 若加沿AE方向匀强电场，则电子从F点射入下方电场做类平抛运动，到达C点的时间 故C错误； D．若只加磁场时，电子到达C点的速度为v0；若加电场时，电子进入电场后因电场力做正功，则到达C点的速度大于v0，故D错误。 故选：AB。 1. （2024春•浏阳市期末）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方O′点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 【解答】解：画出轨迹图如图： （1）在矩形磁场区域，根据几何关系 L＝Rsin60° 解得 （2）根据 解得 （3）粒子在圆形磁场区域内，根据 解得 答：（1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 2. （2023秋•东湖区校级月考）如图所示，在P点有一粒子源可发射，质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子，粒子从P点在纸面内沿着与PO垂直的方向向上射出。圆心为O、半径为r的圆形区域外存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。 （1）若OP＝4r，求能进入圆形区域的粒子的发射速度范围； （2）若，以某一速度发射粒子，粒子恰能沿半径方向进入圆内，求： ①该粒子的发射速度； ②该粒子再回到P点所经历的时间。 【解答】解：（1）研究两个临界态，即粒子恰好进入圆形区域的最左侧与最右侧，由几何关系知 Rmin1.5r Rmax2.5r 由得 故 同理得 故发射速度范围为 （2）粒子运动轨迹如图所示 ①由几何关系可知 解得 ②由 得 α＝30° 带电粒子在垂直纸面向外的磁场中的三段圆弧对应的圆心角均为 360°﹣60°×2＝240° 由几何关系可知 β＝30° 由几何关系可知，带电粒子在垂直纸面向里的磁场中的三段圆弧对应的圆心角均为 60°×2＝120° 带电粒子在磁场中运动周期 （n＝1，2，3…） 答：（1）能进入圆形区域的粒子的发射速度范围为； （2）①该粒子的发射速度为； ②该粒子再回到P点所经历的时间为（n＝1，2，3…）。 3. （2024•福建）如图，直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器C1、C2，其中C1垂直x轴放置，极板与x轴相交处存在小孔M、N；C2垂直y轴放置，上、下极板右端分别紧贴y轴上的P、O点。一带电粒子从M静止释放，经电场直线加速后从N射出，紧贴C2下极板进入C2，而后从P进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直x轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为m、带电量为q，O、P间距离为d，C1、C2的板间电压大小均为U，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求： （1）粒子经过N时的速度大小； （2）粒子经过P时速度方向与y轴正向的夹角； （3）磁场的磁感应强度大小。 【解答】解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理可知，Uqmv2解得v； （2）粒子进入C2后水平方向做匀速运动，竖直方向为匀加速直线运动，由动能定理可得： Uqmv2 解得v2＝2 由几何关系可知，粒子竖直方向上的分速度为，水平速度和竖直速度相等，由运动的合成和分解规律可知，粒子经过P时速度方向与y轴正向的夹角为45°； （3）粒子以速度v2进入磁场，在磁场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知，圆的半径Rd 由牛顿第二定律可得qv2B＝m 联立解得B 答：（1）粒子经过N时的速度大小为。 （2）粒子经过P时速度方向与y轴正向的夹角为45°； （3）磁场的磁感应强度为。 4. （2024春•鲤城区校级期末）如图所示，平面直角坐标系xOy面内，y轴右侧第一象限内存在竖直向上的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向内匀强磁场。一带电粒子以速度v0从y轴上的M点（0，L）垂直于y轴射入电场，从N点（未画出）进入第四象限，恰好不穿过y轴而再回到电场。已知粒子的质量为m，电荷量为q，匀强电场场强大小为，不计粒子重力，求： （1）N点的坐标； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M点开始到第三次到达x轴经历的时间。 【解答】解：（1）粒子在电场中做类平抛运动 qE＝ma xN＝v0t1 解得 xN＝3L， （2）粒子进入磁场时，速度方向与+x方向的夹角满足 解得 θ＝30° 速度大小 在磁场中轨迹如图 根据几何关系 R+Rcos60°＝xN 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得 （3）粒子在磁场中转过的圆心角 θ＝360°﹣60°＝300° 用时 解得 由磁场射入电场到再进入磁场过程 则粒子从M点开始到第三次到达x轴经历的时间 t＝t1+t2+t3 解得 答：（1））N点的坐标（3L，0）； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M点开始到第三次到达x轴经历的时间。 5. （2024•五华区校级模拟）在xOy坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方向分别与x轴和y轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、电荷量为q的微粒在第二象限内的P（﹣L，L）点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，微粒在第四象限内运动后从x轴上的Q（L，0）点进入第一象限，重力加速度为g。求： （1）带电微粒运动到O点时的速度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间。 【解答】解：（1）微粒在第二象限内做直线运动，因此电场力和重力的合力方向沿PO方向，可得微粒带正电。因电场力和重力的方向与PO方向的夹角均为45°，则有：mg＝qE，微粒的合力大小为，PO的长度为，设带电微粒运动到O点时的速度大小v，根据牛顿第二定律与运动学公式得： v＝at1 解得：， （2）由于微粒在第四象限内受到电场力与重力等大反向，因此微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，微粒做圆周运动的轨迹如下图所示： 由几何关系可知微粒运动的轨迹半径为： 由牛顿第二定律可得： 解得： （3）微粒做圆周运动的轨迹圆心角为90°，微粒从O点运动到Q点所用的时间为： 带电微粒从P点运动到Q点所用的时间为： t＝t1+t2 答：（1）带电微粒运动到O点时的速度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间为。 6. （2024•黑龙江三模）如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。y＜0区域，存在电场强度大小为E＝4×103N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10﹣9kg、带电量q＝5×10﹣5C的带正电粒子，以大小为的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 【解答】解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系得粒子到达原点O时沿y轴方向的分速度为：vy＝v0tanθ 解得： 根据牛顿第二定律得： 解得：a＝1×108m/s2 则粒子在匀强电场中运动的时间为： 解得：t＝5×10﹣5 s 沿x轴方向的位移大小为：x＝v0t，解得：x＝0.25m 沿y轴方向的位移大小为：，解得：y＝0.125m 故P点的坐标为（0.25m，﹣0.125m） （2）粒子进入匀强磁场的速度大小为： 解得： 由洛伦兹力提供向心力得： 解得粒子运动半径为：R＝0.2m 粒子的运动轨迹如下图所示，粒子运动半径R与圆形磁场区域半径相等，图中四边形OO1PO2为菱形。 粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为： 解得： 由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角为α＝135°，故粒子在匀强磁场中的运动时间为： ，解得： 答：（1）P点的坐标为（0.25m，﹣0.125m）； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间为。 7. （2024春•厦门期末）某“双聚焦分析器”质谱仪工作原理如图所示，加速器中加速电压为U，静电分析器中有辐向电场，即与圆心O1等距各点的电场强度大小相同，方向指向圆心O1。磁分析器中以O2为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左边界O2S与静电分析器的右边界平行。离子源逸出初速度为0、质量为m、电荷量为q的正离子，经加速电场加速后，从M点垂直于O1M进入静电分析器，沿半径为R的圆弧轨道做匀速圆周运动，后从N点射出，然后离子由P点垂直于O2S射入磁分析器中，最后离子垂直O2T从Q点射出。已知O2Q＝d，，不计离子重力及离子间相互作用。 （1）求离子从加速器射出时速度v的大小； （2）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小； （3）若离子源逸出初速度为0、比荷不同的正离子，求能从磁场区域上边界O2T出射的离子比荷k的范围。 【解答】解：（1）离子经电场直线加速，由动能定理 解得 （2）离子在静电分析器中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有 解得 （3）离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由题意可知，圆周运动的轨道半径d，根据牛顿第二定律，有 解得 设在O2T上某点出射的离子电荷量为q′，质量为m′，在磁场中运动的轨道半径为r，则在磁场中有 在电场中有 可得 由此可知离子的比荷与运动半径的平方成反比，当离子运动半径最小时，比荷最大，当离子运动半径最大时，比荷最小。作出符合条件的离子的运动轨迹如图所示。 ①在O2处被检测到的离子的运动半径最小，离子的比荷最大。设此离子的运动半径为r1，由几何关系可知 由 可得离子比荷的最大值为 ②在T处被检测到的离子的运动半径最小，离子的比荷最大，设此离子的运动半径为r2，由几何关系可知 解得 r2＝2d 由 可得离子比荷的最小值为 因此，比荷k的范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$